Düz xəttin inteqralı: iki üçbucaq

Düz xəttin inteqralı: iki üçbucaq

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

Müəyyən inteqral qrafik ilə absis oxu arasındakı fiqurların işarəli sahəsidir: oxdan yuxarıdakı hissə «+», oxdan aşağıdakı hissə «−» işarəsi ilə daxil olur. Qrafik düz xətt olanda bu hissələr üçbucaq və ya trapesiyadır, sahələrini həndəsə düsturları ilə tapırıq.

∫baf(x)dx = Syuxarı − Saşağı

y = x − 2 düz xətti [0; 6] parçasında: iki üçbucaq

y = x − 2 oxu x = 2-də kəsir: solda kiçik üçbucaq oxdan aşağıda, sağda böyük üçbucaq oxdan yuxarıdadır.

2 · Həll

Addım-addım

TapşırıqDüz xəttin inteqralı: iki üçbucaq

∫60(x − 2)dx inteqralını fiqurların sahələri ilə hesablayın.

1. y = x − 2 düz xəttdir; x − 2 = 0 ⇒ x = 2. Deməli, [0; 2] parçasında f(x) ≤ 0, [2; 6] parçasında f(x) ≥ 0.
2. [0; 2]: oxdan aşağıda düzbucaqlı üçbucaq, katetləri 2 və |f(0)| = 2. Sahəsi 12 / ·2·2 = 2; inteqrala −2 kimi daxil olur.
3. [2; 6]: oxdan yuxarıda düzbucaqlı üçbucaq, katetləri 6 − 2 = 4 və f(6) = 4. Sahəsi 12 / ·4·4 = 8; inteqrala +8 kimi daxil olur.
4. ∫60(x − 2)dx = −2 + 8 = 6. ∫60(x − 2)dx = 6

Yoxlama: [0; 6] parçasını eni 1 olan 6 hissəyə bölüb orta nöqtələrdə qiymət götürək: −1,5 − 0,5 + 0,5 + 1,5 + 2,5 + 3,5 = 6. Düz xətt üçün bu cəm dəqiq nəticə verir.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

10

2 + 8 — hər iki sahə «+» ilə toplanıb.

Düzgün

6

−2 + 8: oxdan aşağıdakı üçbucaq çıxılır.

• «10» — Bu, iki üçbucağın sahələrinin cəmidir (2 + 8), yəni fiqurun sahəsidir. Oxdan aşağıdakı üçbucaq inteqrala mənfi işarə ilə daxil olur.
• «8» — Yalnız oxdan yuxarıdakı üçbucaq nəzərə alınıb, [0; 2] parçasındakı mənfi hissə unudulub.
• «−6» — İşarələr qarışdırılıb: yuxarıdakı üçbucaq «−», aşağıdakı «+» götürülüb. Oxdan yuxarıdakı hissə həmişə müsbət daxil olur.
• «18» — Trapesiya düsturu hündürlüklərin modulları ilə tətbiq edilib: (2 + 4)/2 · 6 = 18. Fiqur trapesiya deyil — qrafik oxu kəsir, solda hündürlük mənfidir.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.