İnteqral və sahə: eyni fiqur, iki fərqli ədəd

y = 4 − 2x düz xətti, absis oxu və x = 0, x = 5 düz xətləri iki üçbucaq əmələ gətirir. Müəyyən inteqralın qiyməti və bu xətlərlə hüdudlanmış fiqurun S sahəsi hansı cütdür?

\int_{0}^{5} (4-2x)\,dx \quad \text{və} \quad S

İzahı göstər

Müəyyən inteqral və sahə · tam həll və yoxlama

1 · Əsas fikir

İnteqral işarəli sahədir

Yadda saxla

İnteqral oxdan yuxarıdakı sahələri «+», aşağıdakıları «−» işarəsi ilə toplayır, ona görə hissələr bir-birini qismən yox edə bilər. Fiqurun sahəsi üçün isə hər hissəni ayrıca, müsbət götürmək lazımdır: qrafikin oxu kəsdiyi nöqtədə parçanı bölürük.

∫caf dx = S1 − S2, S = S1 + S2

y = 4 − 2x, absis oxu, x = 0 və x = 5: iki üçbucaq

Yuxarıdakı üçbucağın sahəsi 4, aşağıdakınınkı 9: inteqral 4 − 9, sahə 4 + 9.

2 · Həll

Addım-addım

Tapşırıqİnteqral və sahə: eyni fiqur, iki fərqli ədəd

∫50(4 − 2x)dx inteqralını və y = 4 − 2x, y = 0, x = 0, x = 5 xətləri ilə hüdudlanmış fiqurun sahəsini tapın.

4 − 2x = 0 ⇒ x = 2. [0; 2] parçasında qrafik oxdan yuxarıda, [2; 5] parçasında aşağıdadır.
Yuxarıdakı üçbucaq: təpələri (0; 0), (0; 4), (2; 0); sahəsi 12 / ·2·4 = 4.
Aşağıdakı üçbucaq: f(5) = 4 − 10 = −6, təpələri (2; 0), (5; 0), (5; −6); sahəsi 12 / ·3·6 = 9.
İnteqral (işarəli sahə): ∫50(4 − 2x)dx = 4 − 9 = −5.
Fiqurun sahəsi (hər hissə müsbət): S = 4 + 9 = 13. ∫ = −5; S = 13

Yoxlama: həmişə S ≥ |∫| olmalıdır: 13 ≥ 5. Bərabərlik yalnız qrafik oxu kəsmədikdə olardı. Burada aşağıdakı üçbucaq böyük olduğundan inteqral mənfidir.

3 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

Səhv

S = 5

Bütün parça üzrə inteqralın modulu: hissələr əvvəlcə bir-birini yox edir.

Düzgün

S = 13

Hər hissənin sahəsi ayrıca tapılıb toplanır.

«∫ = 13; S = 13» — İnteqral sahə kimi hesablanıb: aşağıdakı üçbucaq da «+» ilə götürülüb. İnteqralda oxdan aşağıdakı hissə mənfi daxil olur.
«∫ = −5; S = 5» — Sahə bütün parça üzrə inteqralın modulu kimi götürülüb: |4 − 9| = 5. Amma əvvəlcə 4 ilə 9 bir-birini qismən yox edir; sahə üçün hissələri ayrıca toplamaq lazımdır.
«∫ = 5; S = 13» — Sahə düzgündür, inteqralda işarələr qarışıb: yuxarıdakı 4 «−», aşağıdakı 9 «+» götürülüb.
«∫ = −5; S = −5» — Sahə mənfi ola bilməz. İnteqralın qiyməti olduğu kimi sahə kimi yazılıb.

Mənbə: Riyaziyyat 11-ci sinif dərsliyi, «Müəyyən inteqral və sahə» və «Müəyyən inteqralın xassələri» bölmələri.