Audio dərs · Müddət
13:16
Mətn (transkript)
Səhər tezdən, bir evin damı. Yüngül külək əsir. Usta damın üstündə dayanıb və əlində nazik, hamar bir günəş paneli tutur. O, paneli əvvəlcə bir nöqtədə bərkidir: bir bolt, bir nöqtə. Sonra paneli elə çevirir ki, onun üzü göyə doğru, istədiyi istiqamətə baxsın. Bu mənzərəni bir anlığa dondurun. Panelin səthi hamar və düzdür, yəni bir müstəvinin parçasıdır. Bəs panelin baxdığı istiqamət? O, səthin üstü ilə uzanmır. O, səthdən dümdüz çıxır və səthə perpendikulyardır. Damda artıq ikinci bir dayaq da qoyulub. Usta bilmək istəyir: panel yerinə oturanda bu dayağa toxunacaqmı? Yəni dayaq panelin səthi üzərində olacaqmı? Bütün paneli hələ görmürük. Yalnız iki şeyi bilirik: boltun yerini və panelin baxdığı istiqaməti. Bu, cavab vermək üçün kifayətdirmi? Bir şeyi əvvəlcədən deyim: bu dam və bu panel mənim öz misalımdır, dərslikdə yoxdur. Amma onun arxasında dərsliyin əsas fikri dayanır. Salam! Bugünkü mövzumuz on birinci sinif dərsliyindəndir: müstəvinin tənliyi. Əvvəlki mövzuda koordinat müstəvisində düz xəttin tənliyini öyrəndik. İndi üçölçülü fəzaya keçirik, yəni iks, iqrek və zet oxlarının olduğu fəzaya. Bir nəticəni xatırlayaq: perpendikulyar vektorların skalyar hasili sıfırdır. Bu gün həmin nəticə bizə müstəvinin tənliyini verəcək. Əvvəlcə bir tənliyin bir, iki və üç ölçüdə nə demək olduğuna baxacağıq. Sonra normal vektorla tanış olub tənliyin necə yarandığını görəcəyik. Ardınca tənliyi oxumağı öyrənəcəyik. Ən sonda isə dama qayıdıb ustanın sualına cavab verəcəyik. Birinci fəsil: bir tənlik, üç ölçü. Dərslik sadə bir araşdırma ilə başlayır. Götürək iks bərabərdir üç tənliyini. Ədəd oxunda bu tənliyə yalnız bir nöqtə uyğundur. Koordinat müstəvisində isə iksi üç olan bütün nöqtələr bu tənliyi ödəyir, iqrek istənilən ədəd ola bilər. Bu nöqtələr iqrek oxuna paralel bir düz xətt əmələ gətirir. Üçölçülü fəzada isə iksi üç olan nöqtələrin həm iqreki, həm də zeti istənilən ədəd ola bilər. Bu nöqtələr iqrek və zet oxlarının yaratdığı koordinat müstəvisinə paralel bir müstəvidir. Eyni qayda ilə iqrek bərabərdir üç tənliyi iks və zet oxlarının müstəvisinə, zet bərabərdir üç tənliyi isə iks və iqrek oxlarının müstəvisinə paralel bir müstəvi verir. Görürsünüz: ölçü artdıqca sərbəst koordinatların sayı da artır. İndi əvvəlki mövzudan tanış bir düz xətti fəzaya qaldıraq: iks üstəgəl iki iqrek mənfi səkkiz, bərabərdir sıfır. Müstəvidə bu, düz xətdir. Məsələn, koordinatları sıfır və dörd, iki və üç, səkkiz və sıfır olan nöqtələr onun üzərindədir. Fəzada isə bu tənlikdə zet iştirak etmir, yəni zetin əmsalı sıfırdır. Deməli, zet istənilən qiyməti ala bilər. Düz xəttin hər nöqtəsindən yuxarı və aşağı şaquli bir düz xətt keçir. Bu şaquli xətlərin hamısı birlikdə zet oxuna paralel bir müstəvi əmələ gətirir. Dərslik buradan ümumi nəticəyə gəlir: üçölçülü fəzada iks, iqrek və zetin hər biri bir ədədə vurulub toplanırsa və buna sabit bir ədəd əlavə olunub sıfıra bərabər edilirsə, belə tənlik müstəvini müəyyən edir. İkinci fəsil: normal və tənlik. Müstəvi müxtəlif üsullarla müəyyən oluna bilər. Dərslik beş yol sayır. Kollinear olmayan, yəni bir düz xətt üzərində yerləşməyən üç nöqtə ilə. Düz xətt və onun üzərində olmayan bir nöqtə ilə. Kəsişən iki düz xətlə. Paralel iki düz xətlə. Nəhayət, bir nöqtə və həmin nöqtədə verilən istiqamətdə çəkilmiş perpendikulyarla. Bizə sonuncu yol lazımdır, çünki damdakı usta da məhz belə etdi. Dərslik belə tərif verir: müstəviyə perpendikulyar vektora onun normalı deyilir. Bizim damda normal panelin baxdığı istiqamətdir. Normal niyə bu qədər faydalıdır? Dərslik bir faktdan istifadə edir: müstəviyə perpendikulyar düz xətt müstəvi üzərindəki istənilən düz xəttə perpendikulyardır. İndi müstəvi üzərində bir nöqtə verilsin, adını pe sıfır qoyaq. Normal vektorun komponentləri a, be və ce olsun. Müstəvi üzərində istənilən başqa bir nöqtə götürək. Onun adı pe, koordinatları isə iks, iqrek və zetdir. Pe sıfırdan pe nöqtəsinə çəkilmiş vektor müstəvinin içində uzanır. Deməli, o, normala perpendikulyardır və onların skalyar hasili sıfırdır. Bu skalyar hasili komponentlərlə yazaq. Vektorun komponentləri iks, iqrek və zet ilə pe sıfırın uyğun koordinatları arasındakı fərqlərdir. Uyğun komponentləri normalın komponentlərinə vurub toplayırıq və nəticəni sıfıra bərabər edirik. Mötərizələri açanda a iks, be iqrek və ce zet qalır. Qalan hər şey yalnız verilmiş nöqtənin koordinatlarından düzəlmiş sabit bir ədəddir. Onu de hərfi ilə işarə edək. Beləliklə, müstəvinin tənliyi belədir: a iks üstəgəl be iqrek üstəgəl ce zet üstəgəl de, bərabərdir sıfır. Bu dərsdə tənliyi həmişə bu şəkildə yazırıq: sabit ədəd de sol tərəfdə, sağ tərəfdə isə sıfır. Dərslikdə bir yerdə sabit sağ tərəfə keçirilmiş şəkildə yazılır və bu halda onun işarəsi əksinə olur. Biz isə onu hər yerdə sol tərəfdə saxlayırıq. Dərslik burada xüsusi diqqət çəkir: tənlikdə iks, iqrek və zetin əmsalları normalın komponentləridir. Yəni tənliyə baxan kimi normalı görürük. Bu əmsalların üçü birdən sıfır ola bilməz, çünki sıfır vektor heç bir istiqamət göstərmir. Dərslik bunu belə yazır: a kvadrat üstəgəl be kvadrat üstəgəl ce kvadrat sıfırdan böyükdür. Bir şey də vacibdir: tənliyi ödəyən hər nöqtə həqiqətən müstəvi üzərindədir, çünki onun üçün də həmin skalyar hasil sıfırdır. İndi dərslikdəki tapşırıqlardan birini birlikdə həll edək. Müstəvi koordinatları iki, bir və üç olan nöqtədən keçir. Onun normalının komponentləri yeddi, bir və birdir. Normalı bildiyimiz üçün tənliyin başlanğıcı hazırdır: yeddi iks üstəgəl iqrek üstəgəl zet üstəgəl de, bərabərdir sıfır. De ədədini tapmaq üçün nöqtəni tənlikdə yerinə yazırıq. Yeddi vurulsun iki, on dörd edir. İqrekin yerinə bir, zetin yerinə üç gəlir. On dörd üstəgəl bir üstəgəl üç, cəmi on səkkizdir. On səkkiz üstəgəl de sıfır olmalıdır, deməli, de mənfi on səkkizdir. Tənlik belə alınır: yeddi iks üstəgəl iqrek üstəgəl zet mənfi on səkkiz, bərabərdir sıfır. Dərsliyin cavabı da məhz budur. Skalyar hasil yolu ilə getsəydik, eyni tənliyi alardıq. Üçüncü fəsil: tənliyi oxumaq. Müstəvinin tənliyi əlimizdə olanda bir çox sual asanlaşır. Nöqtə müstəvi üzərindədirmi? Onun koordinatlarını tənlikdə yerinə yazırıq. Sıfır alınırsa, nöqtə müstəvi üzərindədir. Başqa ədəd alınırsa, nöqtə müstəvidən kənardadır. Müstəvi üzərində yeni bir nöqtə lazımdırsa, iki koordinatı istədiyimiz kimi seçirik, üçüncüsünü isə tənlikdən tapırıq. Dərslikdəki nümunəyə baxaq: müstəvi iks üstəgəl iki iqrek mənfi zet mənfi səkkiz, bərabərdir sıfır tənliyi ilə verilib. İksi dörd, iqreki mənfi beş seçək. Dörd üstəgəl iki vurulsun mənfi beş, mənfi altı edir. Mənfi səkkizi də nəzərə alsaq, mənfi on dörd alınır. Deməli, mənfi on dörd mənfi zet sıfıra bərabər olmalıdır və zet mənfi on dörddür. Koordinatları dörd, mənfi beş və mənfi on dörd olan nöqtə bu müstəvi üzərindədir. Eyni müstəvinin oxları harada kəsdiyini də tapmaq olar. İks oxu üzərindəki nöqtənin iqreki və zeti sıfırdır. Tənlikdən iks mənfi səkkiz, bərabərdir sıfır qalır, deməli, iks səkkizdir. İqrek oxu üzərində iks və zet sıfırdır: iki iqrek mənfi səkkiz sıfıra bərabərdir, iqrek dörddür. Zet oxu üzərində iks və iqrek sıfırdır: mənfi zet mənfi səkkiz sıfıra bərabərdir, zet mənfi səkkizdir. Beləliklə, müstəvi oxları üç nöqtədə kəsir. İks oxunu səkkizdə kəsir. İqrek oxunu dörddə kəsir. Zet oxunu da mənfi səkkizdə kəsir. Bu üç nöqtəni birləşdirsəniz, müstəvinin üçbucaq şəklində bir parçasını təsəvvür edə bilərsiniz. Bəzən tənlikdə hərflərdən biri iştirak etmir, yəni onun əmsalı sıfırdır. Bu halda normal həmin oxa perpendikulyar olur və müstəvi həmin oxa paralel uzanır. İks üstəgəl iki iqrek mənfi səkkiz tənliyi belə idi: zet iştirak etmirdi və müstəvi zet oxuna paralel idi. Tənlikdə yalnız bir hərf qalırsa, məsələn, iks bərabərdir üç, müstəvi koordinat müstəvilərindən birinə paralel olur. Sabit ədəd de sıfırdırsa, koordinat başlanğıcı, yəni üç koordinatı da sıfır olan nöqtə tənliyi ödəyir. Deməli, belə müstəvi koordinat başlanğıcından keçir. Daha bir sual: müstəvidən kənardakı nöqtədən müstəviyə ən qısa yol hansıdır? Bu yol müstəviyə perpendikulyardır, yəni normal boyunca gedir. Dərslik nöqtədən müstəviyə qədər məsafəni məhz bu fikirlə tapır: nöqtədən normal istiqamətində irəliləyir və tənliyi ödəyən nöqtəyə çatanda dayanır. Bu hesablamanı oxu dərsində addım-addım görəcəksiniz. İndi dama qayıdaq. Damı koordinat sistemində təsəvvür edək və koordinatları metrlə ölçək. Boltun yeri koordinatları bir, bir və dörd olan nöqtədir. Panelin baxdığı istiqamət normaldır, onun komponentləri bir, bir və ikidir. Tənliyin başlanğıcı hazırdır: iks üstəgəl iqrek üstəgəl iki zet üstəgəl de, bərabərdir sıfır. Boltun koordinatlarını yerinə yazaq: bir üstəgəl bir, üstəgəl iki vurulsun dörd, cəmi on edir. Deməli, de mənfi ondur. Panelin müstəvisi belədir: iks üstəgəl iqrek üstəgəl iki zet mənfi on, bərabərdir sıfır. İkinci dayaq koordinatları üç, bir və üç olan nöqtədədir. Onu yerinə yazaq: üç üstəgəl bir, üstəgəl iki vurulsun üç, cəmi on edir. On mənfi on sıfırdır. Tənlik ödənir, deməli, panel dayağa oturacaq. Eyni cavabı normalla da yoxlaya bilərik. Boltdan dayağa gedən addımın komponentləri iki, sıfır və mənfi birdir. Bu addımın normalla skalyar hasilini tapaq. Bir vurulsun iki, iki edir. Bir vurulsun sıfır, sıfır edir. İki vurulsun mənfi bir, mənfi iki edir. Cəmi sıfırdır. Addım normala perpendikulyardır, yəni panelin səthi boyunca uzanır. Bəs dayaq koordinatları üç, üç və üç olan nöqtədə qoyulsaydı? Bu halda cəm on iki olardı. On iki ilə on arasındakı fərq ikidir. Nəticə sıfırdan fərqlidir, ona görə belə dayaq paneldən kənarda qalardı. Beləliklə, ustanın sualının cavabı bəlidir: boltun yeri və panelin baxdığı istiqamət panelin bütün müstəvisini müəyyən edir. Bugünkü dərsin əsas fikri budur: müstəvini bir nöqtə və bir normal müəyyən edir. Müstəvinin istənilən nöqtəsinə aparan addım normala perpendikulyardır, onların skalyar hasili sıfırdır və bu sıfır elə müstəvinin tənliyidir. İksin, iqrekin və zetin yanındakı ədədlər normalı göstərir. Nöqtəni yoxlamaq üçün onu tənlikdə yerinə yazmaq kifayətdir. Addım-addım həllər üçün oxu dərsinə və video dərsə baxın. Növbəti dəfə damda günəş paneli görəndə onun baxdığı istiqaməti xatırlayın: o istiqamət panelin normalıdır.