Nöqtəsi və normalı verilmiş müstəvinin tənliyi

1 · Əsas fikir

Nöqtə və normal üzrə müstəvi

Qayda

Müstəvi A(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən keçir və normalı n(a; b; c)-dir. Müstəvinin istənilən P(x; y; z) nöqtəsi üçün AP vektoru müstəvi üzərindədir, ona görə n ⊥ AP, yəni n · AP = 0:

a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0

İkinci üsul: ax + by + cz + d = 0 yazıb A‑nın koordinatlarını yerinə qoymaqla d tapılır.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələNöqtəsi və normalı verilmiş müstəvinin tənliyi

A(2; −1; 3) nöqtəsindən keçən və normal vektoru n(4; −3; 1) olan müstəvinin tənliyini tapın.

1. İxtiyari nöqtə götürürük. P(x; y; z) müstəvi üzərində olsun. Onda AP(x − 2; y + 1; z − 3) — son minus başlanğıc; y − (−1) = y + 1.
2. Perpendikulyarlıq şərti: n · AP = 0, yəni 4(x − 2) − 3(y + 1) + 1·(z − 3) = 0.
3. Mötərizələri açırıq: 4x − 8 − 3y − 3 + z − 3 = 0.
4. Sadələşdiririk: 4x − 3y + z − 14 = 0.
5. İkinci üsulla yoxlayırıq: 4x − 3y + z + d = 0 və A‑nı yerinə yazırıq: 8 + 3 + 3 + d = 0, d = −14 — eyni nəticə.

Cavab: 4x − 3y + z − 14 = 0

Normal vektor və müstəvi üzərindəki vektor

A müstəvinin verilmiş nöqtəsi, P ixtiyari nöqtəsidir. AP müstəvi üzərindədir, n isə müstəviyə perpendikulyardır, ona görə n · AP = 0.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

A(2; −1; 3) tənliyi ödəyir: 4·2 − 3·(−1) + 1·3 − 14 = 8 + 3 + 3 − 14 = 0. x, y, z‑in əmsalları (4; −3; 1) verilmiş normalla üst-üstə düşür.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

4x − 3y + z + 14 = 0

d = 4·2 − 3·(−1) + 3 = 14 tapılıb, amma işarəsi dəyişdirilməyib.

Düzgün

8 + 3 + 3 + d = 0

A‑nı yerinə yaz və d‑ni tənlikdən tap: d = −14.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 4x − 3y + z + 14 = 0 — d‑nin işarəsi səhvdir: 4·2 − 3·(−1) + 3 + d = 0‑dan d = −14 alınır, +14 yox. A nöqtəsi bu tənliyi ödəmir: 14 + 14 = 28 ≠ 0.
• 4x − 3y + z − 8 = 0 — −3·(−1) hasili −3 kimi götürülüb. Əslində −3·(−1) = +3, ona görə 8 + 3 + 3 = 14.
• 2x − y + 3z − 14 = 0 — Nöqtə ilə normal yerini dəyişib: (2; −1; 3) normal kimi, (4; −3; 1) nöqtə kimi götürülüb. Əmsallar normalın komponentləri olmalıdır.
• 4x − 3y + z − 11 = 0 — c·z₀ = 1·3 hasili unudulub: d = −(8 + 3 + 3) = −14, −11 yox.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvinin tənliyi», səh. 56–60. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.