Müstəvinin tənliyi

• 6.13
• 11-ci sinif
• Fəzada koordinatlar

Müstəvinin tənliyi

Fəzada müstəvini tutmaq üçün bir nöqtə və ona perpendikulyar bir vektor kifayətdir. P₀(1; 2; 2) nöqtəsindən keçən və n(2; 1; 2) vektoruna perpendikulyar müstəvinin hər nöqtəsi bir tənliyi ödəyir: 2x + y + 2z − 8 = 0.

Bu dərsdə

• müstəvinin tənliyini onun bir nöqtəsinə və normal vektoruna görə iki üsulla yazacaqsan;
• tənlikdən normalı oxuyacaq, nöqtənin müstəvi üzərində olub-olmadığını yoxlayacaq, müstəvinin oxları kəsdiyi nöqtələri tapacaqsan;
• x = 3, z = 2, x + 2y − 8 = 0 kimi tənliklərin fəzada hansı müstəviləri verdiyini izah edəcəksən.

• müstəvi, P₀
• normal n
• müstəvi üzərində

Müstəvi 2x + y + 2z − 8 = 0, onun P₀ nöqtəsi, normalı n və müstəvi üzərindəki P₀P vektoru

Başla Yenidən Yenidən

1. Bir tənlik, üç ölçü
2. Normal və tənlik
3. Tənliyi yaz, yoxla
4. Xüsusi vəziyyətlər
5. Üç nöqtə, məsafə
6. Diqqət
7. Özünü yoxla
8. Yekun

1 · Kəşf et

Bir tənlik — üç ölçü

Eyni x = 3 tənliyi ədəd oxunda, Oxy müstəvisində və fəzada hansı nöqtələr çoxluğunu verir? Ölçünü seç və fiqura bax.

Neçə ölçü?

Ədəd oxu Oxy müstəvisi Fəza

Ədəd oxunda x = 3: bir nöqtə

Oxy müstəvisində x = 3: y oxuna paralel düz xətt

Fəzada x = 3: Oyz müstəvisinə paralel müstəvi

Bir nöqtə. Ədəd oxunda x = 3 tənliyinə yalnız bir nöqtə uyğundur.

Düz xətt. Müstəvidə x = 3, yəni x + 0 · y = 3 tənliyini (3; y) şəklində bütün nöqtələr ödəyir: y istənilən ədəddir. Bu nöqtələr y oxuna paralel düz xətt əmələ gətirir.

Müstəvi. Fəzada x = 3, yəni x + 0 · y + 0 · z = 3 tənliyini (3; y; z) şəklində bütün nöqtələr ödəyir: indi həm y, həm z sərbəstdir. Bu nöqtələr Oyz müstəvisinə paralel müstəvi əmələ gətirir.

Dəyişənlərin sayı artdıqca tənliyin «buraxdığı» sərbəst koordinatlar da artır. Eyni qayda ilə fəzada y = 3 Oxz müstəvisinə, z = 3 isə Oxy müstəvisinə paralel müstəvidir.

Düz xətdən müstəviyə

Oxy müstəvisində x + 2y − 8 = 0 tənliyi düz xətt verir: A(0; 4), B(2; 3), C(4; 2), D(6; 1), E(8; 0) nöqtələri onun üzərindədir.

Bu tənliyi fəzada x + 2y + 0 · z − 8 = 0 kimi oxuyaq. z-in əmsalı sıfır olduğu üçün z istənilən ədəd ola bilər: A(0; 4; z), B(2; 3; z), … nöqtələrinin hamısı tənliyi ödəyir. Bu nöqtələr birlikdə z oxuna paralel müstəvi əmələ gətirir.

Ümumiyyətlə, üçölçülü koordinat sistemində ax + by + cz + d = 0 tənliyi müstəvi müəyyən edir. Bəs a, b, c, d ədədləri müstəvi haqqında nə deyir? Növbəti mərhələdə görəcəyik.

Fəzada x + 2y − 8 = 0: z oxuna paralel müstəvi

Narıncı müstəvi x + 2y − 8 = 0 Oxy-dəki düz xəttdən yuxarı qalxır. C(4; 2; 0)-ın üstündəki (4; 2; 3) nöqtəsi də tənliyi ödəyir: 4 + 2 · 2 − 8 = 0.

2 · Qayda

Normal və müstəvinin tənliyi

Müstəvi müxtəlif yollarla müəyyən oluna bilər:

1. kollinear olmayan üç nöqtə ilə;
2. düz xətt və ona aid olmayan nöqtə ilə;
3. iki kəsişən düz xətlə;
4. iki paralel düz xətlə;
5. bir nöqtə və bu nöqtədə verilən istiqamətdə çəkilmiş perpendikulyarla.

Tənliyi sonuncu yoldan çıxaraq. Əvvəlcə bir ad lazımdır.

Tərif

Müstəviyə perpendikulyar vektora onun normalı deyilir.

Tutaq ki, α müstəvisi P₀(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən keçir və n(a; b; c) onun normalıdır. Müstəvi üzərində istənilən P(x; y; z) nöqtəsi götürək. Müstəviyə perpendikulyar düz xətt müstəvi üzərindəki hər düz xəttə perpendikulyardır, deməli n ⊥ P₀P, yəni onların skalyar hasili sıfırdır:

n · P₀P = 0, P₀P(x − x₀; y − y₀; z − z₀) a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0 ax + by + cz + d = 0, burada d = −(ax₀ + by₀ + cz₀)

Tərsinə də doğrudur: koordinatları bu tənliyi ödəyən hər P nöqtəsi üçün n · P₀P = 0, yəni P müstəvi üzərindədir. Ona görə tənlik müstəvini tam «tutur».

Normal müstəviyə perpendikulyardır: n ⊥ P₀P

Normal n müstəvi üzərindəki istənilən vektora, o cümlədən P₀P-yə perpendikulyardır.

Diqqət edin!

Müstəvinin tənliyində x, y, z-in əmsalları normalın koordinatlarıdır: ax + by + cz + d = 0 üçün n(a; b; c). Həm də a² + b² + c² > 0: üç əmsal birdən sıfır ola bilməz.

Yazılış razılaşması

Bu dərsdə tənliyi həmişə ax + by + cz + d = 0 şəklində yazırıq: sabit d sol tərəfdədir. Sabiti sağda olan tənlikdə (məsələn, 4x + 3y − 5z = 10) əvvəlcə hamısını sola keçir: 4x + 3y − 5z − 10 = 0, d = −10.

Normal tək deyil

Tənliyi sıfırdan fərqli ədədə vursaq, müstəvi dəyişmir. Ona görə (2; 1; 2), (4; 2; 4), (−2; −1; −2) vektorlarının hər biri dərsin əvvəlindəki müstəvinin normalıdır.

3 · Hesabla

Tənliyi yaz və yoxla

Nümunə 1Nöqtə və normal: iki üsul

Normal vektoru n(−1; 3; 4) olan müstəvi A(1; 2; 3) nöqtəsindən keçir. Bu müstəvinin tənliyini yazın.

1. 1-ci üsul. Müstəvi üzərində istənilən P(x; y; z) nöqtəsi götürək: AP(x − 1; y − 2; z − 3).
2. n · AP = 0: −1(x − 1) + 3(y − 2) + 4(z − 3) = 0, yəni −x + 1 + 3y − 6 + 4z − 12 = 0.
3. Sadələşdirək: −x + 3y + 4z − 17 = 0. Hər iki tərəfi (−1)-ə vursaq, x − 3y − 4z + 17 = 0.
4. 2-ci üsul. Əmsallar normalın koordinatlarıdır: a = −1, b = 3, c = 4, deməli tənlik −x + 3y + 4z + d = 0 şəklindədir.
5. A(1; 2; 3) müstəvi üzərindədir, onun koordinatlarını yerinə yazaq: −1 + 3 · 2 + 4 · 3 + d = 0, d = −17. x − 3y − 4z + 17 = 0

Nümunə 2Tənlikdən nöqtələrə

Müstəvi x + 2y − z − 8 = 0 tənliyi ilə verilib. a) A(2; 3; 0), B(0; 5; 2), C(3; 1; 1) nöqtələri bu müstəvi üzərindədirmi? b) Müstəvinin x, y, z oxlarını kəsdiyi nöqtələri tapın. c) Müstəvi üzərində başqa bir nöqtə yazın.

1. a) Koordinatları tənliyin sol tərəfinə yazırıq. A: 2 + 2 · 3 − 0 − 8 = 0 — üzərindədir. B: 0 + 2 · 5 − 2 − 8 = 0 — üzərindədir. C: 3 + 2 · 1 − 1 − 8 = −4 ≠ 0 — üzərində deyil.
2. b) x oxu üzərində y = 0, z = 0: x − 8 = 0, nöqtə (8; 0; 0). y oxu üzərində x = 0, z = 0: 2y − 8 = 0, nöqtə (0; 4; 0). z oxu üzərində x = 0, y = 0: −z − 8 = 0, nöqtə (0; 0; −8).
3. c) İki dəyişənə istədiyimiz qiyməti verib üçüncünü tapırıq. x = 2, y = 1: 2 + 2 − z − 8 = 0, z = −4. a) A, B — bəli; C — xeyr. b) (8; 0; 0), (0; 4; 0), (0; 0; −8). c) məsələn, (2; 1; −4)

x + 2y − z − 8 = 0 müstəvisinin oxlarla kəsişmə nöqtələri

Üç kəsişmə nöqtəsi lime rəngdədir. z oxunu müstəvi mənfi hissədə, (0; 0; −8)-də kəsir.

4 · Qayda

Sıfır əmsallar nə deyir?

Normal müstəviyə perpendikulyardır. Əmsallardan biri sıfırdırsa, normal həmin oxa perpendikulyar olur, müstəvi isə o oxa paralel olur. Bunu skalyar hasillə yoxlamaq olar: məsələn, c = 0 olanda (a; b; 0) · (0; 0; 1) = 0.

ax + by + cz + d = 0 müstəvisinin vəziyyəti

z = 2

z = 2 müstəvisi Oxy müstəvisinə paraleldir

Normal (0; 0; 1) z oxu boyuncadır, müstəvi «üfüqidir».

x − y = 0

x − y = 0 müstəvisi z oxundan keçir

z yoxdur və d = 0: (0; 0; z) nöqtələrinin hamısı tənliyi ödəyir.

5 · Hesabla

Üç nöqtə və məsafə

Nümunə 3Üç nöqtədən keçən müstəvi

A(1; 1; 1), B(2; 0; 3), C(0; 2; 2) nöqtələrindən keçən müstəvinin tənliyini yazın.

1. Müstəvi üzərində iki vektor: AB(1; −1; 2), AC(−1; 1; 1).
2. Normal n(a; b; c) hər ikisinə perpendikulyardır: a − b + 2c = 0 və −a + b + c = 0.
3. Bərabərlikləri toplayaq: 3c = 0, yəni c = 0 və a = b. Məsələn, n(1; 1; 0).
4. A nöqtəsi ilə: 1(x − 1) + 1(y − 1) + 0 = 0, yəni x + y − 2 = 0. Yoxlama: B: 2 + 0 − 2 = 0, C: 0 + 2 − 2 = 0. x + y − 2 = 0

z yoxdur (c = 0): bu müstəvi z oxuna paraleldir — 4-cü mərhələdəki cədvələ bax.

Nümunə 4Nöqtədən müstəviyə məsafə

Q(6; 4; 5) nöqtəsindən 2x + y + 2z − 8 = 0 müstəvisinə qədər məsafəni tapın.

1. Q-dan müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın oturacağı N(x; y; z) olsun. QN normal n(2; 1; 2) ilə kollineardır: QN = k · n.
2. Komponentlər: x − 6 = 2k, y − 4 = k, z − 5 = 2k, yəni N(6 + 2k; 4 + k; 5 + 2k).
3. N müstəvi üzərindədir: 2(6 + 2k) + (4 + k) + 2(5 + 2k) − 8 = 0, 18 + 9k = 0, k = −2. Onda N(2; 2; 1).
4. |QN| = |k| · |n| = 2 · √(2² + 1² + 2²) = 2 · 3 = 6. Məsafə 6 vahiddir

Q(6; 4; 5) nöqtəsindən 2x + y + 2z − 8 = 0 müstəvisinə perpendikulyar QN

Dərsin əvvəlindəki müstəvi. Perpendikulyar QN normal istiqamətindədir və N(2; 2; 1)-də müstəviyə düz bucaq altında düşür.

Başla Yenidən Yenidən

6 · Diqqət

Üç tez-tez edilən səhv

Sıfır əmsalı unutmaq

Səhv

2x − z + 3 = 0: n(2; −1; 3)

Burada −1 z-in əmsalıdır, 3 isə d-dir; d normala aid deyil.

Düz

n(2; 0; −1)

Tənlikdə y yoxdursa, onun əmsalı 0-dır: 2x + 0 · y − z + 3 = 0.

Fəzada x = 3-ü düz xətt sanmaq

Səhv

x = 3 — düz xətt

Bu, yalnız Oxy müstəvisində doğrudur.

Düz

fəzada x = 3 — müstəvi

(3; y; z) nöqtələrində iki sərbəst koordinat var: Oyz-ə paralel müstəvi.

d-nin işarəsi

A(1; −2; 3) nöqtəsindən keçən, normalı n(2; 1; −1) olan müstəvi: 2 · 1 + 1 · (−2) − 1 · 3 + d = 0, −3 + d = 0.

Səhv

2x + y − z − 3 = 0

Burada d = ax₀ + by₀ + cz₀ götürülüb — işarə əksinədir. A: 2 − 2 − 3 − 3 = −6 ≠ 0.

Düz

2x + y − z + 3 = 0

d = 3. Nöqtəni yerinə qoyub yoxla: 2 − 2 − 3 + 3 = 0.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç: düz olanda lime, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllə də baxa bilərsən.

1. Asan 4x − y + 5 = 0 müstəvisinin normal vektoru hansıdır? Sual 1 variantları (4; −1; 5) (4; −1; 0) (4; 1; 0) Düzdür! z yoxdur, onun əmsalı 0-dır. Normal x, y, z-in əmsallarından ibarətdir; 5 isə d-dir. z-in əmsalı nədir? Həllə bax 4x − y + 0 · z + 5 = 0: a = 4, b = −1, c = 0. Normal (4; −1; 0).
2. Asan Hansı nöqtə 3x + y − 2z − 4 = 0 müstəvisi üzərindədir? Sual 2 variantları (1; 0; 1) (0; 4; 1) (1; 1; 0) Düzdür! 3 + 1 − 0 − 4 = 0. Koordinatları tənliyə yaz: sol tərəf 0 olmalıdır. Həllə bax (1; 1; 0): 3 + 1 − 0 − 4 = 0 ✓. (1; 0; 1): 3 + 0 − 2 − 4 = −3. (0; 4; 1): 0 + 4 − 2 − 4 = −2.
3. Orta M(2; 0; −1) nöqtəsindən keçən və normalı n(1; 3; −2) olan müstəvinin tənliyi hansıdır? Sual 3 variantları x + 3y − 2z − 4 = 0 x + 3y − 2z + 4 = 0 2x − z − 4 = 0 Düzdür! d = −(2 + 0 + 2) = −4. Əmsallar normaldan gəlir, d-ni isə M-i yerinə yazıb tap. İşarəyə diqqət et. Həllə bax 1(x − 2) + 3(y − 0) − 2(z + 1) = 0, yəni x + 3y − 2z − 4 = 0. Yoxlama M: 2 + 0 + 2 − 4 = 0. «+ 4» variantında d-nin işarəsi səhvdir, «2x − z − 4» variantında nöqtə ilə normalın yeri dəyişib.
4. Orta 3x − 2y + 6z − 12 = 0 müstəvisi z oxunu hansı nöqtədə kəsir? Sual 4 variantları (0; 0; 6) (0; 0; 2) (0; 0; −2) Düzdür! x = y = 0: 6z = 12. z oxu üzərində x = 0 və y = 0 olur. Qalan tənliyi həll et. Həllə bax x = 0, y = 0: 6z − 12 = 0, z = 2. Kəsişmə nöqtəsi (0; 0; 2).
5. Çətin Hansı müstəvi z oxuna paraleldir? Sual 5 variantları 2x − 3z + 6 = 0 z = 6 2x − 3y + 6 = 0 Düzdür! c = 0: normal z oxuna perpendikulyardır. z oxuna paralel müstəvinin tənliyində z olmur (c = 0). Həllə bax 2x − 3y + 6 = 0 üçün n(2; −3; 0) · (0; 0; 1) = 0, müstəvi z oxuna paraleldir. 2x − 3z + 6 = 0-da y yoxdur — o, y oxuna paraleldir. z = 6 Oxy-ə paraleldir və z oxunu (0; 0; 6)-da kəsir.
6. Çətin Q(4; 2; 3) nöqtəsindən x + 2y + 2z − 5 = 0 müstəvisinə qədər məsafəni tapın. Sual 6 variantları 9 1 3 Düzdür! |k| · |n| = 1 · 3 = 3. Nümunə 4-dəki kimi: əvvəlcə k-nı tap, sonra |k|-nı normalın uzunluğuna vur. Həllə bax N(4 + k; 2 + 2k; 3 + 2k): (4 + k) + 2(2 + 2k) + 2(3 + 2k) − 5 = 0, 9 + 9k = 0, k = −1, N(3; 0; 1). |n| = √(1 + 4 + 4) = 3, məsafə |k| · |n| = 3. 9 — yalnız Q-nün tənlikdəki qiymətidir, 1 — yalnız |k|-dır.

8 · Yekun

Üç nəticə

• Nöqtə + normal = müstəviP müstəvi üzərindədir ⇔ n · P₀P = 0, yəni a(x − x₀) + b(y − y₀) + c(z − z₀) = 0.
• Əmsallar normaldırax + by + cz + d = 0 üçün n(a; b; c); d-ni bir nöqtəni yerinə yazıb tapırıq.
• Sıfır əmsallar vəziyyəti göstərirDəyişən yoxdursa, müstəvi o oxa paraleldir; d = 0 olanda O-dan keçir.

Növbəti mövzu: 6.14 Müstəvilərin qarşılıqlı vəziyyəti — iki müstəvinin normallarını müqayisə edəcəksən.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11-ci sinif», səh. 56–60 (fiziki 58–62) və «Cavablar», səh. 313: «Araşdırma» (x = 3 bir, iki və üç ölçüdə), x + 2y − 8 = 0 düz xəttinin fəzaya keçirilməsi, müstəvini müəyyən etməyin beş yolu, normalın tərifi və tənliyin çıxarılışı, «Diqqət edin!», Nümunə 1 və Nümunə 2 (müstəvi x + 2y − z − 8 = 0 və onun oxlarla kəsişmə nöqtələri), məsafənin k üsulu ilə tapılması. Nümunə 2 a) üçün nöqtələr yeni seçilib (dərslikdə bu bəndin şərti ilə həlli fərqli nöqtələrlə çap olunub). Dərsin açılış nümunəsi, Nümunə 3, Nümunə 4, səhvlər və yoxlama sualları öyrətmək üçün tərtib edilib; bütün hesablamalar yoxlanılıb. Xüsusi vəziyyətlər cədvəli dərslikdəki çalışmalara (4–6, 10) əsaslanır və burada skalyar hasillə izah olunur. Fiqurlar dəqiq koordinatlarla oblik proyeksiyada çəkilib.