Mətn
Q nöqtəsindən α müstəvisinə qədər məsafəni tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Nöqtədən müstəviyə məsafə (dərslikdəki üsul)
Qayda
Q(x₀; y₀; z₀) nöqtəsindən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyarın oturacağı N olsun. QN normal n(a; b; c) ilə kollineardır:
QN = k · n, N(x₀ + ka; y₀ + kb; z₀ + kc)
N müstəvi üzərində olduğu üçün onun koordinatları tənliyi ödəyir — buradan k tapılır. Məsafə |QN| = |k| · |n|.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələNöqtədən müstəviyə qədər məsafə
Q(3; 1; 2) nöqtəsindən α: 2x − y + 2z − 3 = 0 müstəvisinə qədər məsafəni tapın.
- Normal və onun uzunluğu: n(2; −1; 2), |n| = √(2² + (−1)² + 2²) = √9 = 3.
- Oturacaq N: QN = k·n, ona görə N(3 + 2k; 1 − k; 2 + 2k).
- N müstəvi üzərindədir: 2(3 + 2k) − (1 − k) + 2(2 + 2k) − 3 = 0 ⇒ 6 + 4k − 1 + k + 4 + 4k − 3 = 0 ⇒ 6 + 9k = 0 ⇒ k = −2/3.
- Məsafə: |QN| = |k|·|n| = (2/3)·3 = 2.
Cavab: 2
Nöqtədən müstəviyə çəkilmiş perpendikulyar
QN perpendikulyarı normal n ilə kollineardır; N oturacaqdır. Məsafə QN = |k|·|n| = (2/3)·3 = 2.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
k = −2/3 üçün N(3 − 4/3; 1 + 2/3; 2 − 4/3) = N(5/3; 5/3; 2/3). Tənlikdə: 10/3 − 5/3 + 4/3 − 3 = 3 − 3 = 0 ✓. QN = (−4/3; 2/3; −4/3), |QN| = √((16 + 4 + 16)/9) = √4 = 2 ✓.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
|k| = 2/3
k tapılıb, amma |n| = 3‑ə vurulmayıb.
Düzgün
|QN| = |k|·|n| = 2
k‑nı tap, sonra normalın uzunluğuna vur.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 6 — |k|·|n| yerinə |k|·|n|² götürülüb (və ya 6 ədədi |n| = 3‑ə bölünməyib). k = −2/3, |n| = 3 ⇒ məsafə 2.
- 2/3 — |k| tapılıb, amma |n|-ə vurulmayıb. Məsafə |QN| = |k|·|n| = (2/3)·3 = 2.
- 3 — Sərbəst hədd −3 unudulub: 9 + 9k = 0 ⇒ k = −1. N‑in koordinatları tənlikdə yerinə yazılanda bütün hədlər saxlanmalıdır.
- 4 — Sərbəst həddin işarəsi səhv götürülüb (+3): 12 + 9k = 0 ⇒ k = −4/3. Tənlikdə −3 var.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «Müstəvinin tənliyi», səh. 56–60. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.