İbtidai funksiya. Qeyri-müəyyən inteqral — dinləmə dərsi

Mətn (transkript)

Əlinizə kiçik bir daş götürün. İndi onu buraxın. Daş düşür və hər an bir az da sürətlənir. İndi təsəvvür edin ki, əlinizdə ölçü lenti yoxdur. Yalnız bir sürət göstəricisi var: o, hər anda daşın nə qədər sürətlə hərəkət etdiyini deyir. Sual belədir: yalnız sürəti bilərək, daşın neçə metr yol getdiyini tapmaq olarmı? Bu sual göründüyündən daha dərindir. Bu gün onu birlikdə açacağıq. Dərsimizin mövzusu: ibtidai funksiya və qeyri-müəyyən inteqral. Sonda görəcəksiniz ki, cavab «bəli»dir. Amma bir şərtlə. Hekayəmiz Qalileo Qaliley ilə başlayır. O, min beş yüz altmış dördüncü ildən min altı yüz qırx ikinci ilə qədər yaşamışdır. Dərsliyimiz onun haqqında qısa, amma vacib bir fakt deyir: sərbəst düşən cismin getdiyi yolun qanununu Qaliley təcrübə yolu ilə tapmışdır. Yəni bu qanun yalnız kağız üzərində düşünülməyib, ölçmədən çıxıb. Qanunun mənası sözlə belədir: düşən cismin getdiyi yol zamanın kvadratı ilə artır. İki dəfə çox vaxt keçsə, cisim iki dəfə yox, dörd dəfə çox yol gedir. Üç dəfə çox vaxtda isə doqquz dəfə çox. Siz artıq törəməni bilirsiniz. Yolun zamana görə ani dəyişməsi sürətdir. Qalileyin qanununun törəməsini alsaq, sürəti tapırıq, və sürət zamanla bərabər ölçüdə artır: hər saniyə eyni qədər. Sürətin törəməsini alsaq, təcili tapırıq, və təcil heç dəyişmir, sabitdir. Bu, irəli gedən yoldur: yoldan sürətə, sürətdən təcilə. İndi dərsliyin qoyduğu suala gəlirik. Bəs tərs məsələni necə həll etmək olar? Təcil məlum olanda sürətin, sürət məlum olanda isə hərəkətin özünün qanununu necə tapmaq olar? Bu, elə əvvəldəki sualımızdır: sürət göstəricisindən yola geri qayıtmaq. Törəmə almağa diferensiallama deyilir. Törəməsi verilən funksiyanın özünü tapmaq isə diferensiallamaya tərs əməldir. Təsəvvür edin ki, törəmə bir maşındır: içinə funksiya qoyursunuz, o da sizə onun törəməsini verir. Tərs məsələdə maşının nə verdiyini bilirik və soruşuruq: içinə nə qoymuşduq? Riyaziyyatda bunun adı var. Əgər bir funksiyanın törəməsi verilmiş funksiyaya bərabərdirsə, ona həmin funksiyanın ibtidai funksiyası deyilir. Məsələn, iks kvadratın törəməsi iki iksdir. Deməli, iks kvadrat iki iksin ibtidai funksiyasıdır. Adı da yerindədir: ibtidai, yəni ilkin, başlanğıcdakı funksiya. Törəməyə görə funksiyanın özünü tapmağa isə inteqrallama deyilir. Amma burada maraqlı bir tələ var. O ibtidai funksiyaya üç əlavə edin. Törəmə dəyişərmi? Xeyr. Sabit ədəd dəyişmir, onun dəyişmə sürəti sıfırdır, ona görə törəmə yenə əvvəlki kimi qalır. Üç yerinə iki çıxsanız da, yüz əlavə etsəniz də, eynidir. Yəni bir funksiyanın ibtidai funksiyası tək deyil. Onlar sonsuz saydadır. Bunu gözünüzün önünə gətirin. Eyni parabolanı bir neçə dəfə çəkin, hər dəfə bir az yuxarı və ya aşağı sürüşdürərək. Əyrilər bir-birinin eynisidir, sadəcə müxtəlif hündürlükdə dayanırlar. İndi onların hamısını bir şaquli xətlə kəsin. Hər kəsişmə nöqtəsində əyriyə toxunan çəksəniz, bütün toxunanlar bir-birinə paralel olacaq. Toxunanın mailliyi isə törəmədir. Deməli, bu əyrilərin hamısının törəməsi eynidir. Dərslik bunu ümumi qayda kimi göstərir: iki funksiyanın törəməsi eynidirsə, onlar bir-birindən yalnız sabit bir ədəd qədər fərqlənir. Ona görə bir ibtidai funksiya tapdınızsa, hamısını tapmısınız: ona istənilən sabiti əlavə etmək kifayətdir. Bu sabitə inteqrallama sabiti deyilir. Bütün ibtidai funksiyaların bu ailəsinə, yəni çoxluğuna, qeyri-müəyyən inteqral deyilir. Adı yadda saxlamağın asan yolu budur: cavabda hələ bilinməyən bir sabit qalır. Bəs bu sabiti necə tapırıq? Cavabı dərslikdəki bir nümunə ilə eşidək. Top yerdən bir metr hündürlükdən yuxarı atılır. Onun sürəti başlanğıcda saniyədə on iki metrdir və hər saniyə doqquz tam onda səkkiz qədər azalır. Top qalxdıqca yavaşıyır, bir anlıq dayanır və geri düşməyə başlayır. Bizə sürət məlumdur. Sual budur: istənilən anda top hansı hündürlükdədir? Hündürlüyün törəməsi sürətdir. Deməli, hündürlük sürətin ibtidai funksiyasıdır. İbtidai funksiyanı tapanda isə bir hündürlük qanunu yox, bütöv bir ailə alırıq: eyni formalı, amma bir-birindən yuxarı və aşağı sürüşmüş əyrilər. Sürət hamısında eynidir. Fərq yalnız topun hansı hündürlükdən başlamasındadır. Burada bir fakt hər şeyi həll edir: başlanğıc anda top yerdən bir metr hündürlükdə idi. Ailənin yalnız bir üzvü bu şərti ödəyir. Ona görə sabit də birə bərabər olur. Artıq qanun tamdır. Hesablasanız, iki saniyədən sonra topun yerdən beş tam onda dörd metr hündürlükdə olduğunu tapacaqsınız. Hesablamanın addımları oxu dərsində var. Bunu gündəlik bir misalla da düşünmək olar. Avtomobilin sürət göstəricisi bütün yol boyu yazılıbsa, nə qədər yol getdiyinizi hesablaya bilərsiniz. Amma harada olduğunuzu demək üçün daha bir şey lazımdır: yola hansı nöqtədən çıxdığınız. Sürət hərəkətin formasını verir, başlanğıc şərt isə onu xəritədə öz yerinə qoyur. İndi əvvəldəki suala qayıdaq. Yalnız sürəti bilərək daşın getdiyi yolu tapmaq olarmı? Bəli. Törəmədən geri addım atmaq, yəni inteqrallamaq olar. Amma bu addım bizə bir cavab yox, cavablar ailəsi verir: ibtidai funksiya üstəgəl istənilən sabit. Doğru cavabı seçmək üçün isə bir an haqqında bir fakt kifayətdir. Yadda saxlayın: ibtidai funksiya törəməni geri açır, sabit isə başlanğıcı xatırladır. İbtidai funksiyaların cədvəli və işlənmiş nümunələr oxu dərsində sizi gözləyir. Dinlədiyiniz üçün sağ olun.