Çoxhədlinin ibtidai funksiyalarının ümumi şəkli

1 · Əsas fikir

Qüvvət və sabitin inteqralı

Əsas fikir

Qüvvət funksiyasının ibtidaisi: üst bir vahid artırılır və yeni üstə bölünür (n ≠ −1). Sabitin ibtidaisi kx-dir. Cəmin inteqralı hədlərin inteqrallarının cəminə bərabərdir, sabit vuruq inteqral işarəsinin xaricinə çıxır.

∫kxⁿdx = k·xⁿ⁺¹/(n + 1) + C ∫k dx = kx + C

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələÇoxhədlinin ibtidai funksiyalarının ümumi şəkli

f(x) = 8x³ − 6x + 5 funksiyasının ibtidai funksiyalarının ümumi şəklini tapın.

1. Xassələrə görə hər həddi ayrıca inteqrallayırıq: ∫(8x³ − 6x + 5)dx = 8∫x³dx − 6∫x dx + ∫5 dx.
2. 8∫x³dx = 8 · x⁴/4 = 2x⁴.
3. −6∫x dx = −6 · x²/2 = −3x².
4. ∫5 dx = 5x. Bütün ibtidai funksiyaları yazmaq üçün sonda bir ümumi sabit C əlavə edirik.

F(x) = 2x⁴ − 3x² + 5x + C

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

(2x⁴ − 3x² + 5x + C)′ = 8x³ − 6x + 5 = f(x). Törəmə ilə yoxlama hər bir qeyri-müəyyən inteqral üçün ən etibarlı yoxlamadır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 8x⁴ − 6x² + 5x + C — Üstlər bir vahid artırılıb, amma yeni üstlərə bölünməyib; bu ifadənin törəməsi 32x³ − 12x + 5-dir.
• 2x⁴ − 3x² + 5 + C — Sabit 5-in ibtidaisi 5 deyil, 5x-dir: (5)′ = 0, (5x)′ = 5. Bu ifadənin törəməsi 8x³ − 6x-dir.
• 24x² − 6 + C — Bu, f(x)-in törəməsidir: inteqrallama əvəzinə diferensiallama aparılıb.
• 2x⁴ − 3x² + 5x — Bu, ibtidai funksiyalardan yalnız biridir. Ümumi şəkil hamısını əhatə etməlidir, ona görə «+ C» yazılır.