İbtidai funksiyanı törəmə ilə yoxlamaq

1 · Əsas fikir

İbtidai funksiyanın tərifi

Əsas fikir

F(x) funksiyası f(x)-in ibtidai funksiyasıdır, əgər baxılan aralığın hər nöqtəsində F′(x) = f(x) olarsa. Namizədi yoxlamaq üçün onun törəməsini tapıb f(x) ilə müqayisə edirik.

F′(x) = f(x)

2 · Həll

Addım-addım həll

Məsələİbtidai funksiyanı törəmə ilə yoxlamaq

f(x) = 3x² − 4x funksiyasının ibtidai funksiyasını variantlar arasından seçin.

1. Hər variantın törəməsini tapırıq və onu f(x) = 3x² − 4x ilə müqayisə edirik. Qüvvətin törəməsi (xⁿ)′ = n·xⁿ⁻¹, sabitin törəməsi isə 0-dır.
2. (x³ − 2x² + 7)′ = 3x² − 2·2x + 0 = 3x² − 4x. Bu, f(x)-in özüdür.
3. Sabit 7 törəmədə itir. Ona görə x³ − 2x², x³ − 2x² + 7, x³ − 2x² − 1 kimi funksiyaların hamısı f(x)-in ibtidai funksiyasıdır: onlar bir-birindən yalnız sabit qədər fərqlənir.

Cavab: x³ − 2x² + 7

Diferensiallama və inteqrallama

Diferensiallama F-dən f-ə, inteqrallama f-dən F-ə aparır. Sabit 7 törəmədə itdiyi üçün inteqrallamada geri «+ C» kimi qayıdır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

Tərs istiqamətdə də yoxlayaq: 3x²-nin ibtidaisi x³, −4x-in ibtidaisi −2x²-dir, üstəgəl ixtiyari sabit C. x³ − 2x² + 7 bu ümumi şəklin C = 7 olan halıdır.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 6x − 4 — Bu, f(x)-in törəməsidir, ibtidaisi deyil: (6x − 4)′ = 6 ≠ 3x² − 4x. İstiqamət qarışdırılıb.
• x³ − 4x² — (x³ − 4x²)′ = 3x² − 8x. −4x həddinin ibtidaisində üst artırılıb, amma 2-yə bölünməyib.
• 3x³ − 4x² — (3x³ − 4x²)′ = 9x² − 8x. Üstlər bir vahid artırılıb, amma yeni üstə bölmə unudulub.
• x³ − 2x² + 7x — (x³ − 2x² + 7x)′ = 3x² − 4x + 7, artıq +7 qalır: 7x sabit deyil, onun törəməsi 7-dir.