Mətn (transkript)
1990-da bir şəhərdə 820 min nəfər yaşayırdı. Artım sürətindən 2020-ci ilin əhalisini necə taparıq? Törəməni artıq tanıyırsınız. x kvadratı götürün və törəməsini alın: iki x alınır. Ox bir istiqamətdə gedir, funksiyadan onun dəyişmə sürətinə. Şəhərdə isə vəziyyət tərsinədir. Əlimizdə yalnız sürət var, funksiyanın özü yoxdur. Bu oxu geri çevirmək olarmı? Olar, və bu geri addımın adı var. Əgər F-in törəməsi f-ə bərabərdirsə, F funksiyasına f-in ibtidai funksiyası deyilir. Törəməsinə görə funksiyanı tapmaq isə inteqrallama adlanır, diferensiallamanın tərs əməli. İki x üçün cavab x kvadratdır. Yoxlamaq asandır: törəməni alın, yenə iki x qayıdır. Amma bu cavab yeganə deyil. x kvadrat üstəgəl üçün də, x kvadrat çıx ikinin də törəməsi iki x-dir. Sabitin törəməsi sıfırdır, ona görə o, izsiz itir. Qrafikdə bu, eyni parabolanın yuxarı və aşağı sürüşməsidir. Eyni x nöqtəsində bütün əyrilərin toxunanları paraleldir, çünki meylləri eynidir. Deməli, ibtidai funksiya tək deyil, bütöv bir ailədir: F x üstəgəl C. Bəs bu ailəni bir yazı ilə necə göstərək? Bunun üçün xüsusi işarə var. Yazırıq: inteqral f x de x bərabərdir F x üstəgəl C. Uzanmış S hərfi inteqral işarəsidir. Onun yanındakı f inteqralaltı funksiyadır, de x isə dəyişənin x olduğunu göstərir. C inteqrallama sabitidir və istənilən ədəd ola bilər. Elə buna görə bu yazı qeyri-müəyyən inteqral adlanır. Bəs hər dəfə cavabı təxmin etməliyik? Xeyr, törəmə cədvəlini tərsinə oxuyuruq. Sabit k-nın ibtidaisi k x-dir. x üstü n-də qüvvət bir vahid artır və alınan yeni qüvvətə bölünür, burada n mənfi bir ola bilməz. Bir bölü x-in ibtidaisi x-in modulunun natural loqarifmidir. e üstü k x özü qalır, sadəcə k-ya bölünür. Kosinusun ibtidaisi sinusdur, sinusunku isə mənfi kosinusdur. İndi bu cədvəllə şəhərə qayıdaq. Dərslikdəki modeldə t 1960-cı ildən keçən illərin sayıdır, P isə min nəfərlə əhalidir. Artım sürəti belə verilir: P ştrix bərabərdir on bir tam onda yeddi, vurulsun e üstü sıfır tam mində iyirmi altı t. Cədvəldəki e sətrinə görə əmsalı sıfır tam mində iyirmi altıya bölürük. On bir tam onda yeddi bölü sıfır tam mində iyirmi altı düz dörd yüz əllidir. Deməli, P dörd yüz əlli e üstü sıfır tam mində iyirmi altı t üstəgəl C-dir. Amma C bilinmir, və bu ailədə sonsuz sayda şəhər var. Ailədən bir əyrini seçmək üçün bir fakt kifayətdir. 1990-cı il t bərabər otuz deməkdir, və o il şəhərdə səkkiz yüz iyirmi min nəfər var idi. Dörd yüz əlli vurulsun e üstü sıfır tam yüzdə yetmiş səkkiz təxminən doqquz yüz səksən bir tam onda yeddidir. Səkkiz yüz iyirmi alınsın deyə, C təxminən mənfi yüz altmış bir tam onda yeddi olmalıdır. Bütün ailə sürüşür, amma o nöqtədən yalnız bir əyri keçir. İndi 2020-ci il, yəni t bərabər altmış. Dörd yüz əlli vurulsun e üstü bir tam yüzdə əlli altı təxminən iki min yüz qırx bir tam onda beşdir. Yüz altmış bir tam onda yeddini çıxırıq və təxminən min doqquz yüz yetmiş doqquz tam onda səkkiz alırıq. Bu, min nəfərdir. Modelə görə şəhərdə təxminən bir milyon doqquz yüz səksən min nəfər yaşayır, 1990-dakından iki dəfədən çox. Artım sürətindən əhaliyə belə qayıdırıq: inteqral əyrinin formasını verir, bir məlum il isə onun yerini.