Audio dərs · Müddət
9:34
Mətn (transkript)
Lunaparkdasınız. Qarşınızda sürət karuseli fırlanır: kabinələr gah yuxarı qalxır, gah aşağı şığıyır. Dərslikdəki bir tətbiq tapşırığında belə bir kabinənin hündürlüyü hərəkətin ilk beş saniyəsi üçün bir çoxhədli ilə modelləşdirilir. Hündürlük sıfır səviyyəsindən metrlə ölçülür. Sual sadədir: ilk beş saniyə ərzində hansı anlarda kabinə düz sıfır səviyyəsində olur? Model belədir: iki te kub, mənfi doqquz te kvadrat, üstəgəl üç te, üstəgəl on dörd. Burada te hərəkət başlayandan keçən saniyələrin sayıdır. Te sıfır olanda yalnız on dörd qalır, yəni kabinə on dörd metr hündürlükdən başlayır. Kabinə sıfır səviyyəsində olanda isə hündürlük sıfırdır. Deməli, bu üçdərəcəli çoxhədlinin köklərini tapmalıyıq. Kvadrat tənlik üçün hazır düsturumuz var. Bəs üçüncü dərəcə üçün? Ədədləri təsadüfən bir-bir yoxlamaq heç vaxt bitməyən bir yoldur. Bu gün sizə axtarışı bir neçə ədədə qədər daraldan bir qayda danışacağam. Əvvəlcə qaydanın özünü tanıyaq. Əmsalları tam ədəd olan bir çoxhədli götürək. Ən böyük dərəcəli həddin əmsalına baş əmsal deyilir. Yanında heç bir dəyişən olmayan, tək duran ədədə isə sərbəst hədd deyilir. Rasional köklər haqqında teorem belə deyir: belə çoxhədlinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz bir kəsrdir; onun surəti sərbəst həddin bölənidir, məxrəci isə baş əmsalın bölənidir. Qısaca: surət sərbəst həddən, məxrəc baş əmsaldan gəlir. Bəs bu niyə belədir? Tutaq ki, ixtisarolunmaz bir kəsr kökdür. Onu çoxhədlidə dəyişənin yerinə yazırıq və bərabərliyin hər iki tərəfini məxrəcin lazımi qüvvətinə vururuq ki, kəsrlər yox olsun. İndi tam ədədlərdən ibarət bir cəm alırıq və bu cəm sıfıra bərabərdir. Bu cəmdə sərbəst həddən gələn toplanandan başqa bütün toplananlarda surət vuruq kimi iştirak edir. Cəm sıfır olduğuna görə, o sonuncu toplanan da surətə bölünməlidir. Surətlə məxrəcin ortaq böləni olmadığından, sərbəst hədd surətə bölünür. Eyni fikri baş əmsal üçün təkrarlasaq, baş əmsalın məxrəcə bölündüyünü görərik. Bunu belə təsəvvür edin. Teorem qapını sizin yerinizə açmır, amma əlinizə bir açar dəstəsi verir. Hər açar bir kəsrdir: surəti sərbəst həddin bölənlərindən, məxrəci baş əmsalın bölənlərindən seçilir. Rasional kök varsa, o mütləq bu dəstədədir. Amma bir şeyi unutmayın: dəstədə açarın olması heç bir açarın qıfıla düşəcəyinə zəmanət vermir. Teoremdən iki faydalı nəticə çıxır. Birincisi: baş əmsal bir və ya mənfi birdirsə, məxrəc üçün başqa seçim qalmır və rasional kök yalnız tam ədəd ola bilər. İkincisi: tam əmsallı çoxhədlinin tam kökü varsa, o, sərbəst həddin bölənidir. Dərslikdəki bir nümunədə baş əmsal birdir, sərbəst hədd isə beşdir. Dəstədə cəmi dörd açar var: bir, mənfi bir, beş və mənfi beş. Yoxlayanda yalnız mənfi beş kök çıxır. Bölmədən sonra qalan kvadrat tənlik daha iki kök verir: iki üstəgəl kök altında üç və iki çıx kök altında üç. Bu iki kök rasional deyil, ona görə teorem onları axtarmır da. İndi karuselə qayıdaq. Bizim çoxhədlidə sərbəst hədd on dörddür, baş əmsal isə ikidir. On dördün bölənləri bir, iki, yeddi və on dörddür, həm müsbət, həm mənfi işarə ilə. İkinin bölənləri isə bir və ikidir. Deməli, surət bir, iki, yeddi və ya on dörd ola bilər, məxrəc isə bir və ya iki. Açar dəstəmizi yazaq. Məxrəci bir olanlar tam ədədlərdir: bir və mənfi bir, iki və mənfi iki, yeddi və mənfi yeddi, on dörd və mənfi on dörd. Məxrəci iki olanlardan yeni ədəd verənlər ikidə bir və mənfi ikidə bir, bir də ikidə yeddi və mənfi ikidə yeddi, yəni üç yarım və mənfi üç yarımdır. İkini ikiyə və on dördü ikiyə bölmək isə siyahıda artıq olan bir və yeddini verir. Cəmi on iki namizəd. Sonsuz ədədlərin əvəzinə, cəmi on iki. Dərslik yoxlamağa mənfi birdən başlayır. Te yerinə mənfi bir yazaq. Birinci həddən mənfi iki gəlir, ikincidən mənfi doqquz, üçüncüdən mənfi üç, sonda isə üstəgəl on dörd. Mənfi iki, mənfi doqquz və mənfi üç birlikdə mənfi on dörd edir. Üstəgəl on dörd ilə birlikdə isə sıfır alınır. Açar qıfıla düşdü. Mənfi bir bu çoxhədlinin köküdür. Əvvəlki dərsdən bilirsiniz: bir ədəd çoxhədlinin köküdürsə, çoxhədli ona uyğun ikihədliyə qalıqsız bölünür. Burada bu ikihədli te üstəgəl birdir. Bölməni sintetik bölmə ilə, yəni Hörner sxemi ilə aparırıq. Çoxhədlini ikihədliyə sintetik bölmə qaydasını ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Paolo Ruffini vermişdir. Bölmədən sonra bir kvadrat üçhədli qalır və onu artıq tanış yolla həll edirik. Onun kökləri iki və ikidə yeddidir, yəni üç yarım. İndi diqqət edin: hər iki kök bizim açar dəstəmizdə idi. İki tam ədəd namizədi idi, ikidə yeddi isə məxrəci baş əmsaldan gələn kəsr namizədi idi. Teorem nə vəd etmişdisə, o da oldu: rasional köklər siyahıdan kənara çıxmadı. İndi cavabı karuselin dilinə çevirək. Mənfi bir saniyə hərəkət başlamazdan əvvəlki andır. Bu, riyazi kök olsa da, sualımıza aid deyil, ona görə onu kənara qoyuruq. Qalır iki saniyə və üç yarım saniyə. Model üzrə kabinə on dörd metr hündürlükdən başlayır, ikinci saniyədə sıfır səviyyəsinə çatır, sonra sıfırdan aşağı düşür, üç yarım saniyədə yenidən sıfır səviyyəsinə qayıdır və daha sonra yuxarı qalxır. Dərslikdə qurulmuş qrafik də bu cavabı təsdiqləyir. Deməli, kabinə ilk beş saniyədə iki dəfə sıfır səviyyəsində olur: ikinci saniyədə və üç yarım saniyədə. İndi bu yolu istənilən tam əmsallı çoxhədli üçün işləyən bir reseptə çevirək. Dərslik onu beş addımla verir. Birinci addım: surəti sərbəst həddin, məxrəci baş əmsalın böləni olan bütün kəsrləri yazın. İkinci addım: onları bir-bir yoxlayın və çoxhədlini sıfıra çevirən ədədi tapın. Üçüncü addım: çoxhədlini uyğun ikihədliyə sintetik bölmə ilə bölün və o biri vuruğu tapın. Dördüncü addım: o biri vuruq kvadrat üçhədlidirsə, onun köklərini tapın; deyilsə, bölməni davam etdirin. Beşinci addım: siyahıdakı ədədlərdən heç biri kök deyilsə, deməli, çoxhədlinin rasional kökü yoxdur. Beşinci addım boş söz deyil. Dərslikdə elə bir üçdərəcəli çoxhədli var ki, baş əmsalı da, sərbəst həddi də birdir. Dəstədə cəmi iki açar qalır: bir və mənfi bir. Bir yerinə qoyanda üç alınır, mənfi bir yerinə qoyanda mənfi bir alınır. Heç biri sıfır deyil. Deməli, bu çoxhədlinin rasional kökü yoxdur. Amma bu, onun heç bir kökü yoxdur demək deyil; sadəcə onun kökü kəsr şəklində yazılmır. Bir xəbərdarlıq da var. Teorem yalnız tam əmsallı çoxhədlilər üçündür. Əgər əmsallar arasında yarım, üçdə bir və ya dörddə yeddi kimi kəsrlər varsa, əvvəlcə bütün tənliyi elə bir ədədə vurun ki, kəsrlər yox olsun. Dərslikdəki nümunədə bu ədəd on ikidir. Sıfırdan fərqli ədədə vurmaq tənliyin köklərini dəyişmir, amma indi teoremdən istifadə etmək olar. Gəlin karuselə son dəfə baxaq. Üçdərəcəli tənlik əvvəlcə çətin görünürdü. Amma teorem sonsuz ədədlərin yerinə əlimizə on iki açar verdi. Mənfi bir qıfılı açdı, qalan iki kök isə bölmədən sonra özü gəldi. Yadda saxlayın: surət sərbəst həddən, məxrəc baş əmsaldan. Bölmənin addımlarını oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Növbəti dəfə üçdərəcəli tənlik görəndə, əvvəlcə açar dəstənizi yazın.