Baş əmsalı 1 olan kub tənliyin ən böyük kökü

Mətn

Tənlik verilmişdir:

x^3 - 4x^2 + x + 6 = 0

Tənliyin ən böyük kökünü tapın.

İzahı göstər

6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah

x3 − 4x2 + x + 6 = 0 tənliyinin ən böyük kökünü tapın.

1 · Əsas fikir

Rasional köklər haqqında teorem

Yadda saxla

Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və

p — sərbəst həddin (a0) böləni,
q — baş əmsalın (an) böləni.

Nəticə 1. Baş əmsal ±1 olduqda rasional köklər yalnız tam ədədlər ola bilər.
Nəticə 2. Tam kök (varsa) sərbəst həddin bölənidir.

Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

SualBaş əmsalı 1 olan kub tənliyin ən böyük kökü

x3 − 4x2 + x + 6 = 0 tənliyinin ən böyük kökünü tapın.

Baş əmsal 1-dir. Nəticə 1-ə görə rasional köklər tam ədədlərdir, Nəticə 2-yə görə isə onlar 6-nın bölənləridir: ±1, ±2, ±3, ±6.
Yoxlayırıq: P(1) = 1 − 4 + 1 + 6 = 4 ≠ 0, P(−1) = −1 − 4 − 1 + 6 = 0. Deməli, −1 kökdür və x + 1 vuruqdur.
Sintetik bölmə (−1-ə): əmsallar 1, −4, 1, 6 → 1, −5, 6, qalıq 0. Qismət: x2 − 5x + 6.
x2 − 5x + 6 = (x − 2)(x − 3), kökləri 2 və 3.
Bütün köklər: −1; 2; 3. Ən böyüyü 3-dür. Ən böyük kök: x = 3

y = x³ − 4x² + x + 6 funksiyasının qrafiki

Qrafik x oxunu −1, 2 və 3 nöqtələrində kəsir — ən sağdakı kəsişmə nöqtəsi ən böyük kökdür.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

P(3) = 27 − 36 + 3 + 6 = 0. Ayrılışı açaq: (x + 1)(x2 − 5x + 6) = x3 − 4x2 + x + 6 — ilkin çoxhədli alınır.

4 · Diqqət

Niyə digər cavablar səhvdir

6 6 ən böyük namizəddir, amma kök deyil: P(6) = 84. Namizəd yalnız yoxlamadan sonra kök sayılır.
2 kökdür, lakin ən böyük kök deyil: 3 > 2.
4 köklərin cəmidir (−1 + 2 + 3), kök deyil: P(4) = 10.
1 ilk yoxlanan namizəddir, amma P(1) = 4 ≠ 0.

Tipik səhv

Sərbəst həddin ən böyük bölənini ən böyük kök saymaq.

Düzgün yanaşma

Teorem yalnız namizədləri verir; kök olduğunu P(m) = 0 ilə yoxlamaq lazımdır.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.