Dördüncü dərəcəli tənliyin kökləri

6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah

Dördüncü dərəcəli tənliyin kökləri

2x4 − x3 − 8x2 + x + 6 = 0 tənliyinin ən kiçik və ən böyük köklərinin hasilini tapın.

1 · Əsas fikir

Rasional köklər haqqında teorem

Yadda saxla

Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və

• p — sərbəst həddin (a0) böləni,
• q — baş əmsalın (an) böləni.

Bir kök tapıb bölmə apardıqdan sonra dərəcə 1 azalır; qisməti yenidən teoremlə araşdırırıq — kvadrat üçhədli qalana qədər.

Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

SualDördüncü dərəcəli tənliyin kökləri

2x4 − x3 − 8x2 + x + 6 = 0 tənliyinin ən kiçik və ən böyük köklərinin hasilini tapın.

1. Namizədlər: p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}, q ∈ {1, 2} → ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2.
2. P(1) = 2 − 1 − 8 + 1 + 6 = 0. Sintetik bölmə (1-ə): 2, −1, −8, 1, 6 → 2, 1, −7, −6, qalıq 0. Qismət: Q(x) = 2x3 + x2 − 7x − 6.
3. Q(−1) = −2 + 1 + 7 − 6 = 0. Sintetik bölmə (−1-ə): 2, 1, −7, −6 → 2, −1, −6, qalıq 0. Qismət: 2x2 − x − 6.
4. 2x2 − x − 6 = (2x + 3)(x − 2), kökləri −3/2 və 2.
5. Köklər: −3/2; −1; 1; 2. Ən kiçiyi −3/2, ən böyüyü 2; hasil (−3/2) · 2 = −3. Hasil −3-dür

Ardıcıl iki sintetik bölmə

Hər bölmədə qalıq 0-dır; sonda 2x² − x − 6 = (2x + 3)(x − 2) qalır.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

P(2) = 32 − 8 − 32 + 2 + 6 = 0, P(−3/2) = 81/8 + 27/8 − 18 − 3/2 + 6 = 0. Ayrılış: P(x) = (x − 1)(x + 1)(2x + 3)(x − 2); x = 0 olduqda (−1) · 1 · 3 · (−2) = 6 = P(0).

4 · Diqqət

Niyə digər cavablar səhvdir

• 6 sərbəst həddir, köklərin hasili deyil.
• −6 −3/2 kökü əvəzinə −3 götürülüb (məxrəc 2 unudulub): (−3) · 2 = −6. Halbuki P(−3) = 120 ≠ 0.
• −2 kəsr kök −3/2 nəzərə alınmayıb və ən kiçik kök −1 sayılıb: (−1) · 2.
• 3 dörd kökün hamısının hasilidir, yalnız ən kiçik və ən böyüyün yox.

Tipik səhv

Kəsr namizədləri yoxlamamaq.

Düzgün yanaşma

Baş əmsal 2-dirsə, ±1/2, ±3/2 kimi kəsr köklər ola bilər; burada ən kiçik kök məhz −3/2-dir.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.