Kub çoxhədlinin xətti vuruqlara ayrılışı

6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah

Kub çoxhədlinin xətti vuruqlara ayrılışı

P(x) = 3x3 − 4x2 − 13x − 6 çoxhədlisini tam əmsallı xətti vuruqlara ayırın.

1 · Əsas fikir

Rasional köklər haqqında teorem

Yadda saxla

Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və

• p — sərbəst həddin (a0) böləni,
• q — baş əmsalın (an) böləni.

Kəsr kök p/q tam əmsallı (qx − p) vuruğuna uyğundur: məsələn, −2/3 kökü → 3x + 2.

Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

SualKub çoxhədlinin xətti vuruqlara ayrılışı

P(x) = 3x3 − 4x2 − 13x − 6 çoxhədlisini tam əmsallı xətti vuruqlara ayırın.

1. Namizədlər: p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}, q ∈ {1, 3} → ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/3, ±2/3.
2. P(1) = −20, P(−1) = −3 − 4 + 13 − 6 = 0 — −1 kökdür, x + 1 vuruqdur.
3. Sintetik bölmə (−1-ə): 3, −4, −13, −6 → 3, −7, −6, qalıq 0. Qismət: 3x2 − 7x − 6.
4. 3x2 − 7x − 6 = 0: D = 49 + 72 = 121, x = (7 ± 11)/6 → 3 və −2/3. Deməli, 3x2 − 7x − 6 = (3x + 2)(x − 3).
5. P(x) = (3x + 2)(x + 1)(x − 3). P(x) = (3x + 2)(x + 1)(x − 3)

3x³ − 4x² − 13x − 6 çoxhədlisinin −1-ə sintetik bölünməsi

Qalıq 0 — x + 1 vuruqdur; qismət 3x² − 7x − 6 = (3x + 2)(x − 3).

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

Açaq: (3x + 2)(x + 1) = 3x2 + 5x + 2; (3x2 + 5x + 2)(x − 3) = 3x3 − 4x2 − 13x − 6 ✓. Tez yoxlama: x = 0 olduqda 2 · 1 · (−3) = −6 = P(0).

4 · Diqqət

Niyə digər cavablar səhvdir

• (3x − 2)(x − 1)(x + 3) bütün işarələr dəyişib — kökləri 2/3, 1, −3 olan başqa çoxhədlidir (3x³ + 4x² − 13x + 6). x = 0-da +6 verir, P(0) = −6.
• (x + 2)(3x + 1)(x − 3) kəsr kök −2/3 əvəzinə −2 və −1/3 götürülüb (surət/məxrəc səhv yerləşib); açılışı 3x³ − 2x² − 19x − 6-dır.
• (3x + 2)(x − 1)(x + 3) −1 və 3 köklərinin işarəsi dəyişib; x = 1 olduqda bu ifadə 0 olur, halbuki P(1) = −20.
• (3x + 2)(x + 1)(x + 3) x − 3 vuruğunun işarəsi səhvdir; x = 0 olduqda +6 alınır, P(0) = −6.

Tipik səhv

Kəsr kökü vuruğa səhv çevirmək.

Düzgün yanaşma

−2/3 kökü x + 2/3 vuruğuna, yəni 3(x + 2/3) = 3x + 2-yə uyğundur; x + 2 və ya 3x + 1 yox.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.