Kub tənliyin kəsr kökü

6.4 · Rasional köklərin tapılması · İzah

Kub tənliyin kəsr kökü

2x3 − x2 − 13x − 6 = 0 tənliyinin tam olmayan rasional kökünü tapın.

1 · Əsas fikir

Rasional köklər haqqında teorem

Yadda saxla

Əmsalları tam ədədlər olan P(x) = anxn + … + a1x + a0 çoxhədlisinin rasional kökü varsa, bu kök ixtisarolunmaz pq / kəsridir və

• p — sərbəst həddin (a0) böləni,
• q — baş əmsalın (an) böləni.

Addımlar: namizədləri yazırıq → çoxhədlini sıfıra çevirən namizədi (m) tapırıq → x − m-ə sintetik bölürük → qalan vuruğun (çox vaxt kvadrat üçhədlinin) köklərini tapırıq. Namizədlərin heç biri kök deyilsə, rasional kök yoxdur.

2 · Həll

Addım-addım həll

SualKub tənliyin kəsr kökü

2x3 − x2 − 13x − 6 = 0 tənliyinin tam olmayan rasional kökünü tapın.

1. a0 = −6, a3 = 2. p ∈ {±1, ±2, ±3, ±6}, q ∈ {1, 2}. Namizədlər: ±1, ±2, ±3, ±6, ±1/2, ±3/2.
2. Əvvəl tam namizədləri yoxlayırıq: P(1) = −18, P(−1) = 4, P(2) = −20, P(−2) = −16 − 4 + 26 − 6 = 0. Deməli, −2 kökdür.
3. Sintetik bölmə (−2-yə): 2, −1, −13, −6 → 2, −5, −3, qalıq 0. Qismət: 2x2 − 5x − 3.
4. 2x2 − 5x − 3 = 0: D = 25 + 24 = 49, x = (5 ± 7)/4, yəni 3 və −1/2.
5. Köklər: −2; −1/2; 3. Tam olmayan kök −1/2-dir. x = −1/2

2x³ − x² − 13x − 6 çoxhədlisinin −2-yə sintetik bölünməsi

Qalıq 0 olduğu üçün −2 kökdür; qismət 2x² − 5x − 3 kvadrat üçhədlisidir.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

P(−1/2) = 2·(−1/8) − 1/4 + 13/2 − 6 = −1/4 − 1/4 + 13/2 − 6 = 0. Həm də −1/2 namizədlər siyahısındadır (p = −1, q = 2).

4 · Diqqət

Niyə digər cavablar səhvdir

• 1/2 işarə səhvidir: P(1/2) = −25/2 ≠ 0. Kvadrat tənliyin kökləri 3 və −1/2-dir.
• −3/2 namizəddir, amma kök deyil: P(−3/2) = 9/2 ≠ 0.
• 2/3 heç namizəd də deyil: məxrəc 3 baş əmsalın (2) böləni deyil — p və q-nün rolları dəyişdirilib.
• 3/2 namizəddir, amma P(3/2) = −21 ≠ 0.

Tipik səhv

Kvadrat üçhədlinin kökündə işarəni itirmək.

Düzgün yanaşma

2x² − 5x − 3 = (2x + 1)(x − 3): vuruq 2x + 1 sıfır olanda x = −1/2 olur, +1/2 yox.

Mənbə: «Riyaziyyat» 11-ci sinif dərsliyi, «Rasional köklərin tapılması», çap səh. 15–17. Sualdakı çoxhədli və ədədlər bu tapşırıq üçün seçilib.