Audio dərs · Müddət
12:31
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: böyük bir sexdə konveyer xətti birdən dayanır. Lent artıq hərəkət etmir, amma onun üstündə bir qutu qalıb və həmin qutunu xəttin o biri ucuna çatdırmaq lazımdır. İşçi qutunun qulpundan tutub dartmağa başlayır. Onun əli qutunu düz irəli yox, bir az yuxarıya doğru çəkir: dartma istiqaməti lentlə otuz dərəcəlik bucaq əmələ gətirir. Qüvvə əlli nyutondur. Xəttin uzunluğu metrlə ölçülür, qutu koordinatları mənfi üç və sıfır olan nöqtədən koordinatları üç və sıfır olan nöqtəyə gedir, yəni altı metr yol keçir. Sual sadədir: işçi nə qədər iş gördü? İlk ağla gələn cavab budur: əllini altıya vururuq, üç yüz Coul alırıq. Amma işçinin bütün səyi qutunu irəli aparırmı? Bu suala dərsin sonunda qayıdacağıq. Salam! Bu, on birinci sinif dərsliyindəki tapşırıqlardan biridir və bugünkü mövzumuz məhz bu sualdan doğur: iki vektorun skalyar hasili. Vektorları toplamağı, çıxmağı və ədədə vurmağı artıq bilirsiniz. Bu gün iki vektoru elə vuracağıq ki, nəticə vektor yox, adi bir ədəd olsun. Əvvəlcə qüvvənin hansı hissəsinin iş gördüyünü anlayacağıq. Sonra skalyar hasilin tərifini, xassələrini və koordinatlarla hesablanmasını öyrənəcəyik. Ardınca bucaq və perpendikulyarlıq məsələsinə baxacağıq. Ən sonda isə konveyerə qayıdıb dəqiq cavabı tapacağıq. Birinci fəsil: qüvvənin işləyən hissəsi. İşçinin dartdığı qüvvəni bir ox kimi təsəvvür edin. Ox qutudan çıxır, lent boyunca irəli və bir az da yuxarı baxır. Bu oxu iki hissəyə ayırmaq olar. Bir hissə düz lent boyunca, qutunun getdiyi istiqamətdə yönəlib. O biri hissə isə şaquli, düz yuxarı baxır. Qutu yuxarı qalxmır, lentin üstü ilə üfüqi sürüşür. Ona görə dərslik belə deyir: qüvvənin şaquli hissəsinin üfüqi yolda gördüyü iş sıfıra bərabərdir. İşi yalnız lent boyunca yönəlmiş hissə görür. Bəs bu işləyən hissə nə qədərdir? Burada kosinus köməyə gəlir. Qüvvənin qiymətini qüvvə ilə yol arasındakı bucağın kosinusuna vursaq, lent boyunca yönəlmiş hissənin qiymətini alırıq. Deməli, iş belə hesablanır: qüvvənin qiyməti, vurulsun yolun uzunluğu, vurulsun onlar arasındakı bucağın kosinusu. Dərslik buradan vacib bir nəticə çıxarır: iş skalyar kəmiyyətdir, yəni onun istiqaməti yoxdur, o, sadəcə bir ədəddir. Lakin bu ədəd qüvvə ilə yerdəyişmə arasındakı bucaqdan da asılıdır. İki uc halı yoxlayaq. İşçi qutunu düz lent boyunca dartsa, bucaq sıfır dərəcədir, sıfır dərəcənin kosinusu birdir və bütün qüvvə işə gedir: əllini altıya vururuq, tam üç yüz Coul alırıq. İndi təsəvvür edin ki, işçi qulpu düz yuxarı, lentə perpendikulyar çəkir. Onda bucaq doxsan dərəcədir, kosinusu sıfırdır. Belə dartmanın lent boyunca heç bir hissəsi qalmır və o, yerdəyişməyə heç bir iş qatmır. Bizim işçi isə bu iki halın arasındadır: otuz dərəcə. Deməli, onun gördüyü iş sıfırdan böyükdür, amma üç yüz Couldan azdır. İkinci fəsil: skalyar hasil. İndi fizikadan riyaziyyata keçək. Əvvəlcə iki vektor arasındakı bucağı dəqiqləşdirək. Vektorlardan birini paralel sürüşdürüb elə yerləşdiririk ki, hər iki vektor eyni nöqtədən çıxsın. Onların arasında qalan bucaq vektorlar arasındakı bucaqdır. Bu bucaq ən azı sıfır, ən çoxu yüz səksən dərəcə ola bilər. Sıfır dərəcə vektorlar eyni tərəfə baxanda alınır, yüz səksən dərəcə isə tam əks tərəflərə baxanda. İndi tərif. Sıfır olmayan iki vektorun skalyar hasili bu vektorların modulları ilə onlar arasındakı bucağın kosinusunun hasilinə deyilir. Qısaca desək: birinci vektorun uzunluğu, vurulsun ikinci vektorun uzunluğu, vurulsun aralarındakı bucağın kosinusu. Görürsünüz, bu, işin hesablanma qaydasının eynisidir. İş qüvvə vektoru ilə yerdəyişmə vektorunun skalyar hasilidir. Nəticə vektor deyil, ədəddir. Adı da buradan gəlir: skalyar, yəni yalnız qiyməti olan kəmiyyət. Bunu bir şəkil kimi də təsəvvür etmək olar. Hər iki vektoru eyni nöqtədən çəkin. İkinci vektorun ucundan birinci vektorun üzərinə perpendikulyar endirin. Bucaq iti olanda, birinci vektorun üzərində ayrılan parçanın uzunluğu ikinci vektorun uzunluğu ilə bucağın kosinusunun hasilinə bərabərdir. Yəni skalyar hasil belə qurulur: ikinci vektorun birinci vektor istiqamətində nə qədər irəlilədiyini tapırıq və bunu birinci vektorun uzunluğuna vururuq. Konveyerdə də belə idi: qüvvənin lent boyunca hissəsi yolun uzunluğuna vurulurdu. Skalyar hasilin işarəsini kosinusun işarəsi müəyyən edir. Bucaq iti olanda, yəni sıfır ilə doxsan dərəcə arasında olanda, kosinus müsbətdir və skalyar hasil də müsbətdir. Bucaq düz olanda kosinus sıfırdır, skalyar hasil də sıfırdır. Dərslikdə belə bir nümunə var: uzunluqları altmış və yetmiş beş olan, bir-birinə perpendikulyar iki vektor. Onlar nə qədər uzun olsalar da, skalyar hasilləri sıfırdır. Bucaq kor olanda, yəni doxsan dərəcədən böyük olanda, kosinus mənfidir və skalyar hasil də mənfi alınır. Fizikada bunun mənası aydındır: qutu irəli gedərkən onu geriyə doğru saxlamağa çalışsanız, gördüyünüz iş mənfi olar. Üçüncü fəsil: skalyar hasilin xassələri. Birinci sual: vektoru özünə skalyar vursaq, nə alarıq? Vektorla özü arasındakı bucaq sıfırdır, kosinus birdir. Ona görə vektorun özünə skalyar hasili onun uzunluğunun kvadratına bərabərdir. İkincisi, vuruqların yerini dəyişmək olar: birinci vektorun ikinciyə skalyar hasili ikinci vektorun birinciyə skalyar hasilinə bərabərdir, çünki aralarındakı bucaq eynidir. Bu, yerdəyişmə xassəsidir. Üçüncüsü, qruplaşdırma xassəsi. Vektorlardan birini əvvəlcə bir ədədə vurub sonra skalyar hasili tapsaq da, əvvəlcə skalyar hasili tapıb sonra onu həmin ədədə vursaq da, nəticə eyni olur. Dördüncüsü, paylama xassəsi. Bir vektorun iki vektorun cəminə skalyar hasili, onun bu vektorların hər birinə skalyar hasillərinin cəminə bərabərdir. Yəni mötərizələri adi ədədlərdə olduğu kimi açmaq olar. Bu xassələrin ən faydalı nəticəsi ort vektorlarla bağlıdır. Xatırlayın: i, je və ka vektorları uzunluğu bir olan və iks, iqrek, zet oxları boyunca yönəlmiş vektorlardır. Onların hər birinin özünə skalyar hasili birdir, çünki uzunluğu birdir. Müxtəlif iki ort vektorun skalyar hasili isə sıfırdır, çünki oxlar bir-birinə perpendikulyardır. Dördüncü fəsil: koordinatlarla hesablama. Bucağı bilmədən skalyar hasili tapmaq olarmı? Olar, əgər vektorların komponentləri məlumdursa. Qayda belədir: uyğun komponentləri bir-birinə vurun və nəticələri toplayın. Müstəvidə birinci komponentlərin hasilinə ikinci komponentlərin hasilini əlavə edirik. Fəzada buna üçüncü komponentlərin hasili də əlavə olunur. Dərslik bu qaydanı müstəvidə kosinuslar teoremi ilə çıxarır. Ort vektorlar isə onun səbəbini də göstərir: mötərizələri açanda müxtəlif oxların cütləri sıfır verib yox olur, yalnız eyni oxun komponentlərinin hasilləri qalır. Dərslikdəki nümunəni dinləyək. Birinci vektorun komponentləri mənfi üç və dörddür. İkinci vektorun komponentləri doqquz və on ikidir. Birinci komponentlərin hasili: mənfi üç vurulsun doqquz, mənfi iyirmi yeddi. İkinci komponentlərin hasili: dörd vurulsun on iki, qırx səkkiz. Cəmi: mənfi iyirmi yeddi üstəgəl qırx səkkiz, iyirmi bir. Deməli, bu iki vektorun skalyar hasili iyirmi birdir. Beşinci fəsil: bucaq və perpendikulyarlıq. Tərifi tərsinə oxusaq, bucağı tapmağın yolu açılır: bucağın kosinusu skalyar hasilin vektorların uzunluqlarının hasilinə nisbətinə bərabərdir. Eyni nümunəyə qayıdaq. Birinci vektorun uzunluğu beşdir: mənfi üçün kvadratı doqquz, dördün kvadratı on altı, cəmi iyirmi beş, kvadrat kökü beş. İkinci vektorun uzunluğu on beşdir. Uzunluqların hasili yetmiş beşdir. Kosinus iyirmi biri yetmiş beşə bölməklə alınır, ixtisar etsək, iyirmi beşdə yeddi. Kosinus müsbətdir, deməli, bu vektorlar arasındakı bucaq itidir. İndi ən gözəl nəticə. Kosinus sıfır olanda bucaq doxsan dərəcədir. Ona görə dərslik belə yekunlaşdırır: sıfır olmayan iki vektor yalnız skalyar hasili sıfır olduqda perpendikulyardır. Nümunə: birinci vektorun komponentləri üç və ikidir, ikinci vektorunku ka və altı. Ka ədədinin hansı qiymətində bu vektorlar perpendikulyardır? Uyğun komponentləri vurub toplayırıq: üç ka üstəgəl on iki. Bu cəm sıfıra bərabər olmalıdır. Buradan ka mənfi dördə bərabərdir. Yoxlayaq: üç vurulsun mənfi dörd, mənfi on iki; iki vurulsun altı, on iki; cəmi sıfır. İndi konveyerə qayıdaq. Qutunun yerdəyişməsi lent boyuncadır: mənfi üçdən üçə, yəni altı metr. Qüvvə əlli nyutondur, onunla lent arasındakı bucaq otuz dərəcədir. İş qüvvə ilə yerdəyişmənin skalyar hasilidir: əlli vurulsun altı, vurulsun otuz dərəcənin kosinusu. Otuz dərəcənin kosinusu üçün kvadrat kökünün yarısıdır. Üç yüzün yarısı yüz əllidir, deməli, iş yüz əlli vurulsun üçün kvadrat kökü Coula bərabərdir, bu da təxminən iki yüz altmış Coul edir. Qüvvənin şaquli hissəsi, yəni iyirmi beş nyuton, yerdəyişməyə perpendikulyardır və onların skalyar hasili sıfırdır. Koordinatlarla da eyni cavab alınır. Yerdəyişmə vektorunun komponentləri altı və sıfırdır. Qüvvə vektorunun komponentləri isə lent boyunca iyirmi beş vurulsun üçün kvadrat kökü, yuxarıya doğru iyirmi beşdir. Uyğun komponentləri vurub toplasaq, yenə yüz əlli vurulsun üçün kvadrat kökü alırıq. Beləliklə, işçi üç yüz yox, təxminən iki yüz altmış Coul iş gördü. Onun dartmasının bir hissəsi yuxarıya yönəlmişdi və bu yolda heç bir iş görmədi. Bugünkü dərsin əsas fikri budur: skalyar hasil bir vektorun o biri vektorun istiqamətində nə qədər təsir etdiyini ölçür. Skalyar hasil müsbətdirsə, bucaq itidir; sıfırdırsa, vektorlar perpendikulyardır; mənfidirsə, bucaq kordur. Komponentlər məlum olanda isə uyğun komponentləri vurub toplamaq kifayətdir. Addım-addım həllər üçün oxu dərsinə və video dərsə baxın. Növbəti dəfə bir şeyi dartanda, dartma bucağını xatırlayın.