Mətn
Şəkildəki kubun tili 2-dir; O təpəsi koordinat başlanğıcında, A, C və D təpələri koordinat oxları üzərindədir. AC və AL vektorları arasındakı bucağı tapın.
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Vektorlar arasındakı bucaq
Qayda
Sıfır olmayan iki vektor arasındakı bucaq kosinusa görə tapılır:
cos θ = (a · b) / (|a| · |b|), 0° ≤ θ ≤ 180°
Kosinusun işarəsi vacibdir: müsbət — iti bucaq, sıfır — düz bucaq, mənfi — kor bucaq.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələKubda iki üz diaqonalı arasındakı bucaq
Tili 2 olan kubun O təpəsi koordinat başlanğıcında, A, C, D təpələri oxlar üzərindədir. AC döşəmənin, AL isə ön üzün diaqonalıdır. Bu vektorlar arasındakı bucağı tapın.
- Təpələrin koordinatları. A x oxunda: A(2; 0; 0). C y oxunda: C(0; 2; 0). L B(2; 2; 0)-nin düz üstündədir: L(2; 2; 2).
- Vektorlar (son minus başlanğıc): AC = (−2; 2; 0), AL = (0; 2; 2).
- Skalyar hasil: AC · AL = (−2)·0 + 2·2 + 0·2 = 4.
- Uzunluqlar: |AC| = √(4 + 4 + 0) = 2√2, |AL| = √(0 + 4 + 4) = 2√2.
- Bucaq: cos θ = 4 / (2√2 · 2√2) = 4/8 = 1/2 ⇒ θ = 60°.
Cavab: 60°
Kub və AC, AL vektorları
Tili 2 olan kub: AC döşəmənin, AL ön üzün diaqonalıdır. CL də üz diaqonalıdır, ona görə ACL bərabərtərəfli üçbucaqdır (hər tərəfi 2√2) və A‑dakı bucaq 60°-dir.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
Həndəsi yoxlama: C ilə L‑i birləşdirək. CL də kubun üz diaqonalıdır, uzunluğu 2√2‑dir. ACL üçbucağının üç tərəfi bərabərdir, bərabərtərəfli üçbucağın hər bucağı 60°-dir.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
Üzlər perpendikulyardır ⇒ 90°
Diaqonallar perpendikulyar üzlərdədir, amma özləri perpendikulyar deyil.
Düzgün
cos θ = 4/8 ⇒ 60°
Bucağı skalyar hasil göstərir.
Digər cavablar niyə səhvdir
- 90° — Kubun üzləri perpendikulyar olduğu üçün üzlərdəki diaqonalların da perpendikulyar olduğu düşünülüb. Amma AC·AL = 4 ≠ 0.
- 45° — Diaqonalın tillə əmələ gətirdiyi 45° bucaq götürülüb. Burada bucaq iki diaqonal arasındadır: cos θ = 4/8 = 1/2.
- 30° — cos θ = 1/2 bərabərliyi sin θ = 1/2 kimi oxunub. cos θ = 1/2 olanda θ = 60°-dir.
- 120° — AC əvəzinə CA = (2; −2; 0) götürülüb, onda skalyar hasil −4 və kosinus −1/2 alınır. Hər iki vektor A‑dan çıxmalıdır.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49–53. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.