Mətn
ABC üçbucağının düz bucağı varmı? Varsa, hansı təpədədir?
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Üçbucağın bucaqları və skalyar hasil
Qayda
Sıfır olmayan iki vektor yalnız skalyar hasili sıfır olduqda perpendikulyardır:
a · b = 0 ⇔ a ⊥ b
Koordinatlarla: a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃ = 0. Üçbucağın bucağını həmin təpədən çıxan iki tərəf vektoru verir: hasil 0 — düz, müsbət — iti, mənfi — kor bucaq.
2 · Həll
Addım-addım həll
MəsələFəzada üçbucağın düz bucağı
A(0; 3; 2), B(1; 1; 1), C(3; 2; 1) nöqtələri ABC üçbucağının təpələridir. Üçbucağın düz bucağı varmı? Varsa, hansı təpədədir?
- B təpəsi. BA = A − B = (−1; 2; 1), BC = C − B = (2; 1; 0). BA · BC = −2 + 2 + 0 = 0 ⇒ BA ⊥ BC, ∠B = 90°.
- A təpəsi. AB = (1; −2; −1), AC = (3; −1; −1). AB · AC = 3 + 2 + 1 = 6 > 0 — iti bucaq.
- C təpəsi. CA = (−3; 1; 1), CB = (−2; −1; 0). CA · CB = 6 − 1 + 0 = 5 > 0 — iti bucaq.
- Nəticə: üçbucaq düzbucaqlıdır, düz bucaq B təpəsindədir.
Cavab: B bucağı düzdür
ABC üçbucağında düz bucaq
BA · BC = 0 olduğu üçün B təpəsindəki bucaq düzdür (sxematik). Yoxlama: BA² + BC² = 6 + 5 = 11 = AC².
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayırıq
Tərəflərin kvadratları: BA² = 1 + 4 + 1 = 6, BC² = 4 + 1 + 0 = 5, AC² = 9 + 1 + 1 = 11. 6 + 5 = 11 — Pifaqor teoremi ödənir, hipotenuz AC‑dir, düz bucaq onun qarşısındakı B təpəsindədir.
4 · Diqqət
Tipik səhvlər
Səhv yanaşma
AB · BC = 0 ⇒ ∠A = 90°
AB və BC B təpəsində birləşir; A bucağını AB və AC verir.
Düzgün
BA · BC = 0 ⇒ ∠B = 90°
Hər iki vektor yoxlanılan təpədən çıxır.
Digər cavablar niyə səhvdir
- A bucağı düzdür — AB·BC = 0 hesablanıb və bu, A bucağına aid edilib. A bucağını A‑dan çıxan vektorlar verir: AB·AC = 6 ≠ 0.
- Düz bucaq yoxdur, üçbucaq itibucaqlıdır — Tərəf vektorları əvəzinə nöqtələrin yer vektorları vurulub (OA·OB = 5 və s.). Bucağı təpədən çıxan tərəf vektorları verir: BA·BC = 0.
- C bucağı düzdür — C‑dən çıxan vektorlar: CA·CB = 5 ≠ 0 — C itidir. Ən uzun tərəf AC‑dir (AC² = 11), düz bucaq onun qarşısındakı B təpəsindədir.
- Düz bucaq yoxdur, B bucağı kordur — BA·BC hesablanarkən işarə səhvi edilib. BA = (−1; 2; 1), BC = (2; 1; 0): −2 + 2 + 0 = 0, mənfi deyil.
Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49–53. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.