Fəzada iki vektor arasındakı bucaq

1 · Əsas fikir

İki vektor arasındakı bucaq

Qayda

Sıfır olmayan iki vektor arasındakı bucaq kosinusa görə tapılır:

cos θ = (a · b) / (|a| · |b|), 0° ≤ θ ≤ 180°

Kosinusun işarəsi vacibdir: müsbət — iti bucaq, sıfır — düz bucaq, mənfi — kor bucaq.

2 · Həll

Addım-addım həll

MəsələFəzada iki vektor arasındakı bucaq

a(2; −1; 2) və b(0; 3; −3) vektorları arasındakı bucağı tapın.

1. Skalyar hasil: a · b = 2·0 + (−1)·3 + 2·(−3) = −3 − 6 = −9.
2. Uzunluqlar: |a| = √(4 + 1 + 4) = √9 = 3; |b| = √(0 + 9 + 9) = √18 = 3√2.
3. Kosinus: cos θ = −9 / (3 · 3√2) = −1/√2 = −√2/2.
4. Bucaq: kosinusu −√2/2 olan bucaq (0° ≤ θ ≤ 180°) θ = 135°-dir.

Cavab: 135°

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayırıq

cos 135° = cos(180° − 45°) = −cos 45° = −√2/2. Skalyar hasil mənfidir, ona görə bucaq kor olmalıdır — 135° kordur.

4 · Diqqət

Tipik səhvlər

Səhv yanaşma

cos θ = 9/(9√2) ⇒ 45°

Skalyar hasilin mənfi işarəsi atılıb.

Düzgün

cos θ = −√2/2 ⇒ 135°

İşarə saxlanılır: mənfi kosinus — kor bucaq.

Digər cavablar niyə səhvdir

• 45° — Skalyar hasilin mənfi işarəsi atılıb: cos θ = +√2/2 götürülüb. a·b = −9 < 0, bucaq kordur.
• 120° — |b| = √(9 + 9) yanlış olaraq 3 + 3 = 6 götürülüb, onda cos θ = −9/18 = −1/2 alınır. Əslində |b| = √18 = 3√2.
• 180° — |b| = 3 götürülüb (9 + 9 əvəzinə bir 9), onda cos θ = −1 alınır. 180° yalnız əks istiqamətli kollinear vektorlar üçündür; a və b kollinear deyil.
• 150° — −√2/2 −√3/2 ilə qarışdırılıb. cos 150° = −√3/2, cos 135° = −√2/2.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 11‑ci sinif», «İki vektorun skalyar hasili», səh. 49–53. Dərslikdə vektorun komponentləri bucaqlı mötərizədə yazılır; bu səhifədə adi mötərizə işlədilir.