Təsadüfi hadisələr və ehtimal

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: stadion dolub, tribunalar uğuldayır. Hakim meydanın ortasına çıxır, iki komandanın kapitanı onun yanında dayanıb. Oyuna hansı komandanın başlayacağını püşkatma həll edəcək. Hakim baş barmağı ilə metal pulu havaya atır. Pul havada fırlanır. Bu anda heç kim, nə hakim, nə kapitanlar, nə də tribunadakı minlərlə azarkeş, onun hansı üzü üstə düşəcəyini bilmir. Amma maraqlıdır: hamı razıdır ki, bu püşkatma ədalətlidir. Hamı bilir ki, iki komandanın şansı bərabərdir. Bəs bu necə olur? Hələ baş verməmiş, nəticəsini heç kimin bilmədiyi bir şeyin şansını necə ölçə bilirik? Təsadüfün də ölçüsü varmı? Bu dərsdə məhz bu suala cavab axtaracağıq. Təsadüfi hadisənin nə olduğunu, onun ehtimalını necə hesabladığımızı və bir xəbərin bu ehtimalı necə dəyişdiyini birlikdə izləyəcəyik. Əvvəlcə bir az tarixə qayıdaq, çünki insanlar təsadüfü ölçmək barədə çox qədimdən düşünüblər. Dərsliklərimiz yazır ki, hələ qədim zamanlarda insanlar uzun illər təbiəti müşahidə edirdilər. İstilərin tez başlamasını, soyuqların tez və ya gec düşməsini izləyir və belə deyirdilər: «Bu, yüz ildə bir dəfə baş verə bilən hadisədir». Bu sadə cümlədə böyük bir fikir gizlənib. «Yüz ildə bir dəfə» demək, təsadüfə ədəd vermək deməkdir: bir hadisənin nə qədər tez-tez baş verdiyini, yəni onun tezliyini saymaq. On birinci əsrdən on altıncı əsrə qədər belə bir fikir güclənməyə başladı: təsadüfün dərəcəsini ədədlə, ölçü ilə göstərmək olar. «Təsadüfi hadisənin ehtimalı» anlayışı da beləcə yer tutdu. Ehtimal nəzəriyyəsinin özü isə gözlənilməz bir yerdən, oyun masasından başladı. On altıncı əsrdə alimlər mərc oyunlarının nəzəriyyəsini yaratmağa cəhd etdilər. Ehtimalın hesablanmasına aid ilk addımlara Nikkolo Tartalyanın, sonralar isə Qalileo Qalileyin, Blez Paskalın və Pyer Fermanın işlərində rast gəlinir. Sonra bu oyun riyaziyyatı ciddi həyata çıxdı. On səkkizinci əsrdən başlayaraq ehtimal anlayışı həyat sığortasının riyazi nəzəriyyəsində, doğum və ölüm statistikasının araşdırılmasında işlənməyə başladı. İyirminci əsrdə isə böyük riyaziyyatçı Andrey Kolmoqorov müasir ehtimal nəzəriyyəsinin əsaslarını qoydu. Bu gün öyrəndiyimiz sözlər və qaydalar həmin uzun yolun nəticəsidir. İndi gəlin bu nəzəriyyənin dilini öyrənək. Hər şey sınaqdan başlayır. Sınaq, nəticəsini qabaqcadan dəqiq bilmədiyimiz bir təcrübə və ya müşahidədir: pul atmaq, zər atmaq, torbadan şar çıxarmaq. Bir zər ataq. Yuxarı üzə bir, iki, üç, dörd, beş və ya altı xal düşə bilər. Bu altı nəticənin heç biri daha kiçik hissələrə ayrılmır. Belə ayrılmayan nəticəyə elementar hadisə deyilir. Bütün elementar hadisələrin birlikdə yaratdığı çoxluğa isə elementar hadisələr fəzası, yaxud sınaq fəzası deyilir. Zər üçün bu fəza altı nəticədən ibarətdir. Hadisə isə bu fəzadan seçdiyimiz istənilən nəticələr qrupudur. Məsələn, «cüt xal düşür» hadisəsi üç nəticəni birləşdirir: iki, dörd və altı. Heç bir nəticəni əhatə etməyən hadisə mümkün olmayan hadisədir, məsələn, zərdə yeddi xalın düşməsi. Bütün nəticələri əhatə edən hadisə isə yəqin hadisədir: zərdə birdən altıya qədər hansısa xal mütləq düşəcək. Hadisələri birləşdirmək də olar. «Və ya» deyəndə hadisələrin birləşməsini alırıq: nəticə onlardan heç olmasa birinə daxil olsa, bəsdir. «Həm də» deyəndə isə kəsişməni alırıq: nəticə hər ikisinə eyni vaxtda daxil olmalıdır. Ortaq nəticəsi olmayan hadisələrə uyuşmayan hadisələr deyilir: bir atışda həm iki, həm də beş xal düşə bilməz. Bir hadisəyə daxil olmayan bütün nəticələr isə onun tamamlayıcı, yəni əks hadisəsidir. «Cüt xal» hadisəsinin əksi «tək xal» hadisəsidir. İndi stadiondakı sualımıza qayıdaq. Pulun iki üzü var və hər üzün düşmə imkanı eynidir. Belə nəticələrə eyniimkanlı nəticələr deyilir. Nəticələr eyniimkanlı olanda hadisənin ehtimalını sınaq başlamamış hesablamaq olar. Qayda belədir, və bu dərsdə deyəcəyimiz yeganə düstur da budur: hadisənin ehtimalı, onun üçün əlverişli nəticələrin sayının bütün mümkün nəticələrin sayına nisbətidir. Pul üçün mümkün nəticə ikidir, istədiyimiz üz isə birdir: ehtimal ikidə birdir, yəni yarıdır. Zərdə cüt xalın düşməsi üçün altı nəticədən üçü əlverişlidir. Yenə yarı alınır. Bu tərifdən bir neçə sadə, amma çox güclü nəticə çıxır. Birincisi, ehtimal həmişə sıfırla bir arasındadır. Mümkün olmayan hadisənin ehtimalı sıfırdır, yəqin hadisənin ehtimalı birdir. İkincisi, bütün elementar nəticələrin ehtimallarını toplasaq, düz bir alınır. Üçüncüsü, hadisənin baş verməsi ilə baş verməməsinin ehtimalları cəmi də birə bərabərdir. Bu sonuncu fikir bəzən işi xeyli asanlaşdırır. Dərslikdəki bir nümunəni xatırlayaq. Torbada sarı, qırmızı və ağ şarlar var. Ağ şarın çıxma ehtimalı iyirmi beş faiz, qırmızı şarınkı otuz faizdir. Bu iki hadisə uyuşmur, ona görə də «ağ və ya qırmızı» ehtimalı sadəcə toplanır: əlli beş faiz. Sarı şar isə məhz ağ və ya qırmızı olmayan şardır. Deməli, onun ehtimalı qalan hissədir, yəni qırx beş faiz. Amma burada bir tələ var. Gəlin iki zəri birlikdə ataq və düşən xalları toplayaq. Cəm ikidən on ikiyə qədər on bir müxtəlif qiymət ala bilər. İlk baxışda elə gəlir ki, hər cəmin şansı on birdə birdir. Bu, səhvdir, çünki bu on bir cəm eyniimkanlı deyil. Eyniimkanlı olanlar cəmlər yox, cütlərdir. Birinci zərin altı nəticəsi ikinci zərin altı nəticəsi ilə birləşib otuz altı cüt yaradır. Cəm iki yalnız bir yolla alınır: hər iki zərdə bir xal. Cəm yeddi isə altı müxtəlif yolla alınır. Ona görə də yeddi ən çox düşən cəmdir: onun ehtimalı altıda birdir, cəm ikinin ehtimalı isə otuz altıda bir. Buradan çıxan dərs belədir: qaydanı işlətməzdən əvvəl həmişə soruşun, saydığım nəticələr həqiqətən eyniimkanlıdırmı? İndi daha incə bir fikrə keçək: əlavə məlumat ehtimalı dəyişə bilər. Yenə bir zər atırıq, amma nəticəyə baxmırıq. Hər üzün şansı altıda birdir. Sonra kimsə deyir: «Düşən xal cütdür». Bu xəbərdən sonra cəmi üç nəticə qalır: iki, dörd və altı. İndi onların hər birinin şansı altıda birdən üçdə birə qalxır. Başqa bir hadisənin baş verdiyi məlum olanda hesablanan ehtimala şərti ehtimal deyilir. Məntiqi sadədir: yeni xəbər mümkün nəticələrin dairəsini daraldır, biz isə saymağı həmin daralmış dairənin içində aparırıq. Dərslikdə bunun maraqlı bir nümunəsi var. Ailədə iki uşaq var. Mümkün hallar dörddür: oğlan və oğlan, oğlan və qız, qız və oğlan, qız və qız. Bizə deyirlər ki, uşaqlardan biri oğlandır. Bu xəbər yalnız «qız və qız» halını aradan götürür. Qalan üç bərabər haldan yalnız birində hər iki uşaq oğlandır. Deməli, cavab çoxlarının düşündüyü kimi yarı yox, üçdə birdir. Bəzən isə xəbəri birinci sınağın özü yaradır. Tələbə yataqxanasında on iki boş otaq var, onlardan üçü ən rahat sayılan üçüncü mərtəbədədir. Otaqlar nömrə çəkməklə bölünür. Əvvəlcə Elmir nömrə çəkir: onun üçüncü mərtəbəyə düşmə şansı on ikidə üçdür. Elmirin çəkdiyi nömrə geri qaytarılmır. Əgər o, üçüncü mərtəbəni çəkibsə, dostu üçün qalan on bir nömrədən cəmi ikisi həmin mərtəbəyə aiddir. Birinci çəkiliş ikincinin şansını dəyişdi. Bəs xəbər heç nəyi dəyişmirsə? Əgər bir hadisənin baş verməsi o birinin ehtimalını dəyişdirmirsə, belə hadisələrə asılı olmayan hadisələr deyilir. Bu halda onların birlikdə baş vermə ehtimalı sadəcə ayrı-ayrı ehtimalların hasilinə bərabərdir. Dərslikdəki nümunə gündəlik həyatdandır. Yeməkxana müdiri deyir ki, hər səhər təzə çörək gətirilməsinin ehtimalı səksən beş faizdir. Hər səhərin çörəyi o biri günlərdən asılı deyil. Siz bu yeməkxanada dörd gün dalbadal səhər yeməyi yesəniz, dörd səhərin hamısında təzə çörək olması ehtimalını tapmaq üçün səksən beş faizi dörd dəfə öz-özünə vurmaq lazımdır. Nəticə təxminən əlli iki faizdir. Diqqət edin: hər gün üçün şans yüksəkdir, amma dörd günün hamısının uğurlu olması artıq demək olar ki, yarı-yarıyadır. Ayrı-ayrılıqda yüksək olan ehtimallar birləşəndə ümumi ehtimal tez kiçilir. Bunu yadda saxlamaq faydalıdır: «çox güman» ilə «mütləq» arasında böyük fərq var. İndi stadiona, havada fırlanan pula qayıdaq. Biz hələ də bilmirik ki, o hansı üzü üstə düşəcək, və bunu qabaqcadan heç vaxt bilməyəcəyik. Təsadüf elə budur. Amma artıq bilirik ki, bu təsadüfün ölçüsü var: iki eyniimkanlı nəticədən biri, yəni yarı. Püşkatma məhz buna görə ədalətlidir. Yadda saxlamalı olduğumuz əsas fikir budur: ehtimal təsadüfə verilən ədəddir. O, sıfırla bir arasındadır, eyniimkanlı nəticələri saymaqla tapılır və yeni xəbər gələndə dəyişə bilər. Mərc oyunlarından sığortaya, oradan da müasir elmə qədər uzanan yol bu sadə fikirdən başladı. Addım-addım hesablamaları, iki zərin cədvəlini və şərti ehtimalın düsturunu bu mövzunun oxu dərsində və videosunda tapa bilərsiniz.