Vuruqlara ayırma: babanın əlfəcini və qonşu səhifələr

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: payız axşamıdır, çöldə yağış pəncərəni döyür. Səkkizinci sinif şagirdi Nərgiz babasıgildədir. Babası təqaüdə çıxmış riyaziyyat müəllimidir və axşamlar kreslosunda qalın bir roman oxumağı sevir. Bu axşam isə kitab əlində mürgüləyir. Birdən kitab dizindən sürüşüb xalçanın üstünə düşür, arasındakı əlfəcin də haraya isə uçub gedir. Baba gözlərini açıb gülümsəyir: «Narahat olma, harada qaldığımı bilirəm. Mən həmişə açıq qalan iki səhifənin nömrələrini bir-birinə vururam. Bu dəfə hasil min altı yüz qırx idi. Səhifəni sən tap.» Nərgiz kitabı yerdən götürür. Əvvəlcə dəftərinə bir sətir yazır, sonra bir az fikrə gedir. Bir dəqiqə keçmir ki, kitabı lazımi yerdən açıb babasına uzadır. Baba eynəyini taxır, səhifələrə baxır və başını tərpədir: «Düzdür, elə burada qalmışdım.» Amma Nərgizin dəftərində maraqlı bir şey var. Orada bir yox, iki cavab yazılıb, onlardan biri də mənfi ədəddir. Nərgiz səhifəni bu qədər tez necə tapdı? Tənlik niyə ikinci, mənfi cavabı da verdi? Cavablara dərsin sonunda qayıdacağıq. Salam! Bu dinləmə dərsində kvadrat tənlikləri vuruqlara ayırma üsulu ilə həll etməyi öyrənəcəyik. Əvvəlcə bütün üsulun dayandığı sadə bir fikirlə tanış olacağıq. Sonra iks kvadratın əmsalı bir olanda iki gizli ədədi necə axtarmağı, ardınca bu əmsal birdən fərqli olanda nə etməyi görəcəyik. Daha sonra axtarış tələb etməyən qısa yolları və tənliyi köklərinə görə yazmağı öyrənəcəyik. Ən sonda isə bir sahə məsələsi həll edib Nərgizin sirrini açacağıq. Hər şey vurmaya aid sadə bir faktdan başlayır. İki ədədin hasili sıfırdırsa, onlardan heç olmasa biri sıfırdır. Səbəbi aydındır: sıfırdan fərqli iki ədədi vursanız, heç vaxt sıfır almazsınız. Bu fakt dərsimizin açarıdır. Tənliyin sol tərəfini iki mötərizənin hasili kimi yaza bilsək, sağ tərəfdə isə sıfır dursa, bir kvadrat tənlik iki sadə xətti tənliyə bölünür. Bir misala baxaq. Tənlik belədir: iks çıx doqquz mötərizəsi vurulsun beş iks üstəgəl altı mötərizəsinə, bərabərdir sıfıra. Hasil sıfırdır, deməli, ya birinci mötərizə sıfırdır, ya da ikinci. Birincidən iks doqquza bərabər olur. İkincidən beş iks mənfi altıya bərabər olur, iks isə mənfi bir tam onda iki. Burada tipik səhv olur: mötərizədə çıx doqquz yazıldığı üçün kökü mənfi doqquz götürmək. Əslində kök mötərizəni sıfır edən ədəddir, yəni müsbət doqquz. Bir şərti də unutmayın: sağ tərəfdə mütləq sıfır olmalıdır. Tutaq ki, iki ədədin hasili altıdır. Bu ədədlər iki və üç ola bilər, bir və altı ola bilər, mənfi iki və mənfi üç də ola bilər, hətta kəsr ədədlər də. Variantların sonu yoxdur və mötərizələrin heç biri haqqında heç nə demək olmur. Sıfırın isə xüsusi gücü var. Ona görə həll etməzdən əvvəl bütün hədləri bir tərəfə keçirib o biri tərəfdə sıfır saxlayırıq. İndi əsas suala keçək: iks kvadrat, iksli hədd və adi ədəddən ibarət üçhədlini iki mötərizəyə necə ayıraq? Bunun üçün vurmanı tərsinə düşünək. İks üstəgəl bir ədəd mötərizəsini iks üstəgəl başqa bir ədəd mötərizəsinə vursaq, əvvəldə iks kvadrat alınır, ortada bu iki ədədin cəmi qədər iks, sonda isə onların hasili. Dərslik bunu belə deyir: elə iki ədəd tapmaq lazımdır ki, onların hasili sərbəst həddə, cəmi isə ikinci əmsala bərabər olsun. Bu dərsin əsas qaydası budur: hasil sərbəst həddir, cəm ikinci əmsal. Bu ədədləri harada axtaraq? Əmsallar tam ədədlərdirsə, axtardığımız ədədlər sərbəst həddin bölənləri arasındadır. İlk misal: iks kvadrat üstəgəl on doqquz iks üstəgəl otuz dörd bərabərdir sıfıra. Hasili otuz dörd, cəmi on doqquz olan iki ədəd lazımdır. Bir və otuz dörd cəmdə otuz beş verir, uyğun gəlmir. İki və on yeddi isə düz on doqquz. Deməli, tənlik iks üstəgəl iki vurulsun iks üstəgəl on yeddi, bərabərdir sıfıra şəklinə düşür. Köklər mənfi iki və mənfi on yeddidir. Diqqət edin: ikinci əmsal da, sərbəst hədd də müsbət olanda hər iki kök mənfi alındı. İkinci əmsal mənfi, sərbəst hədd isə müsbət olanda nə dəyişir? Hasil müsbətdirsə, iki ədəd eyni işarəlidir, cəm mənfidirsə, deməli, ikisi də mənfidir. Məsələn, iks kvadrat çıx iyirmi altı iks üstəgəl altmış doqquz bərabərdir sıfıra. Hasili altmış doqquz, cəmi mənfi iyirmi altı olan iki mənfi ədəd axtarırıq. Mənfi bir və mənfi altmış doqquz cəmdə mənfi yetmiş verir. Mənfi üç və mənfi iyirmi üç isə düz mənfi iyirmi altı. Tənlik iks çıx üç vurulsun iks çıx iyirmi üç şəklinə gəlir, köklər isə üç və iyirmi üçdür. Üçüncü hal: sərbəst hədd mənfidir. Onda iki ədəd müxtəlif işarəli olur, çünki yalnız müxtəlif işarəli ədədlərin hasili mənfidir. Müxtəlif işarəli iki ədədi toplayanda isə əslində onların fərqi alınır. Məsələn, iks kvadrat çıx altı iks çıx on altı bərabərdir sıfıra. Hasili mənfi on altı, cəmi mənfi altı olan ədədlər lazımdır. On altının vuruqları arasında fərqi altı olan cüt iki və səkkizdir. Cəm mənfi olmalıdır, ona görə mənfi işarəni böyük ədədə veririk: mənfi səkkiz və iki. Tənlik iks çıx səkkiz vurulsun iks üstəgəl iki olur, köklər səkkiz və mənfi ikidir. Burada iki tipik səhv var. Birincisi, ədədləri yalnız hasilə görə seçmək. Dörd və mənfi dörd də hasildə mənfi on altı verir, amma onların cəmi sıfırdır, mənfi altı deyil. Ona görə hər cütü həm hasillə, həm də cəmlə yoxlayın. İkincisi, işarələri dəyişik salmaq. Səkkiz və mənfi iki götürsək, cəm müsbət altı olar və köklərin ikisi də səhv çıxar. Bəzən belə cüt ümumiyyətlə olmur. Məsələn, iks kvadrat üstəgəl yeddi iks üstəgəl beş üçhədlisinə baxaq. Hasili beş olan müsbət tam ədədlər yalnız bir və beşdir, onların cəmi isə altıdır, yeddi deyil. Mənfi bir və mənfi beşin cəmi də mənfidir. Belə halda dərslik bu nəticəyə gəlir: bu üçhədlini tam ədədlərdən istifadə etməklə vuruqlarına ayırmaq mümkün deyil. Belə tənliklər üçün başqa üsullar var və onları növbəti dərslərdə öyrənəcəyik. İndi siz sınayın. İks kvadrat üstəgəl iks çıx əlli altı bərabərdir sıfıra. Burada ikinci əmsal birdir. Hasili mənfi əlli altı, cəmi bir olan iki ədəd tapın. Bir az fikirləşin. Sərbəst hədd mənfidir, ona görə ədədlər müxtəlif işarəlidir və onların fərqi birdir. Əlli altının vuruqları arasında fərqi bir olan cüt yeddi və səkkizdir. Cəm müsbət olmalıdır, ona görə böyük ədəd müsbətdir: səkkiz və mənfi yeddi. Tənlik iks üstəgəl səkkiz vurulsun iks çıx yeddi şəklinə düşür, köklər isə mənfi səkkiz və yeddidir. İndi daha çətin hala keçək: iks kvadratın qarşısında bir yox, başqa ədəd durur. Burada dərslik bir az fərqli yol göstərir. Yenə iki ədəd axtarırıq. Onların cəmi yenə ikinci əmsala bərabərdir, hasili isə indi birinci əmsalla sərbəst həddin hasilinə bərabər olmalıdır. Sonra ortadakı həddi bu iki ədədə görə iki hissəyə bölürük, hədləri cüt-cüt qruplaşdırırıq və hər cütdən ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarırıq. Misal: üç iks kvadrat üstəgəl iyirmi iki iks üstəgəl yeddi bərabərdir sıfıra. Birinci əmsalla sərbəst həddin hasili üç vurulsun yeddi, yəni iyirmi birdir. Hasili iyirmi bir, cəmi iyirmi iki olan ədədlər lazımdır: bunlar bir və iyirmi birdir. Deməli, iyirmi iki iksi bir iks üstəgəl iyirmi bir iks kimi yazırıq. Tənlik belə olur: üç iks kvadrat, üstəgəl iks, üstəgəl iyirmi bir iks, üstəgəl yeddi, bərabərdir sıfıra. İndi qruplaşdıraq. İlk iki həddən iksi mötərizə xaricinə çıxarırıq: iks vurulsun üç iks üstəgəl bir. Son iki həddən yeddini çıxarırıq: yeddi vurulsun üç iks üstəgəl bir. Diqqət edin, eyni mötərizə iki dəfə yarandı. Onu da ortaq vuruq kimi çıxarırıq və tənlik belə olur: üç iks üstəgəl bir vurulsun iks üstəgəl yeddi bərabərdir sıfıra. İkinci mötərizədən iks mənfi yeddiyə bərabərdir. Birincidən üç iks mənfi birə bərabərdir, iks isə mənfi üçdə bir. Bu üsulda üç tipik səhv olur. Birincisi, hasili birinci əmsala vurmadan, yalnız sərbəst həddə görə axtarmaq. Yeddinin vuruqları bir və yeddidir, onların cəmi səkkizdir, iyirmi iki deyil. İkincisi, tapılan köməkçi ədədləri, yəni bir və iyirmi biri, kök sanmaq. Onlar kök deyil, sadəcə orta həddi bölmək üçündür. Üçüncüsü, sonda birinci əmsala bölməyi unutmaq və mənfi üçdə bir yerinə mənfi bir yazmaq. İşarələr isə əvvəlki kimi işləyir: hasil müsbət, cəm mənfidirsə, ədədlərin ikisi də mənfidir, hasil mənfidirsə, ədədlər müxtəlif işarəlidir. Bəzi tənliklərdə heç bir axtarışa ehtiyac yoxdur. Sərbəst hədd yoxdursa, iksi ortaq vuruq kimi mötərizə xaricinə çıxarmaq kifayətdir. Məsələn, iki iks kvadrat bərabərdir on yeddi iksə. On yeddi iksi sola keçirib iksi mötərizə xaricinə çıxarırıq: iks vurulsun iki iks çıx on yeddi bərabərdir sıfıra. Köklər sıfır və səkkiz tam onda beşdir. Tipik səhv: tənliyin hər iki tərəfini iksə bölmək. Onda sıfır kökü itir. Qısa vurma düsturları da çox kömək edir. İki ədədin kvadratları fərqi onların fərqi ilə cəminin hasilinə bərabərdir. Məsələn, dörd iks kvadrat çıx səksən bir bərabərdir sıfıra. Dörd iks kvadrat iki iksin kvadratıdır, səksən bir isə sadəcə doqquzun kvadratıdır. Deməli, tənlik iki mötərizəyə ayrılır: iki iks çıx doqquz, vurulsun iki iks üstəgəl doqquz, bərabərdir sıfıra. Köklər dörd tam onda beş və mənfi dörd tam onda beşdir. Başqa bir hal tam kvadratdır. İks kvadrat çıx səkkiz iks üstəgəl on altı, iks çıx dörd ifadəsinin kvadratıdır. Deməli, tənliyin iki bərabər kökü var və ikisi də dördə bərabərdir. Burada tələ var: bu tənliyi «iks kvadrat on altıya bərabərdir» kimi oxuyub mənfi dördü də yazmaq. Ortadakı həddi unutmaq olmaz, mənfi dörd bu tənliyin kökü deyil. Bəzən tənlikdə eyni ifadə təkrarlanır. Məsələn: iks üstəgəl bir mötərizəsinin kvadratı, çıx iks üstəgəl bir mötərizəsi, çıx altı, bərabərdir sıfıra. Mötərizələri açmağa tələsməyin. Təkrarlanan iks üstəgəl bir ifadəsini bir hərflə, məsələn, te ilə əvəz edək. Onda tənlik sadələşir: te kvadrat çıx te çıx altı bərabərdir sıfıra. Hasili mənfi altı, cəmi mənfi bir olan ədədlər mənfi üç və ikidir, deməli, te ya üçə, ya da mənfi ikiyə bərabərdir. Amma iş hələ bitməyib, çünki bizə te yox, iks lazımdır. Tipik səhv elə burada dayanmaqdır. İks üstəgəl bir üçə bərabərdirsə, iks ikidir. İks üstəgəl bir mənfi ikiyə bərabərdirsə, iks mənfi üçdür. Cavab: iki və mənfi üç. Bu üsulu tərsinə də işlətmək olar: köklər məlumdursa, tənliyi yazmaq asandır. Hər kökü iksdən çıxırıq və alınan mötərizələri vururuq. Tutaq ki, köklər doqquz və mənfi dörddür. Onda tənlik iks çıx doqquz vurulsun iks üstəgəl dörd bərabərdir sıfıra olur. Mötərizələri açanda iks kvadrat çıx beş iks çıx otuz altı bərabərdir sıfıra alınır. Diqqət edin: mənfi dörd kökü mötərizədə üstəgəl dörd kimi yazılır. Tipik səhv kökün işarəsini dəyişməyi unutmaqdır. Son fəsildə vuruqlara ayırmanı real bir məsələdə işlədək. Düzbucaqlı formalı bir bağçanın ətrafına hasar çəkiblər. Hasarın uzunluğu otuz iki metrdir, bağçanın sahəsi isə altmış üç kvadrat metr. Bağçanın tərəfləri nə qədərdir? Hasar bağçanı tam dövrə vurur, ona görə iki qonşu tərəfin cəmi hasarın yarısıdır, yəni on altı metr. Bir tərəfi iks metr götürək, onda o biri tərəf on altı çıx iks olur. Sahə onların hasilidir. Mötərizəni açıb hədləri bir tərəfə toplayanda belə tənlik alınır: iks kvadrat çıx on altı iks üstəgəl altmış üç bərabərdir sıfıra. Hasili altmış üç, cəmi mənfi on altı olan iki mənfi ədəd lazımdır. Mənfi bir və mənfi altmış üç uyğun gəlmir, mənfi yeddi və mənfi doqquz isə uyğundur. Köklər yeddi və doqquzdur. İndi kökləri məsələnin mənası ilə yoxlayaq. Bu dəfə hər iki kök müsbətdir və ikisi də yaxşıdır. Bir tərəfi yeddi götürsək, o biri doqquz olur, doqquz götürsək, o biri yeddi. Deməli, iki kök eyni bağçanı göstərir: eni yeddi, uzunluğu doqquz metr. Yoxlayaq: yeddi ilə doqquzun cəmi on altıdır, hasili isə altmış üç. İndi babanın evinə qayıdaq. Nərgiz kitablar haqqında sadə bir şeyi bilirdi: kitab açıq olanda üz-üzə duran iki səhifənin nömrələri ardıcıl ədədlərdir, biri o birindən bir vahid böyükdür. Kiçik nömrəni iks ilə işarə etdi, onda böyük nömrə iks üstəgəl bir olur. Onların hasili min altı yüz qırxdır. Mötərizəni açıb min altı yüz qırxı sola keçirəndə Nərgizin dəftərindəki sətir alınır: iks kvadrat üstəgəl iks çıx min altı yüz qırx bərabərdir sıfıra. Hasili mənfi min altı yüz qırx, cəmi bir olan iki ədəd lazım idi. Cəm birdirsə, ədədlər müxtəlif işarəlidir və fərqləri birdir, yəni onlar qonşu ədədlərdir. Nərgiz belə düşündü: qırx vurulsun qırx min altı yüz edir, bu isə bizim hasilə çox yaxındır. Qırx vurulsun qırx bir isə düz min altı yüz qırx edir. Deməli, ədədlər qırx bir və mənfi qırxdır. Tənlik iks üstəgəl qırx bir vurulsun iks çıx qırx bərabərdir sıfıra şəklinə düşür, köklər qırx və mənfi qırx birdir. Nərgiz kitabı qırxıncı və qırx birinci səhifələrdən açdı. Bəs mənfi qırx bir haradan çıxdı? Nərgizin tənliyi əslində belə bir sual verirdi: hasili min altı yüz qırx olan hansı iki qonşu ədəd var? Belə cüt ikidir: qırx və qırx bir, bir də mənfi qırx bir və mənfi qırx. Axı iki mənfi ədədin hasili də müsbətdir. Tənlik hər iki cütü düzgün tapdı, amma kitabda mənfi səhifə olmur. Ona görə lazım olan cavabı yenə məsələnin mənası seçdi. Gəlin bir fikri yadda saxlayaq. Hasil sıfırdırsa, vuruqlardan biri sıfırdır. Ona görə kvadrat tənliyi bir tərəfində sıfır olan şəklə gətiririk və o biri tərəfi iki mötərizəyə ayırırıq. İks kvadratın əmsalı birdirsə, hasili sərbəst həddə, cəmi ikinci əmsala bərabər olan iki ədəd axtarırıq. Bu əmsal birdən fərqlidirsə, hasili birinci əmsalla sərbəst həddin hasilinə bərabər olan ədədlərlə orta həddi bölüb qruplaşdırırıq. Ortaq vuruq, qısa vurma düsturları və əvəzləmə isə yolu qısaldır. Addım-addım yazılışı oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Növbəti dəfə kitab oxuyanda üz-üzə duran səhifələrin nömrələrini vurub özünüzü sınayın. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!