Həqiqi ədədlər: ruletkaya sığmayan nöqtə

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: şənbə səhəridir, köhnə bir məhəllədəyik. Həyətin küncündə Zaur dayının kiçik dülgər emalatxanası var. Qapı açıqdır, həyətdən quş səsləri gəlir. Zaur dayı təzəcə dəyirmi bir stol üstü düzəldib. Stol üstünün diametri düz bir metrdir. İndi onun kənarına nazik taxta zolaq yapışdırmaq lazımdır. Bəs bu zolaq nə qədər uzun olmalıdır? Zaur dayının bacısı qızı Lalə və onun kiçik qardaşı Ramin köməyə gəlirlər. Lalə ruletkanı açıb döşəmə boyunca uzadır. Ramin təbaşirlə stolun kənarına kiçik bir xətt çəkir və bu xətti ruletkanın sıfır bölgüsünə qoyur. Sonra stolu kənarı üstə yavaş-yavaş diyirlədir, düz bir dəfə fırlanana qədər. Təbaşir xətti yenidən döşəməyə toxunur. Lalə əyilib baxır: üç metr on dörd santimetr. Və bir az da. Ramin böyüdücü şüşə gətirir. On dörd santimetrdən sonra bir millimetr də keçib, amma yenə bir az artıq var. Lalə soruşur: «Daha incə ruletka olsaydı, bu nöqtəni dəqiq tapardıqmı?» Zaur dayı gülümsəyir: «Metri bərabər hissələrə bölən elə bir ruletka yoxdur ki, bölgülərindən biri düz bu nöqtəyə düşsün.» Bu necə ola bilər? Nöqtə ki, gözümüzün qabağındadır. Bu sualın cavabını dərsin sonunda birlikdə tapacağıq. Salam! Xoş gəlmisiniz. Bu gün həqiqi ədədlərdən danışacağıq: kəsrlərdən, kəsrə sığmayan ədədlərdən və onların hamısının ədəd oxunda necə yerləşdiyindən. Əvvəlcə ruletkaya qayıdaq. Ruletkanın üzərindəki hər bölgü bir kəsrdir. Məsələn, üç metr on dörd santimetr üç yüz on dörd bölü yüz metrdir. Surəti tam ədəd, məxrəci natural ədəd olan kəsr şəklində yazıla bilən hər ədədə rasional ədəd deyilir. Beş də rasionaldır, çünki beşi on bölü iki kimi yazmaq olar. Mənfi yeddi bölü dörd də rasionaldır. Kəsri onluq kəsrə çevirmək üçün surəti məxrəcə bölürük. Yeddi bölü iki üç tam onda beşdir, və bölmə burada bitdi. Belə kəsrə sonlu onluq kəsr deyilir. İndi isə yeddini üçə bölək. Yeddinin içində üç iki dəfə var, bir qalır. Qalığın yanına sıfır yazırıq və on alırıq. On ədədində üç yenə üç dəfə var və yenə bir qalır. Qalıq hər dəfə eyni olduğu üçün vergüldən sonra yalnız üçlər gəlir, sonsuza qədər. Belə kəsrə sonsuz dövri onluq kəsr deyilir, təkrarlanan rəqəmlər qrupuna isə dövr. Oxuyanda belə deyirik: iki tam, dövrdə üç. Bölmədə qalıq həmişə məxrəcdən kiçikdir, buna görə gec-tez hansısa qalıq təkrarlanır və rəqəmlər də təkrarlanmağa başlayır. Deməli, istənilən kəsr ya sonlu, ya da sonsuz dövri onluq kəsr verir. Tərsi də doğrudur: hər bir sonsuz dövri onluq kəsr müəyyən rasional ədədi ifadə edir. Tez-tez edilən bir səhvə diqqət edin. Bəziləri belə düşünür: kəsr sonsuzdursa, deməli, rasional deyil. Bu fikir yanlışdır. İki tam, dövrdə üç sonsuzdur, amma yeddi bölü üçə bərabərdir, yəni rasionaldır. İndi isə daha maraqlı ədədlərə keçək. Təsəvvür edin ki, vergüldən sonra rəqəmlər belə düzülür: əvvəl bir dənə yeddi və sıfır. Sonra iki dənə yeddi və yenə sıfır. Sonra üç dənə yeddi və yenə sıfır. Burada qayda var, amma dövr yoxdur, çünki hər qrup əvvəlkindən uzundur. Dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrlər irrasional ədədləri ifadə edir. İrrasional ədədi kəsr şəklində yazmaq mümkün deyil. Emalatxanadakı stolun kənarı da məhz belə bir ədəddir. Diametri bir metr olan dairənin çevrəsinin uzunluğu pi metrdir. Pi təqribən üç tam yüzdə on dördə bərabərdir, amma onun rəqəmləri sonsuza qədər davam edir və heç vaxt təkrarlanmır. Pi irrasional ədəddir. Lalənin ruletkasındakı hər bölgü isə rasional ədəddir. Elə buna görə heç bir bölgü pi nöqtəsinin özü deyil. İrrasional ədədlərin ən tanış mənbəyi kvadrat köklərdir. Qayda belədir: əgər ədəd heç bir natural ədədin kvadratı deyilsə, onun kvadrat kökü irrasional ədəddir. Məsələn, kök altında üç yüz on. On yeddinin kvadratı iki yüz səksən doqquza bərabərdir. On səkkizin kvadratı isə üç yüz iyirmi dörddür. Üç yüz on bu iki ədədin arasındadır, deməli, kök altında üç yüz on irrasionaldır. Pi isə rasional ədədlərin heç birinin kökünə bərabər deyil, yəni irrasional ədədlərin hamısı kök deyil. Dərsliyimizdə maraqlı bir qeyd var. Məşhur alim Arximed kvadratı üçə bərabər olan rasional ədəd axtarırdı. Tapdığı iki kəsrdən birinin kvadratı üçdən azca kiçik, digərininki isə üçdən azca böyük çıxdı. Bu, Arximedin səhvi deyildi. Kök altında üç irrasional ədəddir, buna görə də kvadratı düz üç olan kəsr ümumiyyətlə yoxdur. İndi sizə bir sual. Kök altında dörd yüz qırx bir. Bu ədəd rasionaldır, yoxsa irrasional? Kiçik bir ipucu: iyirmiyə yaxın bir ədəd axtarın. Bir az fikirləşin. İyirmi birin kvadratı dörd yüz qırx birdir. Deməli, kök altında dörd yüz qırx bir iyirmi birə bərabərdir və rasional ədəddir. Kök işarəsinin olması ədədi irrasional etmir. Əsas sual budur: kök altındakı ədəd tam kvadratdır, yoxsa yox? İndi bütün bu ədədləri bir ailədə toplayaq. Bir-birinin içinə qoyulan qutuları təsəvvür edin. Ən kiçik qutuda natural ədədlər var. Bu qutu tam ədədlər qutusunun içindədir, orada sıfır və mənfi tam ədədlər də var. Tam ədədlər qutusu isə rasional ədədlər qutusunun içindədir, orada bütün kəsrlər də var. Ən böyük qutu həqiqi ədədlər çoxluğudur. Bu böyük qutunun içində, rasional ədədlərin yanında, ayrıca bir bölmə də var: irrasional ədədlər çoxluğu. Hər həqiqi ədəd ya rasionaldır, ya da irrasionaldır. Bir ədəd ikisi birdən ola bilməz. Gəlin bir neçə ədədi öz qutusuna qoyaq. Səkkiz natural ədəddir, deməli, o həm də tam, rasional və həqiqi ədəddir. Mənfi səkkiz natural ədəd deyil, amma tam ədəddir, yəni həm də rasional və həqiqidir. İki tam, dövrdə üç tam ədəd deyil, amma rasionaldır. İrrasional ədədlər bölməsinə isə kök altında üç yüz on düşür. Dördü də həqiqi ədəddir. Həqiqi ədədlərin ən gözəl xassəsi ədəd oxunda görünür. Ədəd oxunun hər bir nöqtəsinə bir həqiqi ədəd, hər bir həqiqi ədədə isə ədəd oxunda bir nöqtə uyğundur. Sağdakı nöqtəyə uyğun ədəd soldakından böyükdür. Emalatxanadakı təbaşir izini xatırlayın. Ruletka ədəd oxuna bənzəyir, iz isə pi nöqtəsidir. Bu nöqtə var, onu barmaqla göstərmək olar, sadəcə heç bir kəsr ona bərabər deyil. Bəs kök altında üç yüz on ədəd oxunun harasındadır? Burada sadə bir fikir kömək edir: sahəsi böyük olan kvadratın tərəfi də böyükdür. Üç yüz on ədədi iki yüz səksən doqquzdan böyük, üç yüz iyirmi dörddən isə kiçikdir. Buna görə də bu kök on yeddidən böyük, on səkkizdən kiçikdir. Mənfi kök üçün güzgü kimi düşünün. Mənfi kök altında üç yüz on sıfırın sol tərəfindədir, mənfi on səkkiz ilə mənfi on yeddi arasında. Yadda saxlayın: ədəd oxunda soldakı ədəd kiçikdir, yəni mənfi on səkkiz mənfi on yeddidən kiçikdir. İndi Raminin böyüdücü şüşəsini götürüb kökə daha yaxından baxaq. On yeddi tam onda altının kvadratı üç yüz doqquz tam yüzdə yetmiş altıdır. Bu, üç yüz ondan cəmi bir az kiçikdir. On yeddi tam onda yeddinin kvadratı isə artıq üç yüz ondan böyükdür. Deməli, kökümüz on yeddi tam onda altı ilə on yeddi tam onda yeddi arasındadır və birinciyə çox yaxındır. Yuvarlaqlaşdırsaq, onun ondabirlərə qədər təqribi qiyməti on yeddi tam onda altıdır. Belə yaxınlaşmanın sonu yoxdur, çünki kök irrasionaldır. Ramin də böyüdücü ilə məhz bunu görmüşdü. Son fəsildə ədədləri müqayisə edək. İki müsbət ədəddən hansının böyük olduğunu bilmək üçün onların kvadratlarını müqayisə etmək olar: kvadratı böyük olan ədəd özü də böyükdür. Sizə sual: kök altında yüz on, yoxsa on tam onda beş? Hansı böyükdür? Bir az fikirləşin. On tam onda beşin kvadratı yüz on tam yüzdə iyirmi beşdir. Bu, yüz ondan bir az böyükdür. Deməli, on tam onda beş daha böyükdür, cəmi bir saç teli qədər. Mənfi ədədlərdə isə sıra tərsinə dönür: mənfi on tam onda beş mənfi kök altında yüz ondan kiçikdir. İndi Lalənin ölçdüyü üç tam yüzdə on dördü, pi ədədini və üç tam, dövrdə on dördü götürək. Gəlin bunları artan sırada düzək. Rəqəmləri soldan sağa müqayisə edirik. Üçü də vergüldən sonra bir və dörd ilə başlayır. Üç tam yüzdə on dördün sonrakı rəqəmləri sıfırdır, dövri ədəddə isə yenə bir gəlir, deməli, dövri ədəd böyükdür. Pi də eyni üç rəqəmlə başlayır, amma dördüncü rəqəmi beşdir, dövri ədədinki isə dörd. Sıra belədir: əvvəl üç tam yüzdə on dörd, sonra üç tam, dövrdə on dörd, ən sonda isə pi. Gəlin emalatxanaya qayıdaq. Zaur dayı zolağı bir az uzun kəsir, stolun kənarına dolayır və artığını ucların görüşdüyü yerdə kəsir. Praktikada belə edirik: irrasional ədədi onun təqribi qiyməti ilə əvəz edirik. Bəs Lalənin sualı? Təbaşir izi pi ədədinin nöqtəsidir, pi isə irrasionaldır. Ruletka nə qədər incə olsa da, onun hər bölgüsü yenə bir kəsrdir. Bölgülər izə istədiyimiz qədər yaxınlaşa bilər, amma heç bir bölgü pi-nin özü deyil, ola da bilməz. Yadda saxlamağa bir fikir: kəsr şəklində yazıla bilən ədədlər rasionaldır, onların onluq yazılışı ya bitir, ya da təkrarlanır. Dövrü olmayan sonsuz onluq kəsrlər irrasionaldır. Hamısı birlikdə həqiqi ədədlərdir və ədəd oxunun hər nöqtəsinə bir həqiqi ədəd düşür. Ətraflı nümunələr üçün oxu dərsinə və videoya baxın. Son sual da sizdən: altı tam, dövrdə bir. Bu ədəd rasionaldır, yoxsa irrasional? Növbəti dərsdə görüşənədək!