Audio dərs · Müddət
11:16
Mətn (transkript)
Salam. Gəlin bu gün bir tapmaca ilə başlayaq. Qarşımızda kağız üzərində uzun bir bölmə var. Bölünən belədir: iki iks kub, üstəgəl üç iks kvadrat, çıx beş iks, üstəgəl yeddi. Bölən isə qısadır: iks çıx iki. Bölməni sona qədər aparanda qismət belə alınır: iki iks kvadrat, üstəgəl yeddi iks, üstəgəl doqquz. Qalıq isə iyirmi beşdir. İndi iksləri bir kənara qoyub yalnız ədədləri dinləyin. Bölünənin əmsalları: iki, üç, mənfi beş, yeddi. Qismətin əmsalları: iki, yeddi, doqquz. Və sonda qalıq: iyirmi beş. Bu iki sıra arasında sadə bir əlaqə gizlənib, və onun açarı bölənin içindəki o kiçik ikidir. Əlaqəni tapmaq üçün əvvəlcə bölmənin özünü yaxşı anlamalıyıq. Dərsin sonunda tapmacaya mütləq qayıdacağıq. Əvvəlcə tanış bir şeydən başlayaq, adi ədədlərin qalıqlı bölünməsindən. Tutaq ki, beş yüz əlli ikini on yeddiyə bölürük. Bu halda qismət otuz iki, qalıq isə səkkiz olur. Yoxlama da çox asandır. On yeddi vur otuz iki beş yüz qırx dörd edir. Ona səkkiz əlavə edəndə yenə beş yüz əlli iki alınır. Diqqət edin, qalıq olan səkkiz bölən olan on yeddidən kiçikdir. Qalıq bölənə çatsaydı, qismətə daha bir vahid əlavə etmək olardı. Çoxhədlilərdə də hekayə eynidir, sadəcə ədədlərin yerində çoxhədlilər dayanır. Bölünən, bölən, qismət və qalıq yenə buradadır, və onları bir cümlə bağlayır: bölünən bərabərdir qismət vur bölən, üstəgəl qalıq. Bu dərsin yeganə düsturu budur. Bəs qalığın kiçik olması burada nə deməkdir? Çoxhədliləri dərəcə ilə müqayisə edirik: qalığın dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçik olmalıdır. İks çıx üç kimi birinci dərəcəli ikihədliyə bölərkən qalıq sadəcə bir ədəd olur. İkinci dərəcəli çoxhədliyə bölərkən isə qalıq ən çoxu birinci dərəcəli ola bilər. Bir neçə sözü də təzələyək. Çoxhədlini həmişə iksin dərəcələri azalan qaydada yazırıq. Ən böyük dərəcəli hədd baş hədd adlanır, onun əmsalı baş əmsal, iksi olmayan son hədd isə sərbəst hədd. Məsələn, tapmacadakı bölünəndə baş hədd iki iks kubdur, baş əmsal ikidir, sərbəst hədd isə yeddidir. Bu sözlər bölmədə bizə yol göstərəcək. İndi əsl bölməyə keçək. Məktəbdə ədədləri künc şəklində böldüyünüz kimi, çoxhədliləri də addım-addım bölürük. Dərslik buna budaqlı bölmə deyir. Qayda bir cümlədir: hər addımda bölünənin ilk həddi bölənin baş həddinə bölünür. Nümunəmiz belədir: iks kub, çıx iki iks kvadrat, çıx dörd iks, üstəgəl beş, bölünür iks çıx üçə. Burada iks üçə bərabər ola bilməz, çünki onda bölən sıfır olar, sıfıra bölmək isə olmaz. Birinci addım. Bölünənin ilk həddi iks kubdur, bölənin baş həddi isə iks. İks kubu iksə bölsək, iks kvadrat alınır. Bu, qismətin ilk həddidir. İndi iks kvadratı bütün bölənə vururuq: iks kub, çıx üç iks kvadrat. Bunu bölünənin əvvəlindən çıxırıq. İks kublar silinir. Mənfi iki iks kvadratdan mənfi üç iks kvadratı çıxanda isə bir iks kvadrat qalır. Növbəti həddi, mənfi dörd iksi aşağı endiririk. Yeni bölünənimiz: iks kvadrat, çıx dörd iks. İkinci addım. İks kvadratı iksə bölürük, iks alınır. Bu, qismətin ikinci həddidir. İksi bölənə vururuq: iks kvadrat, çıx üç iks. Çıxırıq: iks kvadratlar silinir, mənfi dörd iksdən mənfi üç iksi çıxanda mənfi bir iks qalır. Üstəgəl beşi aşağı endiririk. İndi qarşımızda mənfi iks, üstəgəl beş var. Üçüncü addım. Mənfi iksi iksə bölürük, mənfi bir alınır. Mənfi biri bölənə vururuq: mənfi iks, üstəgəl üç. Çıxanda ikslər silinir, beşdən üçü çıxırıq və iki qalır. İkinin dərəcəsi sıfırdır, bölənin dərəcəsi isə birdir. Ona görə bölmə burada dayanır. Nəticə: qismət iks kvadrat, üstəgəl iks, çıx bir. Qalıq isə ikidir. Yoxlama da ədədlərdəki kimidir: iks çıx üçü qismətə vurub üstünə iki gəlsək, yenidən iks kub, çıx iki iks kvadrat, çıx dörd iks, üstəgəl beş alınır. Bəzən bölünən qarışıq sırada verilir, bəzən də onda hansısa dərəcə çatışmır. Dərslikdəki ikinci nümunədə bölünən belə yazılıb: beş iks, üstəgəl üç iks kub, üstəgəl iki iks dördüncü dərəcədən, çıx bir. Bölən isə kvadrat üçhədlidir: iks kvadrat, çıx iki iks, üstəgəl iki. Birinci iş bölünəni dərəcələrin azalma sırası ilə düzməkdir. Alınır: iki iks dördüncü dərəcədən, üstəgəl üç iks kub, sonra iks kvadratın yeri boşdur, sonra beş iks və çıx bir. Boş yerə sıfır iks kvadrat yazırıq. Bu sıfır heç nəyi dəyişmir, amma sütunları qarışmağa qoymur. Necə ki, ədəd yazanda boş mərtəbəyə sıfır qoyuruq. Addımlar eyni qaydadır, sadəcə indi hər dəfə iks kvadrata bölürük. İki iks dördüncü dərəcədən bölü iks kvadrat, iki iks kvadrat verir. Onu bölənə vurub çıxanda yeni bölünən qalır: yeddi iks kub, çıx dörd iks kvadrat, üstəgəl beş iks. Yeddi iks kubu iks kvadrata bölürük, yeddi iks alınır. Vurub çıxanda qalan ifadə budur: on iks kvadrat, sonra çıx doqquz iks, sonra çıx bir. On iks kvadratı iks kvadrata bölürük, on alınır. Vurub çıxanda son qalan ifadə: on bir iks, çıx iyirmi bir. On bir iks, çıx iyirmi birin dərəcəsi birdir, bölənin dərəcəsi isə ikidir. Qalığın dərəcəsi artıq bölənin dərəcəsindən kiçikdir, deməli, bölmə bitdi. Qismət: iki iks kvadrat, üstəgəl yeddi iks, üstəgəl on. Qalıq: on bir iks, çıx iyirmi bir. Deməli, bölən ikinci dərəcəli olanda qalıq tək bir ədəd olmaya da bilər. O, birinci dərəcəli ikihədli ola bilər. İndi tapmacaya qayıdaq. İki iks kub, üstəgəl üç iks kvadrat, çıx beş iks, üstəgəl yeddini iks çıx ikiyə budaqlı bölmə ilə bölsəniz, hər addımda eyni hərəkəti təkrarlayacaqsınız. Qismətin yeni əmsalını bölənə vurub çıxırıq. Bölənin ikinci həddi mənfi ikidir. Mənfi iki dəfə götürülmüş ədədi çıxmaq isə iki dəfə götürülmüş ədədi əlavə etmək deməkdir. Yəni hər addımda bölünənin növbəti əmsalına qismətin son tapılmış əmsalının iki mislini əlavə edirik. Gəlin yoxlayaq. Baş əmsal, iki, olduğu kimi aşağı enir: qismətin ilk əmsalı ikidir. Sonra hər addımda iki iş görürük: ikiyə vururuq, sonra nəticəni növbəti əmsalla toplayırıq. İki vur iki, dörd. Üç üstəgəl dörd, yeddi. Yeddi vur iki, on dörd. Mənfi beş üstəgəl on dörd, doqquz. Doqquz vur iki, on səkkiz. Yeddi üstəgəl on səkkiz, iyirmi beş. Budur tapmacanın açarı. Qismətin əmsalları iki, yeddi və doqquzdur, son ədəd, iyirmi beş isə qalıqdır. Özü də bir dəfə də iks yazmadan. Bu qısa yol sintetik bölmə adlanır, dərslikdə isə Hörner sxemi kimi verilir. Dərsliyin fəsil girişində deyilir ki, çoxhədlini ikihədliyə bölmək üçün sintetik qaydanı ilk dəfə italyan riyaziyyatçısı Paolo Ruffini vermişdir. Qaydanın gücü ondadır ki, yalnız əmsallarla işləyir, buna görə də hesablama xeyli azalır. Amma onun bir şərti var: bölən iks çıx hansısa ədəd şəklində olmalıdır. Bu şərti iş başında görmək üçün dərslikdəki nümunəni götürək: iki iks kub, üstəgəl üç iks kvadrat, çıx dörd iks, üstəgəl on bir, bölünür iks üstəgəl üçə. Bölən iks üstəgəl üçdür. Onu iks çıx mənfi üç kimi yazırıq. Deməli, bu dəfə hər addımda mənfi üçə vuracağıq. Əmsalları sıra ilə yazırıq: iki, üç, mənfi dörd, on bir. Birinci əmsal, iki, olduğu kimi aşağı enir. İkini mənfi üçə vururuq: mənfi altı. Üçə mənfi altını əlavə edirik: mənfi üç. Mənfi üçü mənfi üçə vururuq: doqquz. Mənfi dördə doqquzu əlavə edirik: beş. Beşi mənfi üçə vururuq: mənfi on beş. On birə mənfi on beşi əlavə edirik: mənfi dörd. Son ədəd qalıqdır: mənfi dörd. Qalan ədədlər qismətin əmsallarıdır, qismət isə bölünəndən bir dərəcə aşağıdır: iki iks kvadrat, çıx üç iks, üstəgəl beş. Bir qeyd də: budaqlı bölmədə olduğu kimi, burada da bölünəndə çatışmayan dərəcənin yerinə sıfır əmsal yazmaq vacibdir. Sıfırı unutsanız, bütün sıra bir pillə sürüşər və cavab səhv çıxar. Gəlin hekayəni toplayaq. Çoxhədlini çoxhədliyə bölmək ədədlərin qalıqlı bölünməsinin davamıdır: bölünən bərabərdir qismət vur bölən, üstəgəl qalıq, və qalığın dərəcəsi bölənin dərəcəsindən kiçikdir. Budaqlı bölmə istənilən bölən üçün işləyir: ilk həddi baş həddə böl, bölənə vur, çıx, növbəti həddi endir. Bölən iks çıx bir ədəd olanda isə Hörner sxemi eyni işi yalnız əmsallarla görür: aşağı endir, vur, əlavə et. Tapmacanın cavabı da elə buradadır. İki, yeddi, doqquz və iyirmi beş təsadüfi ədədlər deyildi. Onlar bölənin içindəki ikinin hər addımda yenidən işə düşməsindən yarandı. Növbəti dəfə iks çıx hansısa ədədə bölmə görəndə ikslərə yox, ədədlərə baxın. Yazılı nümunələr və tapşırıqlar üçün mövzunun oxu dərsinə keçin. Diqqətiniz üçün sağ olun.