Müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi: həmişə yeddi verən oyun

Mətn (transkript)

Gəlin dərsə bir oyunla başlayaq. Fikrinizdə istənilən bir ədəd tutun və onu sirr kimi öz yanınızda saxlayın. Əvvəlcə bu ədədə üç əlavə edin. Sonra ayrıca, həmin ədəddən üç çıxın. Alınan iki nəticəni bir-birinə vurun və hasili yadda saxlayın. İndi eyni işi dördlə görün. Ədədə dörd əlavə edin, sonra ədəddən dörd çıxın və bu iki nəticəni də bir-birinə vurun. Sonda birinci hasildən ikinci hasili çıxın. Hazırsınız? Ədədiniz sizdə qaldı. Amma cavabınızı mən deyə bilərəm. Cavabınız yeddidir. Yoxlayaq. Mən özüm on götürmüşdüm. On üç vur yeddi doxsan birdir. On dörd vur altı səksən dörddür. Doxsan birdən səksən dörd çıxanda yeddi qalır. İndi səkkiz götürək. On bir vur beş əlli beşdir. On iki vur dörd qırx səkkizdir. Əlli beşdən qırx səkkiz çıxanda yenə yeddi alınır. Ədəd dəyişir, cavab isə eyni qalır. Böyük ədəd, kəsr, hətta mənfi ədəd götürsəniz də, yenə yeddi alınacaq. Bu necə olur? Sirri dərsin sonunda açacağıq, həm də yalnız artıq bildiyimiz bir düsturla. Salam! Bu gün yeddinci sinif riyaziyyatında müxtəsər vurma düsturları bölməsinin son dərsindəyik. Mövzumuz: müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi. Bu dərsdə yeni düstur yoxdur. Əvəzində tanış düsturları yerində işlətməyi öyrənəcəyik. Yolumuz dörd addımdır. Əvvəlcə düsturu ifadənin üzündən tanıyacağıq. Sonra ifadəni sonadək vuruqlara ayıracağıq. Sonra düsturları zəncir kimi ardıcıl işlədəcəyik. Sonra cavabı bir ədədlə yoxlayacağıq. Ən sonda isə yeddinin sirrini açacağıq. Birinci addım: düsturu tanımaq. Telefonda dostunuz zəng edəndə onu ilk sözündən, səsindən tanıyırsınız. Hər düsturun da belə tanış bir səsi, öz cizgiləri var. Ona görə tapşırığı görəndə ilk iş hesablamaq deyil, ifadəyə diqqətlə baxmaqdır. Özümüzə üç sual veririk. Neçə hədd var? Hədlər nəyinsə kvadratıdır, yoxsa kubu? Aralarında hansı işarə durur? Amma bu suallardan da əvvəl bir vərdiş var: bütün hədlərdə ortaq vuruq varsa, onu mötərizə xaricinə çıxarırıq. Sonra hədləri sayırıq. İki hədd var, ikisi də nəyinsə kvadratıdır və aralarında çıx durur: bu, kvadratlar fərqidir. Kvadratlar fərqi iki ifadənin fərqi ilə cəminin hasilinə ayrılır. İki hədd var və ikisi də nəyinsə kubudur: bu, kubların cəmi, ya da kubların fərqidir. Onun bir mötərizəsində əsasların cəmi və ya fərqi, o biri mötərizədə isə natamam kvadrat durur. Üç hədd varsa, onlardan ikisi kvadratdırsa, üçüncüsü isə əsasların hasilinin iki mislidirsə, qarşımızda tam kvadrat var. Tam kvadrat ikihədlinin kvadratı kimi yığılır. Dörd hədd olanda isə hədləri cüt-cüt qruplaşdırmağa çalışırıq. Bir xəbərdarlıq da var. İki kvadratın cəmi, məsələn a kvadrat üstəgəl doqquz, olduğu kimi qalır: onu bu düsturlarla vuruqlara ayırmaq mümkün deyil. İndi ikinci addım: sonadək ayırmaq. Bir misala baxaq. Birinci hədd beş a kubdur, ikinci hədd beş a-dır, aralarında çıx işarəsi durur. İlk baxışda bu ifadənin düsturu gizlidir. Ona görə vərdişimizə əməl edirik: hər iki həddə beş a var. Onu mötərizə xaricinə çıxaranda içəridə a kvadrat çıx bir qalır. A kvadrat çıx bir isə artıq tanış səsdir: iki hədd, ikisi də kvadrat, aralarında çıx. Deməli, bu ikihədli a çıx bir ilə a üstəgəl birin hasilidir. Son cavab: beş a, vur a çıx bir, vur a üstəgəl bir. Ortaq vuruq çıxanda gizli düstur üzə çıxdı. Bəzən bir düstur bəs etmir. Matryoşka gəlinciyini xatırlayın: birini açırsınız, içindən daha kiçiyi çıxır. Misal: a-nın dördüncü qüvvəti, çıx səksən bir. A-nın dördüncü qüvvəti a kvadratın kvadratıdır, səksən bir isə doqquzun kvadratı. Kvadratlar fərqi düsturu bunu a kvadrat çıx doqquz ilə a kvadrat üstəgəl doqquzun hasilinə ayırır. Amma iş davam edir, çünki a kvadrat çıx doqquz yenə kvadratlar fərqidir. Bu ikihədli a çıx üç ilə a üstəgəl üçün hasilidir. A kvadrat üstəgəl doqquz isə kvadratlar cəmidir və olduğu kimi qalır. Beləliklə, son cavabda üç vuruq var. Birincisi a çıx üç, ikincisi a üstəgəl üç, üçüncüsü a kvadrat üstəgəl doqquz. Hər dəfə sonda yoxlayın: içində daha bir gəlincik varmı? İndi üçüncü addım: düsturlar zənciri. Düsturları əks istiqamətdə də işlədirik, yəni hasili açırıq. Domino daşlarını düzüb birincisini itələyəndə hamısı ardıcıl yıxılır. Bəzi hasillər də belədir. Üç vuruq götürək: iqrek çıx bir, iqrek üstəgəl bir və iqrek kvadrat üstəgəl bir. İlk iki vuruq fərq ilə cəmdir. Onların hasili iqrek kvadrat çıx birdir. Bu nəticə üçüncü vuruqla yenə fərq və cəm cütü yaradır: iqrek kvadrat çıx bir ilə iqrek kvadrat üstəgəl bir. Onların hasili iqrek kvadratın kvadratı çıx bir, yəni iqrekin dördüncü qüvvəti çıx birdir. Mötərizələri bir-bir açsaydıq, səkkiz hasil yazıb sonra çoxunu silməli olardıq. Zəncir isə işi iki addımda bitirdi. İndi dördüncü addım: yoxlama. Düsturlar bir-birinə çox oxşayır və işarəni qarışdırmaq asandır. Təsəvvür edin, dəftərdə belə bir sətir var: iks kub üstəgəl səkkiz bərabərdir iks üstəgəl iki ilə iks kvadrat üstəgəl iki iks üstəgəl dördün hasilinə. Bu sətir doğrudurmu? Yoxlamağın ən sadə yolu iksin yerinə kiçik bir ədəd qoymaqdır. İks bir olsun. Sol tərəfdə birin kubu bir, üstəgəl səkkiz, cəmi doqquz alınır. Sağ tərəfdə birinci mötərizə bir üstəgəl iki, yəni üçdür. İkinci mötərizə bir üstəgəl iki üstəgəl dörd, yəni yeddidir. Üç vur yeddi iyirmi birdir. Doqquz iyirmi birə bərabər deyil. Deməli, sətirdə səhv var. Səhv ikinci mötərizənin ortasındadır. Kubların cəmində natamam kvadratın ortasında çıx işarəsi durur. Düzgün sətirdə ikinci mötərizə iks kvadrat çıx iki iks üstəgəl dörddür. Yenə bir qoyaq: bir çıx iki üstəgəl dörd üçdür, üç vur üç doqquzdur. İndi tərəflər bərabərdir. Bir şeyi də yadda saxlayın: bir ədəddə bərabərlik alınması hələ sübut deyil, amma bərabərliyin pozulması səhvi dəqiq göstərir. İndi yeddiyə qayıdaq. Fikrinizdə tutduğunuz ədədi a adlandıraq. Əvvəl a üstəgəl üç ilə a çıx üçü vurdunuz. Bu, cəmlə fərqin hasilidir, ona görə nəticə a kvadrat çıx doqquzdur. Sonra a üstəgəl dörd ilə a çıx dördü vurdunuz. Nəticə a kvadrat çıx on altıdır. Sonda birinci nəticədən ikincini çıxdınız. Mötərizə önündəki çıx işarəsi içəridəki işarələri dəyişir: a kvadrat çıxılır, on altı isə əlavə olunur. A kvadratdan a kvadrat çıxanda sıfır qalır, yəni fikrinizdəki ədəd hesabdan tamamilə yox olur. Qalır mənfi doqquz üstəgəl on altı, yəni yeddi. Buna görə ədəd nə olursa olsun, cavab yeddidir. Dərslikdə də belə tapşırıqlar var. Onlarda deyilir: göstərin ki, ifadənin qiyməti dəyişəndən asılı deyil. Bizim oyun da elə belə bir ifadədir. Bu dərsdən yadda saxlanacaq bir fikir var: düstur seçmək ifadəni dinləmək kimidir. Əvvəl ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarın. Sonra hədləri sayın və onların kvadrat, yoxsa kub olduğuna baxın. Tanıdığınız düsturla ifadəni sonadək vuruqlara ayırın. Sonda isə cavabı kiçik bir ədədlə yoxlayın. Yazılı addımları və yeni misalları oxu dərsində tapacaqsınız. Evdə öz oyununuzu qurun. Ədədə bir əlavə edin, ədəddən bir çıxın və nəticələri vurun. Sonra eyni işi dördlə görün. Birinci hasildən ikincini çıxın. Hər dəfə hansı ədəd alınacaq? Əvvəl düsturla tapın, sonra bir ədədlə yoxlayın. Dinlədiyiniz üçün sağ olun!