Audio dərs · Müddət
9:23
Mətn (transkript)
Sakit bir sinif otağını təsəvvür edin. Müəllim lövhəyə bir çoxhədli yazır: iksin iyirmi beşinci dərəcəsi, üstəgəl bir. Sonra soruşur: iks üstəgəl bir ikihədlisi bu çoxhədlinin vuruğudurmu? Yəni bu çoxhədli iks üstəgəl birə qalıqsız bölünürmü? Uzun bölmə ilə yoxlamaq istəsəniz, uzun bir yol gedəcəksiniz. Hörner sxemi ilə belə iyirmi altı əmsal yazmalı olacaqsınız və onların iyirmi dördü sıfırdır. Sonra müəllim onun yanına əkizini yazır: iksin iyirmi beşinci dərəcəsi, minus bir. Fərq yalnız bir işarədədir. Amma bu iki çoxhədlinin cavabı fərqli olacaq. Dərsin sonunda hər iki suala bir neçə saniyədə, heç bir bölmə aparmadan cavab verəcəyik. Bunu bizə çoxhədlinin vuruqları haqqında teorem verir. Əvvəlcə kökün və vuruğun nə olduğunu xatırlayacağıq, sonra teoremin özünü və tərsini görəcəyik, sonra bir işarə tələsini, ən sonda isə bir kökün bütün çoxhədlini necə açdığını. Gəlin kökdən başlayaq. Çoxhədlini sıfıra çevirən iks qiymətinə çoxhədlinin kökü deyilir. Dərsliyimiz ona başqa bir ad da verir: çoxhədlinin sıfırı. Məsələn, iks kvadrat minus dörd çoxhədlisini götürək. İks yerinə iki yazsaq, dörddən dörd çıxılır və sıfır alınır. İks yerinə mənfi iki yazsaq da, mənfi ikinin kvadratı yenə dörddür və yenə sıfır alınır. Deməli, iki və mənfi iki bu çoxhədlinin kökləridir. İndi vuruğu xatırlayaq. Adi ədədlərdə üç, on ikinin vuruğudur, çünki on iki üçə qalıqsız bölünür və on iki, üç ilə dördün hasilinə bərabərdir. Çoxhədlilərdə də söhbət eynidir. İks minus em ikihədlisi çoxhədlinin vuruğudur, əgər çoxhədli ona qalıqsız bölünürsə. Onda çoxhədlini, iks minus em ilə başqa bir çoxhədlinin hasili kimi yazmaq olar. İndi əsas fikrə keçək. Əvvəlki dərsdə qalıq haqqında teoremi öyrəndik: çoxhədlini iks minus em ikihədlisinə böldükdə qalıq, çoxhədlinin em nöqtəsindəki qiymətinə bərabərdir. Bəs em çoxhədlinin köküdürsə? Onda bu qiymət sıfırdır, deməli, qalıq da sıfırdır və bölmə qalıqsızdır. Vuruqlar haqqında teorem məhz bunu deyir: em ədədi çoxhədlinin köküdürsə, iks minus em ikihədlisi bu çoxhədlinin vuruğudur. Dərslik onu da qeyd edir ki, bu təklifin tərsi də doğrudur. Tutaq ki, iks minus em çoxhədlinin vuruğudur, yəni çoxhədli, iks minus em ilə başqa bir çoxhədlinin hasilidir. İks yerinə em yazaq. Birinci vuruq sıfıra çevrilir. Sıfırı hansı ədədə vursanız, nəticə sıfırdır. Deməli, em çoxhədlinin köküdür. Beləliklə, kök və vuruq eyni faktın iki adıdır. İks kvadrat minus dördü xatırlayın: o, iks minus iki ilə iks üstəgəl ikinin hasilidir, kökləri də iki və mənfi ikidir. Bu fikir sizə tənliklərdən tanışdır: hasil sıfırdırsa, vuruqlardan heç olmasa biri sıfırdır. Teorem bu tanış qaydanı çoxhədlilərin dilinə çevirir. Amma onun da həddi var. Teorem bizə yalnız bir vuruğun var olduğunu deyir. O biri vuruğu, yəni qisməti tapmaq üçün yenə bölmə lazımdır, məsələn, sintetik bölmə. İndi bir tələyə diqqət edək. Kök em olanda vuruq iks minus em olur. Yəni işarə tərsinə çevrilir. Məsələn, iks üstəgəl iki vuruğuna hansı kök uyğundur? İki yox, mənfi iki. Çünki iks üstəgəl iki, iks minus mənfi iki deməkdir. Ən sadə qayda belədir: ikihədlini sıfıra çevirən ədədi tapın. İks üstəgəl iki ifadəsi, iks mənfi iki olanda sıfır olur. Yoxlama üçün çoxhədliyə məhz bu ədədi yazırıq. Dərsliyimizdəki birinci nümunəyə baxaq. Çoxhədli belədir: iks kub, minus iks kvadrat, minus beş iks, üstəgəl iki. Sual belədir: iks minus bir və iks üstəgəl iki bu çoxhədlinin vuruqlarıdırmı? İks minus bir üçün iks yerinə bir yazırıq. Bir, minus bir, minus beş, üstəgəl iki: nəticə mənfi üçdür. Sıfır alınmadı. Deməli, iks minus bir bu çoxhədlinin vuruğu deyil. İndi iks üstəgəl iki. Tələni xatırlayırıq və iks yerinə mənfi iki yazırıq. Mənfi ikinin kubu mənfi səkkiz, kvadratı isə dörddür. Mənfi səkkiz, minus dörd, üstəgəl on, üstəgəl iki. Hesabı sona çatdırsaq, düz sıfır alınır. Deməli, iks üstəgəl iki bu çoxhədlinin vuruğudur. Bircə dəfə yerinə qoymaqla, heç bir bölmə aparmadan bunu bildik. İndi teoremin ən gözəl tətbiqinə keçək: bir kök bütün çoxhədlini açan açara çevrilir. Dərsliyin ikinci nümunəsində çoxhədli belədir: iks kub, minus beş iks kvadrat, minus iki iks, üstəgəl iyirmi dörd. Bizə deyilir ki, bu çoxhədli mənfi ikidə sıfıra bərabərdir. Teoremə görə, iks üstəgəl iki onun vuruqlarından biridir. O biri vuruğu tapmaq üçün çoxhədlini iks üstəgəl ikiyə bölürük. Əvvəlki dərslərdən tanış olan sintetik bölmə burada qısa yoldur. Qismət iks kvadrat, minus yeddi iks, üstəgəl on iki çıxır, qalıq isə, gözlədiyimiz kimi, sıfırdır. Bu kvadrat üçhədlini də ayırmaq çətin deyil. Hasili on iki, cəmi yeddi olan iki ədəd axtarırıq: üç və dörd. Deməli, qismət, iks minus üç ilə iks minus dördün hasilidir. Beləliklə, kub çoxhədli üç vuruğa ayrıldı: iks üstəgəl iki, iks minus üç və iks minus dörd. Hər vuruq bir kök deməkdir. Çoxhədlinin sıfırları mənfi iki, üç və dörddür. Bircə məlum kök qapını açdı, qalan iki kökü isə bölmə və bir kvadrat üçhədli verdi. Bəzən eyni vuruq bir neçə dəfə təkrarlanır. Dərslik belə bir nümunə verir: iks minus iki mötərizəsinin kubu, vurulsun iks üstəgəl birə. Bu çoxhədlinin dərəcəsi dörddür, amma fərqli kökləri cəmi ikidir: iki və mənfi bir. İks minus iki vuruğu üç dəfə təkrarlandığı üçün, iki ədədinə üç dəfə təkrarlanan kök deyilir. Bir az da tarixə baxaq. Dərsliyimiz bu teoremi kimin kəşf etdiyini yazmır, ona görə biz də ad uydurmayacağıq. Amma fəslin əvvəlində tanış bir adı xatırladır: rübailər ustadı Ömər Xəyyam. O, min qırx səkkizinci ildən min yüz otuz birinci ilə qədər yaşamışdır. Dərsliyə görə, müəyyən bir növ kub çoxhədlinin köklərini həndəsi üsulla tapmağı ilk dəfə o vermişdir. Təxminən doqquz yüz il əvvəl köklər həndəsə ilə axtarılırdı. Bugünkü teorem isə hər tapılan kökü bir vuruğa çevirir və çoxhədlini addım-addım sadələşdirməyə imkan verir. İndi lövhəyə qayıdaq. İksin iyirmi beşinci dərəcəsi, üstəgəl bir. Vuruq iks üstəgəl birdir, deməli, yoxlama ədədimiz mənfi birdir. Mənfi biri özünə vurduqca işarə hər dəfə dəyişir: mənfi, müsbət, yenə mənfi. İyirmi beş tək ədəddir, ona görə mənfi birin iyirmi beşinci dərəcəsi mənfi birdir. Üstünə bir əlavə edirik və sıfır alınır. Deməli, iks üstəgəl bir bu çoxhədlinin vuruğudur. Bəs əkizi? İksin iyirmi beşinci dərəcəsi, minus bir. Yenə mənfi bir yazırıq. Mənfi birdən bir çıxanda mənfi iki alınır. Sıfır deyil. Deməli, iks üstəgəl bir bu çoxhədlinin vuruğu deyil. Qalıq haqqında teoremə görə, bölsəydik, qalıq məhz mənfi iki olardı. Bir işarə fərqi, iki fərqli cavab, və heç bir uzun bölmə. Gəlin əsas fikri bir daha deyək. Em ədədi çoxhədlinin köküdürsə, iks minus em onun vuruğudur. Və tərsinə, iks minus em vuruqdursa, em kökdür. Vuruq iks üstəgəl bir ədəd şəklindədirsə, yoxlama üçün həmin ədədin mənfisini yazırıq. Bir kökü bilirsinizsə, bölmə ilə qalan vuruqlara da çata bilərsiniz. Sintetik bölmənin addımlarını və daha çox nümunəni yazılı dərsimizdə tapa bilərsiniz.