Ən böyük ortaq bölən (ƏBOB)

Mətn (transkript)

Məktəbdə sərgi günüdür. Zal səs-küylə doludur, qonaqlar bir-bir gəlir. Şagirdlər onlar üçün hədiyyə bağlamaları hazırlayır. Masanın üstündə otuz maqnit suvenir və iyirmi kiçik robot var. Şərt belədir: hər bağlamada eyni sayda suvenir və eyni sayda robot olmalıdır, heç nə artıq qalmamalıdır. Ən çoxu neçə bağlama düzəltmək olar? Elxanın yolu ilə cavab beş çıxır. Aynurun yolu ilə on. İkisi də hesablayıb. Bəs kim haqlıdır? Bu dinləmə dərsində bu mübahisəni birlikdə həll edəcəyik. Yolda riyaziyyatın çox faydalı bir aləti ilə tanış olacaqsınız: ən böyük ortaq bölən, qısaca ƏBOB. Sonda görəcəksiniz ki, Elxanın səhvi də çox şey öyrədir. Birinci fəsil: hər ikisini bölən ədəd. Əvvəlcə düşünək, bağlamaların sayı nə ola bilər? Otuz suvenir bağlamalara bərabər paylanmalıdır. Deməli, bağlamaların sayı otuzu qalıqsız bölməlidir. Robotlar da bərabər paylanmalıdır. Deməli, həmin say iyirmini də qalıqsız bölməlidir. Gəlin yoxlayaq. İki bağlama olarmı? Olar: hərəsinə on beş suvenir və on robot düşür. Üç bağlama? Suvenirlər bölünür, amma iyirmi robot üç bağlamaya bərabər bölünmür. Beş bağlama? Olar: altı suvenir və dörd robot. Bəs on bağlama? Hərəsində üç suvenir və iki robot. Bu da olur! Hər iki ədədi qalıqsız bölən ədədə ortaq bölən deyilir. Otuzla iyirminin ortaq bölənləri bir, iki, beş və ondur. Onların ən böyüyü ondur. Ona ən böyük ortaq bölən deyirik, qısaca ƏBOB. Deməli, ən çoxu on bağlama düzəltmək olar. Aynur haqlıdır. Bəs Elxan harada yanıldı? İkinci fəsil: ədədlərin kərpicləri. Hər mürəkkəb ədədi sadə ədədlərin hasili kimi yazmaq olar, sanki ev kərpiclərdən tikilir. Otuz ədədi üç kərpicdən tikilib: iki, üç və beş. İyirmi ədədi də üç kərpicdən: iki, iki və beş. İndi hər iki evdə olan kərpicləri seçək. İki hər ikisində var. Beş də hər ikisində var. Üç isə yalnız otuzda var, ikinci iki də yalnız iyirmidə. Deməli, ortaq kərpiclər iki və beşdir. Elxan bu ortaq kərpiclərdən yalnız ən böyüyünü, beşi götürdü. Amma ən böyük ortaq bölən bütün ortaq kərpiclərdən birlikdə tikilir: iki vur beş, on. Qayda belədir: ədədləri sadə vuruqlara ayırırıq, ortaq sadə vuruqları seçirik və onları bir-birinə vururuq. Bir vuruq hər iki ədəddə iki dəfə varsa, iki dəfə də götürülür. Bu üsul niyə lazımdır? Kiçik ədədlərdə bölənləri sadalamaq asandır. Amma yüz səksənlə yüz altmış səkkiz kimi ədədlərdə siyahı çox uzanır. Kərpiclərə ayırmaq isə qısa yoldur. Dərsliyimizdə bu iki ədədin ƏBOB-u on iki çıxır. Üçüncü fəsil: üç xüsusi hal. Birincisi: böyük ədəd kiçik ədədə qalıqsız bölünürsə, ƏBOB elə kiçik ədədin özüdür. Səkkiz dördə bölünür, deməli, səkkizlə dördün ƏBOB-u dörddür. İkincisi: ƏBOB heç vaxt verilmiş ədədlərdən böyük ola bilməz. Bu, adından da görünür: o, ədədlərin bölənidir, bölən isə ədədin özündən böyük olmur. Kimsə iyirmi beşlə yetmiş beşin ƏBOB-unu əlli yazırsa, hesablamadan bilirik ki, bu səhvdir. Əlli iyirmi beşdən böyükdür. Üçüncüsü ən maraqlısıdır. Doqquzla on dördü götürək. Doqquz üç vur üçdür, on dörd iki vur yeddi. Ortaq kərpic yoxdur. Onda ortaq bölən yalnız birdir və ƏBOB birə bərabərdir. Belə ədədlərə qarşılıqlı sadə ədədlər deyilir. Diqqət edin: doqquz da, on dörd də özləri sadə ədəd deyil, amma bir-birinə görə sadədirlər. Bunun hazır qaydaları da var. İstənilən iki ardıcıl natural ədəd, məsələn, səkkiz və doqquz, qarşılıqlı sadədir. İki müxtəlif sadə ədəd də, məsələn, yeddi və on bir, qarşılıqlı sadədir. Dördüncü fəsil: kəsri bir addımda ixtisar etmək. Təsəvvür edin, otuz altı bölü qırx iki kəsrini ixtisar etməliyik. Əvvəlcə ikiyə, sonra üçə bölmək olar. Amma ƏBOB-u bilsək, iş bir addımda bitir. Otuz altı ilə qırx ikinin ƏBOB-u altıdır. Surəti də, məxrəci də altıya bölürük və altı bölü yeddi alınır. Altı ilə yeddi qarşılıqlı sadədir, ona görə bu kəsr daha ixtisar olunmur. Buna kəsrin tam ixtisarı deyilir. Beşinci fəsil: gül dükanı. Samir buket bağlamaq üçün iyirmi dörd zanbaq, otuz nərgiz və otuz altı qızılgül seçir. Satıcıdan xahiş edir ki, hər buketdə hər güldən eyni sayda olsun. Satıcı ən çoxu neçə buket bağlaya bilər? Bu, hədiyyə bağlamalarının eyni sualıdır, sadəcə üç ədədlə. Buketlərin sayı hər üç ədədi qalıqsız bölməlidir. İyirmi dörd, otuz və otuz altının ƏBOB-u altıdır. Deməli, altı buket olur. Hər birində dörd zanbaq, beş nərgiz və altı qızılgül. İndi sərgiyə qayıdaq. Elxan ən böyük ortaq kərpici tapdı, beşi. Aynur isə ən böyük ortaq böləni tapdı, onu. Fərq kiçik görünür. Amma beş bağlama əvəzinə on bağlama o deməkdir ki, iki dəfə çox qonaq hədiyyə alır. Yadda saxlamalı bir fikir: ƏBOB bir neçə ədədi qalıqsız bölən ən böyük ədəddir. Bir şeyi eyni hissələrə, heç nə artıq qalmadan, mümkün qədər çox qrupa bölmək istəyəndə onu axtarın. Növbəti dərsdə isə onun əkiz qardaşı ilə tanış olacağıq: ən kiçik ortaq bölünən.