Üçbucağın elementləri: qarlı tarlada üç iz

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: qış səhəridir. Kəndin kənarında üç düz yol bir-birini kəsir və onların arasında üçbucaq şəklində bir tarla qalıb. Gecə qar yağıb, tarla ağappaqdır, üstündə bir dənə də iz yoxdur. Tarlanın üç küncündə üç dost dayanıb: Aysel, Murad və Nərmin. Tarlanın üç küncü də iti bucaqdır. Oyunun qaydası belədir: hər kəs öz küncündən qarşıdakı yola ən qısa yolla getməlidir. Ən qısa yol isə yola dik gedən yoldur, yəni iz yolla düz bucaq əmələ gətirməlidir. Üçü də eyni anda yeriməyə başlayır. Sonra dostlar yaxındakı yamaca qalxıb aşağı baxırlar. Qarın üstündə üç uzun iz var. Birinci sual: bu üç iz bir nöqtədə kəsişirmi, və kəsişirsə, harada? İkinci sual daha maraqlıdır: yaxınlıqda başqa bir tarla da var, onun bir küncü çox genişdir, kor bucaqdır. Eyni oyunu orada oynasalar, izlərlə nə baş verəcək? Dərsin sonunda hər iki suala cavab verəcəyik. Salam! Bu, yeddinci sinif riyaziyyatından dinləmə dərsidir. Mövzumuz üçbucağın elementləridir: tənbölən, median və hündürlük. Üçü də üçbucağın bir təpəsindən çıxıb qarşı tərəfə gedən parçadır, amma hər birinin öz işi var. Tarladakı dostların dili ilə desək: biri küncü tam ortadan bölərək yeriyir, bu, tənböləndir. Biri qarşıdakı yolun düz ortasına gedir, bu, mediandır. Biri isə yola dik, ən qısa yolla gedir, bu, hündürlükdür. Hər birini necə quracağımızı danışacağıq və görəcəyik ki, onlar harada görüşür. Əvvəlcə tənböləndən başlayaq, çünki o, hələ üçbucaqdan əvvəl, adi bucaqda yaranır. Dərslik belə deyir: bucağın tənböləni bucağın təpə nöqtəsindən çıxıb onu iki konqruyent bucağa bölən şüadır. Konqruyent burada bərabər deməkdir. Tənbölən bucağı tam ortadan iki eyni hissəyə ayırır. Məsələn, altmış dörd dərəcəlik bucağın tənböləni onu iki otuz iki dərəcəlik bucağa bölür. Bəs tənböləni necə çəkək? Bunun üçün bucaqölçən lazım deyil, pərgar və xətkeş kifayətdir. Dəftərdə ixtiyari bir bucaq çəkin və onun təpəsini O hərfi ilə adlandırın. İndi pərgarın iti ucunu O nöqtəsinə qoyun və bucağın hər iki tərəfini kəsən bir qövs çəkin. Qövs bucağın tərəflərini iki nöqtədə kəsdi. Onları C və D adlandıraq. Bu iki nöqtə təpədən eyni uzaqlıqdadır. İndi pərgarın iti ucunu C nöqtəsinə qoyun və bucağın içində bir qövs çəkin. Sonra pərgarın açılışını dəyişmədən iti ucunu D nöqtəsinə köçürün və içəridə ikinci qövs çəkin. İçəridəki iki qövs bir nöqtədə kəsişdi. Onu E adlandırın. Axırıncı addım: xətkeşi qoyun və O nöqtəsini E nöqtəsi ilə birləşdirin. Alınan OE şüası bucağın tənbölənidir. Niyə? O nöqtəsindən C və D nöqtələrinə qədər məsafələr eynidir. C nöqtəsindən E nöqtəsinə və D nöqtəsindən E nöqtəsinə qədər məsafələr də eynidir. OE isə hər iki yarıda ortaqdır. Beləliklə, bucağın iki yarısında üç tərəfi eyni olan iki üçbucaq yaranır. Belə üçbucaqlar bir-birinin tam eynisidir, ona görə bucağın iki yarısı da bərabərdir. İstəsəniz, bucaqölçənlə yoxlayın: iki hissə eyni çıxacaq. İndi üçbucağa qayıdaq. Üçbucağın tənböləni üçbucağın bir bucağının tənböləninin qarşı tərəfə qədər olan hissəsidir. Yəni bu dəfə şüa deyil, parçadır: təpədən başlayır və qarşı tərəfə çatanda bitir. Üçbucağın üç bucağı var, deməli, üç tənböləni də var. Üç tənbölən həmişə üçbucağın içində bir nöqtədə kəsişir. Şəkildə tənbölən olduğunu göstərmək üçün yaranan iki bucağın üstünə eyni sayda qövs işarəsi qoyulur. Burada iki tələ var. Birincisi: tənbölən təpədəki bucağı yarıya bölür, amma qarşı tərəfi, adətən, iki bərabər hissəyə bölmür. İkincisi: əgər sizə tənbölənin yaratdığı yarım bucaq verilibsə, məsələn, iyirmi yeddi dərəcə, bütün bucaq əlli dörd dərəcədir. Yarım bucağı bütün bucaq saymayın, onu iki dəfə artırmağı unutmayın. İkinci parçaya, mediana keçək. Dərslikdəki tərif belədir: üçbucağın medianı üçbucağın hər hansı təpə nöqtəsi ilə bu təpənin qarşısındakı tərəfin ortasını birləşdirən parçadır. Deməli, median bucağa yox, qarşı tərəfə baxır və onu iki bərabər hissəyə ayırır. Medianı çəkmək üçün əvvəlcə qarşı tərəfin ortasını tapmaq lazımdır. Bunu xətkeşlə ölçərək edə bilərsiniz: tərəf on santimetrdirsə, onun ortası hər ucdan beş santimetr aralıdadır. Ya da pərgarla bu tərəfin orta perpendikulyarını quraraq ortanı tapa bilərsiniz. Orta nöqtə tapıldı. İndi xətkeşi qoyun və onu qarşıdakı təpə ilə birləşdirin. Şəkildə median olduğunu göstərmək üçün tərəfin iki bərabər hissəsinin üstünə eyni sayda kiçik xətt qoyulur. Üçbucağın üç medianı var və onlar da həmişə üçbucağın içində bir nöqtədə kəsişir. Buradakı tələ tənbölənin tələsinin tərsidir: median qarşı tərəfi yarıya bölür, amma təpədəki bucağı, adətən, yarıya bölmür. Medianların kəsişmə nöqtəsinin fizikada xüsusi adı var. Dərslik deyir: cismin ağırlıq mərkəzi cismin bütün kütləsinin cəmləşdiyi nöqtədir, üçbucaq şəkilli cismin ağırlıq mərkəzi isə onun medianlarının kəsişmə nöqtəsinə düşür. Dərslikdəki fizika tapşırığında belə bir təcrübə var. Üçbucaq şəkilli lövhənin üç medianını çəkirsiniz və onların kəsişmə nöqtəsini tapırsınız. Sonra bu nöqtəyə sap bağlayıb lövhəni asırsınız. Lövhə heç bir tərəfə aşmır, tarazlıqda qalır, çünki sap onu düz ağırlıq mərkəzindən tutub. İndi üçüncü parçaya, hündürlüyə keçək. Qarlı tarladakı oyun da məhz bununla bağlıdır. Dərslikdəki tərif: üçbucağın hündürlüyü üçbucağın təpə nöqtəsindən qarşı tərəfi öz üzərində saxlayan düz xəttə çəkilmiş perpendikulyar parçadır. Bu uzun cümlədə iki vacib söz var. Birincisi, perpendikulyar: hündürlük qarşı tərəflə düz bucaq əmələ gətirir. İkincisi, düz xətt: hündürlük tərəfin özünə yox, onu hər iki tərəfə davam etdirən xəttə çəkilir. Bu incəlik az sonra çox lazım olacaq. Hündürlüyü günyə ilə çəkirlər. Günyə düz bucaqlı üçbucaq formasında olan xətkeşdir. Onun düz bucağının bir tərəfini üçbucağın tərəfi üzərinə qoyun və günyəni tərəf boyunca sürüşdürün ki, digər tərəfi qarşıdakı təpəyə çatsın. İndi günyənin bu kənarı boyunca təpədən tərəfə qədər xətt çəkin. Üçbucağın hər təpəsindən bir hündürlük çəkmək olar, deməli, üç hündürlük var. Şəkildə hündürlüyün tərəfə dəydiyi yerdə kiçik bir kvadrat çəkirlər, bu, düz bucağın işarəsidir. Üç hündürlük də bir nöqtədə kəsişir. Amma tənbölənlərdən və medianlardan fərqli olaraq, bu nöqtə hər zaman üçbucağın içində olmur. Hər şey üçbucağın növündən asılıdır. Əgər üçbucağın üç bucağı da itidirsə, yəni üçbucaq itibucaqlıdırsa, hər hündürlük üçbucağın içindən keçir. Onların kəsişmə nöqtəsi üçbucağın daxilində yerləşir. Bu, dərslikdəki birinci nəticədir. İndi düzbucaqlı üçbucağı götürək. Düz bucağın iki tərəfi, yəni katetlər, onsuz da bir-birinə perpendikulyardır. Ona görə katetlər həm də üçbucağın hündürlükləridir: hər katet o biri katetə çəkilmiş hündürlükdür. Üçüncü hündürlük düz bucağın təpəsindən hipotenuza düşür. Üç hündürlüyün üçü də düz bucağın təpəsindən keçir. Deməli, kəsişmə nöqtəsi elə düz bucağın təpəsidir. Bu, ikinci nəticədir. Ən maraqlısı korbucaqlı üçbucaqdır. Kor bucağın təpəsindən çəkilən hündürlük içəridən keçir. Amma iti bucaqların birindən qarşı tərəfə perpendikulyar çəksəniz, o, tərəfin özünə dəymir. Tərəfin uzantısına, yəni tərəfi kor bucağın o biri tərəfinə davam etdirən xəttə düşür. Tərifdəki “qarşı tərəfi öz üzərində saxlayan düz xətt” sözləri məhz bunun üçündür. Bu dəfə hündürlüklərin özləri bir nöqtədə görüşmür, amma onların uzantıları üçbucağın xaricində bir nöqtədə kəsişir. Bu da üçüncü nəticədir: korbucaqlı üçbucaqda hündürlüklərin kəsişmə nöqtəsi üçbucağın xaricində yerləşir. İndi qarlı tarlaya qayıdaq. Aysel, Murad və Nərmin hər küncdən qarşıdakı yola dik yeriyirdilər. Bu, hündürlüyün özüdür: təpədən qarşı tərəfin xəttinə perpendikulyar. Birinci tarlanın üç küncü də iti idi. Ona görə üç iz tarlanın içində, bir nöqtədə kəsişir. Yamacdan baxanda bu nöqtə qarın üstündə aydın görünür. İkinci tarlada isə hər şey başqa cürdür. Geniş küncdən çıxan dost tarlanın içi ilə gedir. Amma iti künclərdən çıxan iki dost yola dik çatmaq üçün tarladan çıxmalı olur. Onlar tarladan kənarda yeriyib yolun tarladan kənardakı davamına çatırlar. Qarın üstündəki üç iz heç yerdə görüşmür. Yalnız izləri xətt kimi davam etdirsək, bu xətlər tarladan kənarda, geniş küncün arxasında bir nöqtədə kəsişir. Bir şeyə də diqqət edin. Əgər dostlar başqa qayda ilə yeriyəydilər, məsələn, hər biri qarşıdakı yolun düz ortasına getsəydi, izlər medianlar olardı. Küncü tam ortadan bölərək getsəydilər, izlər tənbölənlər olardı. Bu iki halda tarlanın forması necə olursa olsun, üç iz həmişə tarlanın içində bir nöqtədə görüşərdi. Gəlin bir daha yadda saxlayaq. Tənbölən təpədəki bucağı yarıya bölür. Median qarşı tərəfi yarıya bölür. Hündürlük isə qarşı tərəfin xəttinə dik düşür. Bir təpədən çıxan bu üç parça, adətən, qarşı tərəfə üç müxtəlif nöqtədə çatır. Tənbölənlər və medianlar həmişə içəridə görüşür, medianların görüş nöqtəsi isə ağırlıq mərkəzidir. Hündürlüklərin görüş yeri üçbucağın növünü deyir: içəridədirsə, üçbucaq itibucaqlıdır, düz bucağın təpəsindədirsə, düzbucaqlıdır, kənardadırsa, korbucaqlıdır. Pərgarla qurmanın şəkillərini və hesablama misallarını bu mövzunun oxu dərsində tapa bilərsiniz. Növbəti dərsdə ikihədlilərin kvadrata yüksəldilməsini öyrənəcəyik. Sağ olun, yenə görüşənədək!