İkihədlinin kubu: qənd kubunda gizlənən hissələr

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: axşam çayı süzülüb, masanın üstündə bir qutu qənd var. Hər qənd balaca bir kubdur. Siz bu qəndlərdən böyük bir kub düzəldirsiniz. Əvvəlcə bir qat düzürsünüz: üç sıra, hər sırada üç qənd, cəmi doqquz qənd. Belə qatlardan üçünü üst-üstə qoyursunuz. Alınır tili üç qənd olan kub, içində iyirmi yeddi qənd. İndi daha böyük kub istəyirsiniz: tili dörd qənd olsun, yəni hər tərəfdə bir qənd artıq. Ağla ilk gələn hesab belədir: yeni til üç üstəgəl birdir; köhnə iyirmi yeddi qəndə birin kubunu, yəni bircə qənd əlavə edək, cəmi iyirmi səkkiz. Amma bircə qəndi küncə qoyun: böyük kub alınmır, küncdə tək bir qənd çıxıb durur. Bəs əslində neçə qənd lazımdır, və əlavə qəndlər harada gizlənir? Dərsin sonunda bu suala qayıdacağıq, və cavabı kubun öz hissələri deyəcək. Salam! Bu gün yeddinci sinif riyaziyyatından danışırıq. Mövzumuz belədir: ikihədlinin kuba yüksəldilməsi. Yolumuz dörd addımdır. Əvvəlcə bir kubu hissələrə kəsəcəyik. Sonra bu hissələrdən cəmin kubu düsturunu yığacağıq. Üçüncü addımda fərqin kubuna keçəcəyik. Sonda isə iki tələyə baxıb qənd kubumuza qayıdacağıq. Əvvəlcə sözləri aydınlaşdıraq. İkihədli iki toplanandan ibarət ifadədir, məsələn, iks üstəgəl iki. İkihədlini kuba yüksəltmək, onu üç dəfə özünə vurmaq deməkdir. Kubun həcmini də eyni yolla tapırıq: til vur til, vur yenə til. Deməli, tili iki hissədən ibarət olan kubun həcmi elə ikihədlinin kubudur. Dərslikdəki araşdırma da belə bir kubla başlayır. Təsəvvür edin, kubun hər tili iki parçadan ibarətdir: uzun parça birinci ifadədir, qısa parça isə ikinci ifadə. İndi kubu üç dəfə kəsək, hər dəfə uzun parçanın qısa parçaya keçdiyi yerdən: biri yuxarıdan aşağı, biri soldan sağa, biri də öndən arxaya. Kub səkkiz hissəyə bölünür. Hər hissənin üç ölçüsü var: uzunluğu, eni və hündürlüyü. Hər ölçü ya uzun parçadır, ya da qısa. Üç ölçüsü də uzun olan hissə böyük kubdur: həcmi birincinin kubudur. Üç ölçüsü də qısa olan hissə balaca kubdur: həcmi ikincinin kubudur. İki ölçüsü uzun, biri qısa olan hissələr nazik lövhələrdir. Qısa ölçü hündürlük də ola bilər, en də, uzunluq da, ona görə belə lövhə üç dənədir. Hər lövhənin həcmi birincinin kvadratı vur ikincidir. Bir ölçüsü uzun, ikisi qısa olan hissələr isə çubuqlardır. Onlar da üç dənədir, və hər çubuğun həcmi birinci vur ikincinin kvadratıdır. Bir, bir, üç, üç: cəmi səkkiz hissə. İndi ikinci addım: hissələri yenidən bir yerə yığaq. Bütöv kubun həcmi hissələrin həcmlərinin cəminə bərabərdir. Dərslikdəki düsturu sözlə belə deyə bilərik. İki ifadənin cəminin kubu bərabərdir: birincinin kubu; üstəgəl, birincinin kvadratı vur ikinci, və bunun üç misli; üstəgəl, birinci vur ikincinin kvadratı, və bunun üç misli; üstəgəl ikincinin kubu. Bu düsturu yadda saxlamaq asandır, çünki içində bir nizam var. Birinci ifadə kubdan başlayır, sonra kvadrat olur, sonra sadəcə özü qalır, sonuncu həddə isə o iştirak etmir. İkinci ifadə tərsinə gedir: birinci həddə iştirak etmir, sonra özü gəlir, sonra kvadratı, sonda kubu. Əmsallar isə bir, üç, üç, birdir: bir böyük kub, üç lövhə, üç çubuq, bir balaca kub. Dərslik eyni nəticəni başqa yolla da alır: cəmin kvadratını bir dəfə də həmin cəmə vurur. O addımları oxu dərsində görəcəksiniz. Gəlin düsturu qəndlərlə yoxlayaq. Birinci ifadə üçdür, ikinci ifadə bir. Böyük kub: üç vur üç vur üç, iyirmi yeddi qənd. Üç lövhənin hər birində üç vur üç, doqquz qənd var: cəmi iyirmi yeddi. Üç çubuğun hər birində üç qənd var: cəmi doqquz. Balaca kub isə bircə qənddir. Hamısını toplayaq: iyirmi yeddi, üstəgəl iyirmi yeddi, üstəgəl doqquz, üstəgəl bir. Altmış dörd alınır. Yoxlayaq: dörd vur dörd on altıdır, on altı vur dörd altmış dörddür. Düstur düz işləyir. İndi üçüncü addım: fərqin kubu. Bu dəfə ikinci ifadəni əlavə etmirik, çıxırıq. Yaxşı xəbər budur ki, tamam yeni bir şey öyrənməyə ehtiyac yoxdur. Hədlər eynidir, əmsallar da eynidir: bir, üç, üç, bir. Dəyişən yalnız işarələrdir. Onlar növbələşir: birinci hədd üstəgəl, ikinci hədd çıx, üçüncü hədd üstəgəl, dördüncü hədd yenə çıx. Niyə belədir? Fərqi belə də düşünmək olar: birinci ifadəyə mənfi işarəli ikinci ifadəni əlavə edirik. Mənfi ədədi tək dəfə vuranda işarə mənfi qalır. Cüt dəfə vuranda isə mənfi vur mənfi müsbət verir. İkinci ifadə ikinci həddə bir dəfə girir, ona görə orada çıx var. Üçüncü həddə kvadrat şəklində, yəni iki dəfə girir, ona görə orada üstəgəl var. Sonuncu həddə kub şəklində, üç dəfə girir, və işarə yenə çıxdır. Ən çox edilən səhv bütün işarələri çıx yazmaqdır, ya da sonuncu həddi üstəgəllə yazmaqdır. Bu düstur ağılda hesablamağa da kömək edir. Doqquzu kuba yüksəldək, və doqquzu on çıx bir kimi yazaq. Birinci ifadə ondur, ikinci ifadə bir. On vur on vur on, min edir. İkinci hədd: on vur on yüzdür; bunun üç misli üç yüz edir, işarəsi çıx. Üçüncü hədd: on vur bir ondur; bunun üç misli otuzdur, işarəsi üstəgəl. Sonuncu hədd birdir, işarəsi çıx. Min, çıx üç yüz, üstəgəl otuz, çıx bir: yeddi yüz iyirmi doqquz. Yoxlayaq: doqquz vur doqquz səksən birdir. Səksən bir vur doqquz isə yeddi yüz iyirmi doqquz edir. Düzdür. İndi dördüncü addım: iki tələ. Birinci tələ qənd hekayəsindəki səhvdir. Cəmin kubunu hədd-hədd kuba yüksəltmək olmaz. Birinci ifadə üstəgəl ikinci ifadə, mötərizədə, kub, birincinin kubu üstəgəl ikincinin kubu ilə eyni deyil. Belə yazanda ortadakı iki hədd, yəni üç lövhə ilə üç çubuq, itir. Qənd kubunda məhz onlar çatmırdı. İkinci tələ əmsalla bağlıdır. Kuba həm hərf, həm də əmsal yüksəlir. Məsələn, iki iksin kubu səkkiz iks kubdur, çünki iki vur iki vur iki səkkiz edir. İki iks kub yazmaq səhvdir. Orta hədlərdə də eyni diqqət lazımdır: iki iksin kvadratı dörd iks kvadratdır. Bir nümunədə ikisini birlikdə görək: iki iks üstəgəl bir, bu cəmin kubu. Birinci ifadə iki iksdir, ikinci ifadə bir. Birincinin kubu səkkiz iks kubdur. Birincinin kvadratı dörd iks kvadratdır; bunun üç misli on iki iks kvadrat edir. Birinci vur ikincinin kvadratı iki iksdir; bunun üç misli altı iks edir. Sonda ikincinin kubu, yəni bir. Cavab: səkkiz iks kub, üstəgəl on iki iks kvadrat, üstəgəl altı iks, üstəgəl bir. Gəlin qənd kubuna qayıdaq. Tili üç olan kubu tili dörd olan kuba çevirmək istəsək, otuz yeddi qənd əlavə etməliyik, çünki altmış dörd çıx iyirmi yeddi otuz yeddidir. Bəs onlar harada gizlənib? Üç nazik lövhədə, hər birində doqquz qənd, cəmi iyirmi yeddi. Üç çubuqda, hər birində üç qənd, cəmi doqquz. Və küncdə bircə qənd. İyirmi yeddi, üstəgəl doqquz, üstəgəl bir, otuz yeddi edir. İyirmi səkkiz deyən hesab yalnız küncdəki qəndi gördü, lövhələri və çubuqları unutdu. Yadda saxlanacaq fikir budur: ikihədlinin kubunda dörd hədd var, iki yox. Birincinin kubu, ikincinin kubu, və onların arasında üç lövhə ilə üç çubuğun izi: bir, üç, üç, bir. Fərqin kubunda da eyni dörd hədd var, sadəcə işarələr növbələşir. İndi oxu dərsinə keçin. Orada bu kubun şəklini görəcəksiniz, düsturu addım-addım vurub alacaqsınız və öz misallarınızı yoxlayacaqsınız. Hər cavabı ən azı bir dəfə ədədlə yoxlayın: hərflərin yerinə kiçik ədədlər yazın və iki tərəfi müqayisə edin. Növbəti dərsdə görüşənədək!