İkihədlinin kuba yüksəldilməsi

• 2.33
• 7-ci sinif
• Müxtəsər vurma düsturları

İkihədlinin kuba yüksəldilməsi

(a + b)3 yazanda əl özü a3 + b3 yazmaq istəyir. Amma tili a + b olan kubu kəssək, 8 hissə alınır — a3 və b3 onlardan cəmi ikisidir.

Bu dərsdə

• (a + b)3 və (a − b)3 düsturlarını kubun həcmindən və vurmadan çıxaracaqsan;
• ikihədlinin kubunu çoxhədli şəklində yazacaqsan — əmsallar, kəsrlər və qüvvətlərlə;
• düsturla ədədlərin kubunu ağılda hesablayacaq, eynilikdə çatışmayan birhədlini tapacaqsan.

Tili a + b olan kub 8 hissəyə bölünür

Başla Yenidən Yenidən

1. Kubu kəs
2. Cəmin kubu
3. Fərqin kubu
4. Laboratoriya
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Kubu səkkiz hissəyə kəsək

Tili a + b olan kubun həcmi (a + b)3-dur. Kubun hər tilini a və b parçalarına bölüb kəsək. Hər hissə ya kubdur, ya da düzbucaqlı paralelepipeddir — onlara qısaca lövhə və çubuq deyək.

Kubun hissələri

Şəkildə yeddi hissə görünür; kiçik b3 kubu arxa aşağı küncdə, digər hissələrin arxasındadır — rəfdə onu ayrıca göstərmişik. Bütöv kubun həcmi hissələrin həcmləri cəminə bərabərdir:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Rəqəmlə yoxlayaq: a = 3 sm, b = 2 sm. Kubun tili 5 sm, həcmi 53 = 125 sm3.

27 + 3 · 9 · 2 + 3 · 3 · 4 + 8= 27 + 54 + 36 + 8 = 125 ✓

a3 + b3 isə cəmi 27 + 8 = 35 sm3 olardı — lövhələr və çubuqlar itərdi.

Kubun ön üzünə bax: o, 2.30-dan tanış olan (a + b)2 kvadratıdır — a2, iki ab və b2. Kub bu kvadratın a + b hündürlüyə «qaldırılmasıdır».

2 · Qayda

Cəmin kubu — vurma ilə

Şəkil yalnız müsbət uzunluqlar üçündür. Düsturun hər a və b üçün doğru olduğunu vurma göstərir: kub — kvadratın bir dəfə də vurulmasıdır, (a + b)3 = (a + b)2 · (a + b).

(a2 + 2ab + b2) · (a + b): altı hasil

Eyni rəngli xanalar oxşar hədlərdir. Onları toplayırıq:

a2b + 2a2b = 3a2b,2ab2 + ab2 = 3ab2.

Üç lövhə və üç çubuq məhz buradan gəlir.

Yadda saxla

İki ifadənin cəminin kubu bərabərdir: birincinin kubu, üstəgəl birincinin kvadratı ilə ikincinin hasilinin üç misli, üstəgəl birinci ilə ikincinin kvadratı hasilinin üç misli, üstəgəl ikincinin kubu.

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

Cəmin kubunda hədlərin naxışı

Soldan sağa birincinin üstü 1 azalır, ikincinin üstü 1 artır; əmsallar 1, 3, 3, 1. Hər hədd kubun bir hissəsidir, ona görə üstlərin cəmi həmişə 3-dür (həcm üç ölçünün hasilidir).

Qısa forma

(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)

Ortadakı iki həddin ortaq vuruğu 3ab-dir: 3a2b + 3ab2 = 3ab(a + b).

Birhədli mötərizədə

3 · x · (2y)2 = 12xy2

a və ya b birhədlidirsə, onu bütöv mötərizəyə alıb qüvvətə yüksəldirik: (2y)2 = 4y2.

3 · Qayda

Fərqin kubu — işarələr növbələşir

Fərqi cəm kimi yazaq: a − b = a + (−b). Cəmin kubu düsturunda b-nin yerinə −b qoyuruq. Mənfi ədədin cüt qüvvəti müsbət, tək qüvvəti mənfidir: (−b)2 = b2, (−b)3 = −b3.

(a − b)3 = a3 + 3a2(−b) + 3a(−b)2 + (−b)3= a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Yadda saxla

İki ifadənin fərqinin kubu bərabərdir: birincinin kubu, çıxılsın birincinin kvadratı ilə ikincinin hasilinin üç misli, üstəgəl birinci ilə ikincinin kvadratı hasilinin üç misli, çıxılsın ikincinin kubu.

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Cəmin və fərqin kubunda işarələr

b-nin üstü tək olan hədlər (3a2b və b3) mənfi olur; qalanlar dəyişmir.

Yoxlama: a = 5, b = 2 olsun. Onda (5 − 2)3 = 33 = 27.

125 − 3 · 25 · 2 + 3 · 5 · 4 − 8= 125 − 150 + 60 − 8 = 27 ✓

Qısa formada: (a − b)3 = a3 − b3 − 3ab(a − b).

4 · Laboratoriya

Dörd həddi bir-bir qur

İkihədlini seç: şəkil hər həddi düsturun sırası ilə hesablayır. İşarəni düstur verir, ona görə fərqdə ikinci ifadəni işarəsiz götürürük: (y − 5)3-da ikinci ifadə 5-dir.

Hansı ikihədlinin kubu?

(n + 6)3 (y − 5)3 (4t + 1)3 (2c − 3d)3

İkihədlinin kubunun dörd həddi

(n + 6)3: birinci n, ikinci 6; bütün işarələr artı. Cavab: n3 + 18n2 + 108n + 216.

(y − 5)3: birinci y, ikinci 5; fərq olduğu üçün 2-ci və 4-cü hədd mənfidir. Cavab: y3 − 15y2 + 75y − 125.

(4t + 1)3: birinci 4t — əmsal 4 də kuba yüksəlir: (4t)3 = 64t3. 1-in istənilən qüvvəti 1-dir. Cavab: 64t3 + 48t2 + 12t + 1.

(2c − 3d)3: hər iki ifadə birhədlidir, ikisi də mötərizədə qüvvətə yüksəlir: (2c)2 = 4c2, (3d)2 = 9d2. Cavab: 8c3 − 36c2d + 54cd2 − 27d3.

Sol zolağın rəngi hissənin rəngidir: göy — birincinin kubu, yaşıl — lövhələr, narıncı — çubuqlar, qırmızı — ikincinin kubu.

5 · Hesabla

Kubu çoxhədli şəklində yaz

Hər nümunədə əvvəl birinci və ikinci ifadəni adlandırırıq, sonra dörd həddi sıra ilə yazırıq. Hədlər birincinin azalan qüvvətləri ilə düzülür.

Nümunə 1Əmsallı birinci

(2m + 5)3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

1. Birinci 2m, ikinci 5; cəmin kubu: bütün işarələr artı.
2. (2m)3 = 8m3; 3 · (2m)2 · 5 = 3 · 4m2 · 5 = 60m2.
3. 3 · 2m · 52 = 150m; 53 = 125. (2m + 5)3 = 8m3 + 60m2 + 150m + 125

Nümunə 2Kəsrlə fərq

(3x − 13 / )3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

1. Birinci 3x, ikinci 13 / ; fərqin kubu: + − + −.
2. (3x)3 = 27x3; 3 · 9x2 · 13 / = 9x2.
3. 3 · 3x · 19 / = x; (13 / )3 = 127 / . 27x3 − 9x2 + x − 127 /

Nümunə 3Qüvvətin qüvvəti

(p2 + 2q3)3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın.

1. Qüvvəti qüvvətə yüksəldəndə üstlər vurulur: (p2)3 = p6, (2q3)2 = 4q6, (2q3)3 = 8q9.
2. 3 · p4 · 2q3 = 6p4q3; 3 · p2 · 4q6 = 12p2q6. p6 + 6p4q3 + 12p2q6 + 8q9

Nümunə 4Çatışmayan birhədlilər

■ və ▲ yerinə elə birhədlilər yazın ki, eynilik alınsın: (■ + 2y)3 = 27x3 + 54x2y + ▲ + 8y3.

1. Birinci hədd birincinin kubudur: 27x3 = (3x)3, deməli ■ = 3x.
2. Yoxlayırıq: 3 · (3x)2 · 2y = 54x2y ✓, (2y)3 = 8y3 ✓.
3. ▲ üçüncü hədddir: 3 · 3x · (2y)2 = 3 · 3x · 4y2 = 36xy2. ■ = 3x, ▲ = 36xy2

Nümunə 5Sadələşdir

İfadəni sadələşdirin: (c + 2)3 − c3 − 8.

1. Kubu açırıq: (c + 2)3 = c3 + 6c2 + 12c + 8.
2. c3 və 8 silinir: c3 + 6c2 + 12c + 8 − c3 − 8. 6c2 + 12c = 6c(c + 2)

Nümunə 5-də qalan 6c2 + 12c — kubun lövhələri və çubuqlarıdır; qısa formadakı 3ab(a + b) = 3 · c · 2 · (c + 2) da elə budur.

6 · Diqqət

Hansı hədlər itə bilər?

(2 + 1)³ = 27 vahid kub, 2³ + 1³ isə 9

a = 2, b = 1: (2 + 1)3 = 27, amma 23 + 13 = 9. Kubu hədd-hədd kuba yüksəltmək lövhələri və çubuqları atır.

Səhv

(4t)3 = 4t3

Əmsal da kuba yüksəlir. Eyni səhv: 3 · x · (2y)2 yerinə 3 · x · 2y2 = 6xy2 yazmaq.

Düzgün

(4t)3 = 64t3

Birhədlini bütöv mötərizəyə al: 3 · x · (2y)2 = 12xy2.

Səhv

(a − b)3 = a3 − 3a2b − 3ab2 − b3

Hamısı mənfi deyil: 3ab2-də b cüt (ikinci) qüvvətdədir.

Düzgün

+ − + −

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3. Yoxla: a = 1, b = 1 olanda hər iki tərəf 0-dır.

Yerləri dəyişəndə işarə dəyişir. b − a = −(a − b), tək qüvvətdə mənfi qalır: (b − a)3 = −(a − b)3. Məsələn:

(1 − x)3 = 1 − 3x + 3x2 − x3 = −(x − 1)3

Kvadratda belə deyil: (b − a)2 = (a − b)2.

7 · Həyatda

Ağılda kub və təqribi hesab

Böyük ədədin kubunu ədədi «yuvarlaq + kiçik» kimi yazıb tapmaq olar. Qüvvətin əsasını cəm və ya fərq şəklində göstəririk:

1023 = (100 + 2)3

= 1 000 000 + 3 · 10 000 · 2 + 3 · 100 · 4 + 8= 1 000 000 + 60 000 + 1 200 + 8= 1 061 208

9,93 = (10 − 0,1)3

= 1000 − 3 · 100 · 0,1 + 3 · 10 · 0,01 − 0,001= 1000 − 30 + 0,3 − 0,001= 970,299

İkinci toplanan çox kiçik olanda son iki hədd demək olar ki, heç nədir. Usta tili 1 m olan kub qutunun hər tilini 2% — 0,02 m — böyüdür. Həcm neçə faiz artar?

Tili 1 + 0,02 olan kubun hissələri

Başla Yenidən Yenidən

Miqyas saxlanmayıb: lövhələr görünsün deyə qalın çəkilib. Kiçik kub arxa küncdə gizlidir.

1,023 = (1 + 0,02)3= 1 + 0,06 + 0,0012 + 0,000008= 1,061208 ≈ 1,06

Həcm təqribən 6% artır — tilin artımının üç misli. Səbəb şəkildədir: əlavə həcmin demək olar hamısı üç nazik lövhədir.

Təqribi bərabərlik

a kiçik müsbət ədəddirsə (0 < a < 1, məsələn, 0,02):

(1 + a)3 ≈ 1 + 3a, (1 − a)3 ≈ 1 − 3a

a nə qədər kiçikdirsə, atılan 3a2 və a3 hədləri bir o qədər kiçikdir.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan (k + 5)3 ifadəsini çoxhədli şəklində yazın. Cavab variantları k3 + 125 k3 + 15k2 + 75k + 125 k3 + 5k2 + 25k + 125 Düzdür! Dörd hədd, ortadakılarda 3 vuruğu var. Yox. Hədd-hədd kuba yüksəltmək olmaz, ortadakı hədlərdə isə 3 vuruğunu unutma. Həllə bax k3 + 3 · k2 · 5 + 3 · k · 25 + 125 = k3 + 15k2 + 75k + 125.
2. Asan (t − 2)3 çoxhədlisində t-nin (birinci dərəcəli həddin) əmsalı neçədir? Cavab variantları −12 6 12 Düzdür! Üçüncü hədd 3 · t · 22 = 12t, işarəsi artı. Yox. Üçüncü hədd 3 · birinci · (ikinci)2-dir; b cüt qüvvətdə olduğu üçün işarəsi artıdır. Həllə bax (t − 2)3 = t3 − 6t2 + 12t − 8. t-nin əmsalı 12-dir.
3. Orta (2a + 3b)3 çoxhədlisində ab2 olan hədd hansıdır? Cavab variantları 18ab2 54ab2 36a2b Əla! (3b)2 = 9b2, sonra 3 · 2a · 9b2. Yox. 3b-ni bütöv kvadrata yüksəlt: (3b)2 = 9b2. 36a2b isə o biri orta hədddir. Həllə bax 3 · 2a · (3b)2 = 3 · 2a · 9b2 = 54ab2. (Tam açılış: 8a3 + 36a2b + 54ab2 + 27b3.)
4. Orta 413-u cəmin kubu düsturu ilə hesablayın. Cavab variantları 64 001 68 801 68 921 Düzdür! 64 000 + 4 800 + 120 + 1. Yox. 41 = 40 + 1; dörd həddin hamısını topla — 3 · 40 · 12 = 120 də daxil. Həllə bax (40 + 1)3 = 403 + 3 · 1600 · 1 + 3 · 40 · 1 + 1 = 64 000 + 4 800 + 120 + 1 = 68 921.
5. Çətin (■ − 4)3 = 125y3 − ▲ + 240y − 64 eyniliyində ▲ hansı birhədlidir? Cavab variantları 60y2 100y2 300y2 Əla! ■ = 5y, ▲ = 3 · 25y2 · 4. Yox. Əvvəl ■-ni tap: 125y3 = (5y)3. Sonra ▲ = 3 · (5y)2 · 4 — həm kvadrat, həm də 3 vuruğu lazımdır. Həllə bax 125y3 = (5y)3, deməli ■ = 5y. ▲ = 3 · (5y)2 · 4 = 3 · 25y2 · 4 = 300y2. Yoxlama: 3 · 5y · 42 = 240y ✓, 43 = 64 ✓.
6. Çətin (1 − a)3 ≈ 1 − 3a bərabərliyi ilə 0,983-un təqribi qiymətini tapın. Cavab variantları 0,94 1,06 0,98 Düzdür! Dəqiq qiymət 0,941192-dir. Yox. 0,98 = 1 − 0,02; 1-dən kiçik ədədin kubu daha da kiçilir, təqribən 3 · 0,02 qədər. Həllə bax 0,983 = (1 − 0,02)3 ≈ 1 − 3 · 0,02 = 0,94. Dəqiq: 1 − 0,06 + 0,0012 − 0,000008 = 0,941192.

Xülasə

Yadda qalanlar

• (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3Kub 8 hissədir: böyük kub, 3 lövhə, 3 çubuq, kiçik kub.
• (a − b)3: + − + −b-nin üstü tək olan hədlər mənfidir: a3 − 3a2b + 3ab2 − b3.
• (4t)3 = 64t3Birhədlini bütöv mötərizədə qüvvətə yüksəlt; (a + b)3 ≠ a3 + b3.

Növbəti mövzu: 2.34 İki ifadənin kubları cəmi və kubları fərqi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, Bölmə 6, «6.4. İkihədlinin kuba yüksəldilməsi», səh. 143–145 (kubun hissələrə bölünməsi, cəmin və fərqin kubu düsturları, təqribi bərabərlik). Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.