Dövri onluq kəsrlər — dinləmə dərsi

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: axşamdır, mətbəxdəsiniz. Divardakı saat sakitcə tıqqıldayır. Ananız sizdən iki litr kompotu üç bankaya bərabər paylamağı xahiş edir. Hər bankaya neçə litr düşəcək? Kalkulyatoru götürürsünüz və yığırsınız: iki, bölmə, üç. Ekranda belə yazılır: sıfır tam, altı, altı, altı, altı… ekranın sonuna qədər altılar. Ən axırda isə birdən yeddi görünür. Qəribədir, deyilmi? Bu altılar haradasa bitirmi? Və o yeddi haradan çıxdı? Bu dərsdə hər iki suala cavab tapacağıq. Mövzumuz dövri onluq kəsrlərdir. Dərsin sonunda isə daha maraqlı bir şey bacaracaqsınız: kəsrə baxıb, bölməyə başlamadan, onluq kəsrin bitəcəyini, yoxsa sonsuza qədər davam edəcəyini əvvəlcədən deyəcəksiniz. Əvvəlcə tanış bir şeydən başlayaq. Adi kəsri onluq kəsrə çevirmək üçün surəti məxrəcə bölürük. Çox vaxt bölmə haradasa bitir. Məsələn, iyirmi beşdə yeddi sıfır tam yüzdə iyirmi səkkizdir: qalıq sıfır olur və rəqəmlər tükənir. Belə kəsrə sonlu onluq kəsr deyirik. İndi kompotumuza qayıdaq və ikini üçə öz əlimizlə bölək. İki üçə bölünmür, ona görə sıfır tam yazırıq və ikinin yanına sıfır artırırıq: iyirmi alınır. İyirminin içində üç altı dəfə var. Altı dəfə üç on səkkizdir, qalıq iki qalır. Yenə sıfır artırırıq: yenə iyirmi, yenə altı, yenə qalıq iki. Diqqət edin: qalıq yenidən ikiyə qayıtdı. Deməli, hər şey əvvəldən təkrarlanacaq, və bu bölmə heç vaxt bitməyəcək. Beləliklə, birinci sualın cavabı: altılar heç vaxt bitmir. Bəs yeddi? Kalkulyatorun ekranında yer azdır, ona görə o, son rəqəmi yuvarlaqlaşdırır. Ondan sonra gələn rəqəm də altıdır, altı isə beşdən böyükdür, və son altı yeddiyə qalxır. O yeddi kəsrin özündə yoxdur, o, ekranın darlığından gəlir. Belə ədədlərin öz adı var. Dərslikdə deyilir: onluq kəsrin yazılışında vergüldən sonra rəqəm və ya rəqəmlər qrupu sonsuz sayda təkrarlanarsa, belə kəsrə dövri kəsr deyilir. Təkrarlanan rəqəm və ya rəqəmlər qrupu isə dövr adlanır. Üçdə ikidə dövr altıdır. Bəzən isə bütöv bir qrup təkrarlanır. Səkkizi on birə bölsək, sıfır tam, sonra yeddi, iki, yeddi, iki, yeddi, iki… alınır. Burada dövr iki rəqəmdir: yeddi və iki. İndi ikinci məsələyə keçək: sonsuz ədədi necə yazaq və necə oxuyaq? Sonsuza qədər altı yazmaq mümkün deyil. Ona görə dövr bir dəfə yazılır və mötərizəyə alınır. Üçdə iki belə yazılır: sıfır, vergül, sonra mötərizənin içində altı. Mötərizə bildirir ki, içindəki rəqəmlər sonsuza qədər təkrarlanır. Bəs bunu ucadan necə deyək? Dərslik bunun üçün gözəl bir söz işlədir: «dövrdə». Üçdə iki belə oxunur: sıfır tam, dövrdə altı. On birdə səkkiz isə belə oxunur: sıfır tam, dövrdə yetmiş iki. Qulaq üçün qayda sadədir: «dövrdə» sözündən sonra gələn hər şey sonsuz təkrarlanır. Bu kiçik söz çox vacibdir. «Sıfır tam onda altı» başqa ədəddir: vergüldən sonra cəmi bir altı var, və kəsr bitir. «Sıfır tam, dövrdə altı» isə sonsuz altılardır. Ona görə «dövrdə» sözünü heç vaxt buraxmayın. Dövr sıfırla başlayanda isə rəqəmləri bir-bir deyin. Məsələn, doxsan doqquzda bir belə deyilir: sıfır tam, dövrdə sıfır, bir. Bir şeyi də yadda saxlayın. Sıfır tam, qırx altı, qırx altı… ədədinin dövrünü daha uzun da yazmaq olar, amma dərslik ən qısasını seçməyi məsləhət görür: sıfır tam, dövrdə qırx altı. İndi dövri kəsrin hissələrinə baxaq. Dərslikdəki başqa bir nümunəni götürək: otuzda yetmiş üç. Onu bölsək, iki tam, dörd, sonra üç, üç, üç… alınır. Dərslikdəki kimi belə deyirik: iki tam dörd, dövrdə üç. Burada üç hissə var. Vergüldən əvvəlki iki tam hissədir. Vergüldən sonra gələn, amma təkrarlanmayan dörd dövrə qədərki ədəddir. Sonsuz təkrarlanan üç isə dövrdür. Dövrün harada başladığına görə dövri kəsrlər iki növə bölünür. Dövr vergüldən dərhal sonra başlayırsa, bu, saf dövri onluq kəsrdir. Sıfır tam, dövrdə altı da, sıfır tam, dövrdə yetmiş iki də saf dövri kəsrlərdir. Vergüldən sonra əvvəlcə bir və ya bir neçə təkrarlanmayan rəqəm gəlirsə, bu, qarışıq dövri onluq kəsrdir. İki tam dörd, dövrdə üç qarışıqdır. Burada tez-tez edilən bir səhv var. Sıfır tam, iki, sonra üç, üç, üç… ədədini «sıfır tam, dövrdə iyirmi üç» kimi yazmaq olmaz. Çünki onda iyirmi üç bütövlükdə təkrarlanardı: iki, üç, iki, üç, iki, üç… Bu, tamam başqa ədəddir. Düzgünü belədir: sıfır tam iki, dövrdə üç. Qayda sadədir: dövr vergüldən yox, təkrarın başladığı yerdən başlayır. İndi ən maraqlı suala gələk: bölmə niyə mütləq təkrarlanmalıdır? Bəlkə hansısa kəsrdə rəqəmlər heç bir təkrar olmadan, sonsuza qədər qarmaqarışıq davam edər? Dərslik bunu ayrıca qayda kimi yazmır. Amma cavabı sadə bir riyazi düşüncə ilə özümüz tapa bilərik. Üçə böləndə qalıqlara baxaq. Qalıq həmişə böləndən kiçik olur, yəni üçdən kiçik. Deməli, mümkün qalıqlar cəmi üç dənədir: sıfır, bir və iki. Qalıq sıfır olsa, bölmə bitir və sonlu onluq kəsr alınır. Sıfır deyilsə, yalnız bir və iki qalır. Seçim bu qədər az olanda qalıq tezliklə təkrarlanmalıdır, elə kompotumuzda olduğu kimi. İndi əsas məqama diqqət edin. Hər addımda eyni işi görürük: qalığın yanına sıfır artırıb bölürük. Deməli, növbəti rəqəm yalnız qalıqdan asılıdır. Qalıq bir dəfə təkrarlandısa, ondan sonrakı bütün rəqəmlər də eynilə təkrarlanacaq. Bu, divardakı saata bənzəyir: əqrəb siferblatı gəzib yenə eyni yerə qayıdır və hər şey təzədən başlayır. On birə böləndə də belədir: sıfırdan başqa cəmi on müxtəlif qalıq ola bilər. Onlar tükənəndən sonra növbəti qalıq mütləq əvvəlkilərdən biri olacaq. Nəticə budur: istənilən adi kəsri böləndə ya bölmə bitir, ya da dövr yaranır. Üçüncü yol yoxdur. Son fəslə keçək: bölmədən əvvəl bilmək olarmı ki, kəsr bitəcək, yoxsa dövri olacaq? Bəli, olar, və dərslik bunun yolunu göstərir. Əvvəlcə kəsri ixtisar edin, sonra məxrəci sadə vuruqlara ayırın. Məxrəcin sadə vuruqları yalnız iki, yalnız beş, ya da iki və beşdirsə, kəsr sonlu onluq kəsrə çevrilir. İçində iki və beşdən fərqli hər hansı sadə vuruq varsa, məsələn, üç, yeddi və ya on bir, kəsr dövri onluq kəsr olur. Doqquzda yeddi buna misaldır: doqquz üç vur üçdür, və kəsr sıfır tam, dövrdə yeddidir. Bəs niyə məhz iki və beş? Onluq kəsrin mərtəbələrini xatırlayın: onda bir, yüzdə bir, mində bir. On, yüz və min yalnız ikilərdən və beşlərdən qurulur. Məxrəcdə yalnız ikilər və beşlər varsa, kəsri genişləndirib məxrəci on, yüz və ya minə çatdırmaq olar. Məsələn, iyirmi beşdə yeddinin surətini də, məxrəcini də dördə vursaq, yüzdə iyirmi səkkiz alınır. Üç isə heç vaxt on, yüz və ya minin vuruğu olmur. Ona görə məxrəcində üç qalan kəsri heç bir onluq mərtəbəyə çatdırmaq mümkün deyil, və bölmə bitmir. İki tələyə diqqət edin. Birincisi: ixtisarı unutmayın. On beşdə altı dövri görünür, çünki on beşin içində üç var. Amma ixtisar etsək, beşdə iki alınır, yəni sıfır tam onda dörd, bitən kəsr. İkincisi: məxrəcdə iki və ya beşin olması kifayət deyil. Altmışda on biri götürək. Altmış iki, iki, üç və beşin hasilidir. Orada üç var, ona görə kəsr dövridir: vergüldən sonra bir və səkkiz gəlir, sonra isə üç sonsuz təkrarlanır. İndi mətbəxə qayıdaq. Hər bankaya üçdə iki litr düşür, yəni sıfır tam, dövrdə altı litr. Altılar heç vaxt bitmir, çünki qalıq hər dəfə ikiyə qayıdır. Ekrandakı yeddi isə sadəcə kalkulyatorun yuvarlaqlaşdırmasıdır. Üstəlik, heç bir düyməyə basmadan da bunu bilə bilərdik: məxrəcdə üç var, deməli, kəsr dövri olacaq. Əsas fikri yadda saxlayın: dövri kəsrin quyruğu sonsuzdur, amma sirli deyil. Biz onun hər rəqəmini əvvəlcədən bilirik, çünki qalıqların sayı məhduddur və onlar mütləq təkrarlanır. Kiçik bir mötərizə bütöv bir sonsuzluğu daşıyır. Adi kəsri onluq kəsrə çevirəndə ya bitən onluq kəsr alırıq, ya da dövri kəsr. Növbəti mövzuda əks yolu gedəcəyik: sıfır tam, dövrdə altı kimi dövri kəsri yenidən adi kəsrə çevirəcəyik. Bölmənin addımlarını yazılı görmək istəsəniz, bu mövzunun oxu dərsinə və videosuna baxın. Dinlədiyiniz üçün sağ olun, növbəti dərsdə görüşərik.