5⁶ − 1 ədədinin bölənləri

1 · Əsas fikir

Ədədi düsturla vuruqlara ayırırıq

Əsas fikir

a² − b² = (a − b)(a + b)

a³ − b³ = (a − b)(a² + ab + b²)

a³ + b³ = (a + b)(a² − ab + b²)

Böyük qüvvəti hesablamadan onun bölənlərini tapmaq üçün ədədi düsturla hasilə çeviririk. Hasilin hər vuruğu, həm də bir neçə vuruğun hasili ədədin bölənidir. Bölən olmayan ədədi isə vuruqlardan alınmayan və qalıq verən ədəd kimi göstəririk.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

Tapşırıq5⁶ − 1 ədədinin bölənləri

N = 5⁶ − 1 olarsa, aşağıdakılardan hansı N ədədinin böləni deyil?

1. 5⁶ = (5³)², ona görə kvadratlar fərqi: N = (5³ − 1)(5³ + 1) = 124 · 126.
2. Daha kiçik vuruqlar: 124 = 5³ − 1 = (5 − 1)(5² + 5 + 1) = 4 · 31; 126 = 5³ + 1 = (5 + 1)(5² − 5 + 1) = 6 · 21.
3. Deməli, N = 4 · 31 · 6 · 21 = 2³ · 3² · 7 · 31 = 15624; 24 = 4 · 6, 31, 21 və 126 bölənlərdir.
4. 26 = 2 · 13, amma N-in vuruqlarında 13 yoxdur: 15624 = 26 · 600 + 24, qalıq 24-dür.
5. Cavab: 26 ədədi N = 5⁶ − 1 = 15624 ədədinin böləni deyil

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

15624 : 24 = 651, 15624 : 31 = 504, 15624 : 21 = 744, 15624 : 126 = 124 — hamısı tam ədəddir; 15624 : 26 = 600 (qalıq 24).

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

• 245⁶ − 1 = (5²)³ − 1 = (5² − 1)(5⁴ + 5² + 1) = 24 · 651, ona görə N 24-ə qalıqsız bölünür.
• 315³ − 1 = 124 = 4 · 31 və N = (5³ − 1)(5³ + 1) = 124 · 126, ona görə N 31-ə bölünür.
• 215³ + 1 = 126 = 6 · 21, ona görə N = 124 · 126 ədədi 21-ə bölünür.
• 126126 = 5³ + 1 N-in vuruğudur: N = 124 · 126.