Müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi

• 2.35
• 7-ci sinif
• Müxtəsər vurma düsturları

Müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi

Beş düsturu artıq bilirsən. Bəs qarşına 2m³ − 18m çıxanda hansından başlayırsan? Cavab bir düstur deyil, ardıcıllıqdır: əvvəl ortaq vuruq, sonra hədləri say, axırda sonadək yoxla.

Bu dərsdə

• çoxhədlinin hədlərinə baxıb hansı düsturun və ya qruplaşdırmanın lazım olduğunu seçəcəksən;
• bir neçə üsulu ardıcıl tətbiq edib çoxhədlini sonadək vuruqlara ayıracaqsan;
• vuruqlara ayırmanı tənlik həll etmək, sahə hesablamaq və bölünməni göstərmək üçün işlədəcəksən.

Vuruqlara ayırmanın qərar xəritəsi

Başla Yenidən Yenidən

1. Xatırla
2. Ardıcıllıq
3. Laboratoriya
4. Hesabla
5. Diqqət
6. Həyatda
7. Özünü yoxla

1 · Xatırla

Düsturlar çantası

Bu bölmədə ortaq vuruğu mötərizə xaricinə çıxarmağı, qruplaşdırmanı və beş müxtəsər vurma düsturunu öyrəndin. Bu dərsdə yeni düstur yoxdur — hamısını birlikdə işlədəcəyik. Düsturu tanımağın ən sürətli yolu hədləri saymaqdır.

Hədd sayına görə düsturlar

Cədvəldə a və b yalnız hərf deyil, istənilən birhədli ola bilər: 9t² = (3t)², 8 = 2³, 16z⁴ = (4z²)². Ona görə əvvəl soruşuruq: bu hədd nəyin kvadratı, nəyin kubudur?

Kvadratlar

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100; x⁴ = (x²)², y⁶ = (y³)²

Kublar

1, 8, 27, 64, 125, 216; x⁶ = (x²)³, 8n³ = (2n)³

2 · Ardıcıllıq

Hansı üsul, hansı növbədə?

Dərslikdəki ümumiləşdirici tapşırıq soruşur: hansı misalda ortaq vuruğu çıxardın, hansında düsturu, hansında hər ikisini — və nə üçün? Cavab üçün bu ardıcıllıq kömək edir:

1. Ortaq vuruq varsa, əvvəlcə onu mötərizə xaricinə çıxar — mötərizədə hədlər sadələşir.
2. Hədləri say və nümunəni tanı: 2 hədd — kvadratlar fərqi və ya kublar cəmi/fərqi; 3 hədd — tam kvadrat; 4 hədd — qruplaşdırma və ya ikihədlinin kubu.
3. Qruplaşdırma lazımdırsa, qrupları elə seç ki, ortaq ikihədli və ya tanış düstur alınsın.
4. Sonadək yoxla: alınan hər vuruğa yenidən bax — o da ayrılırmı?
5. Vurub yoxla və ya bir ədəd qoy: iki tərəf bərabər çıxmalıdır.

Yadda saxla

Çoxhədlini sonadək vuruqlara ayırmaq o deməkdir ki, alınan vuruqların heç biri ortaq vuruq, düstur və ya qruplaşdırma ilə daha ayrılmır.

2m³ − 18m = 2m(m² − 9) = 2m(m − 3)(m + 3)

2m(m² − 9) doğru bərabərlikdir, amma hələ sonadək deyil: m² − 9 kvadratlar fərqidir.

Ardıcıllıq qanun deyil, vərdişdir: bəzən başqa yol da cavaba aparır (Nümunə 4). Amma ortaq vuruğu əvvəl çıxarmaq həmişə işi asanlaşdırır, sonadək yoxlamaq isə cavabı tam edir.

3 · Laboratoriya

Hansı düstur?

İfadə seç. Xəritədə onun yolu işıqlanır, aşağıda isə addımlar yazılır. Əvvəlcə özün təxmin et, sonra yoxla.

İfadə

7k² − 28 9t² − 30t + 25 3n³ + 24 x² − y² + 3x − 3y 9y² + 16

Seçilmiş ifadənin qərar xəritəsindəki yolu

7k² − 28: 1. Ortaq vuruq 7: 7(k² − 4). 2. k² − 4 = k² − 2² — iki hədd, kvadratlar fərqi. 3. k − 2 və k + 2 daha ayrılmır. Cavab: 7(k − 2)(k + 2)

9t² − 30t + 25: 1. Ortaq vuruq yoxdur (9, 30, 25-in ortaq böləni 1-dir). 2. Üç hədd: 9t² = (3t)², 25 = 5², 30t = 2 · 3t · 5 — tam kvadrat. 3. 3t − 5 ayrılmır. Cavab: (3t − 5)²

3n³ + 24: 1. Ortaq vuruq 3: 3(n³ + 8). 2. n³ + 8 = n³ + 2³ — iki hədd, kublar cəmi. 3. Natamam kvadrat n² − 2n + 4 daha ayrılmır. Cavab: 3(n + 2)(n² − 2n + 4)

x² − y² + 3x − 3y: 1. Bütün hədlərə ortaq vuruq yoxdur. 2. Dörd hədd — qruplaşdırırıq: (x² − y²) + (3x − 3y). 3. Birinci qrup kvadratlar fərqi, ikincidən 3 çıxır: (x − y)(x + y) + 3(x − y). 4. Ortaq ikihədli x − y. Cavab: (x − y)(x + y + 3)

9y² + 16: 1. Ortaq vuruq yoxdur. 2. İki hədd, ikisi də kvadrat: (3y)² + 4². Amma arada plyus var — bu, kvadratlar cəmidir. 3. Kvadratlar cəmi bu düsturlarla vuruqlara ayrılmır: (3y + 4)² = 9y² + 24y + 16, orta hədd artıqdır. Cavab: ayrılmır

Rəngli xanalar seçilmiş ifadənin keçdiyi yoldur; qutudakı rəqəmlər addımların növbəsidir. Boz xanalar bu ifadəyə uyğun gəlmir.

Diqqət et: ilk sual həmişə ortaq vuruqdur, son sual həmişə «sonadək?» sualıdır. Ortadakı seçimi isə hədlərin sayı və işarələri edir.

4 · Hesabla

Bir neçə üsul bir misalda

Hər nümunədə əvvəl ardıcıllığın hansı addımlarının işlədiyini deyək, sonra hesablayaq.

Nümunə 1Ortaq vuruq + tam kvadrat

6x³ + 12x² + 6x çoxhədlisini vuruqlara ayırın.

1. Hər üç həddə 6x var: 6x(x² + 2x + 1).
2. Mötərizədə üç hədd: x² + 2 · x · 1 + 1² — tam kvadrat (x + 1)². 6x(x + 1)²

Ortaq vuruğu çıxarmasaydıq, 6x³, 6x heç birinin kvadratı kimi görünməzdi.

Nümunə 2Düstur iki dəfə

16z⁴ − 1 çoxhədlisini sonadək vuruqlara ayırın.

1. 16z⁴ = (4z²)², 1 = 1² — kvadratlar fərqi: (4z² − 1)(4z² + 1).
2. Sonadək yoxlayırıq: 4z² − 1 = (2z)² − 1² yenə kvadratlar fərqidir. 4z² + 1 isə kvadratlar cəmidir, ayrılmır. (2z − 1)(2z + 1)(4z² + 1)

Nümunə 3Qruplaşdırma: üç hədd + bir hədd

4m² − 4m + 1 − n² çoxhədlisini vuruqlara ayırın.

1. Dörd hədd, ortaq vuruq yoxdur. İkiyə-iki qruplar kömək etmir, amma ilk üç hədd tam kvadratdır: 4m² − 4m + 1 = (2m − 1)².
2. Qalır kvadratlar fərqi: (2m − 1)² − n², burada a = 2m − 1, b = n. (2m − 1 − n)(2m − 1 + n)

Nümunə 4İki yol, bir cavab

c³ + 2c² − 4c − 8 çoxhədlisini vuruqlara ayırın.

1. Yol 1. Birinci iki və son iki həddi qruplaşdırırıq: c²(c + 2) − 4(c + 2)= (c + 2)(c² − 4). Sonadək: c² − 4 = (c − 2)(c + 2).
2. Yol 2. Kubları bir yerə yığırıq: (c³ − 8) + (2c² − 4c). (c − 2)(c² + 2c + 4) + 2c(c − 2)= (c − 2)(c² + 4c + 4). Sonadək: c² + 4c + 4 = (c + 2)². (c − 2)(c + 2)²

İki yol eyni vuruqları verdi: (c + 2)(c − 2)(c + 2). Yoxlama, c = 1: 1 + 2 − 4 − 8 = −9 və (−1) · 9 = −9.

Nümunə 5Tənlik

3y³ − 12y² + 12y = 0 tənliyini həll edin.

1. Ortaq vuruq 3y: 3y(y² − 4y + 4) = 0.
2. Mötərizə tam kvadratdır: 3y(y − 2)² = 0.
3. Hasil sıfıra bərabərdir, deməli vuruqlardan biri sıfırdır: y = 0 və ya y − 2 = 0. y = 0; y = 2

5 · Diqqət

Üç tez-tez buraxılan səhv

Yarımçıq

2x² − 50 = 2(x² − 25)

Bərabərlik doğrudur, amma mötərizədə kvadratlar fərqi qalıb.

Sonadək

2x² − 50 = 2(x − 5)(x + 5)

Hər vuruğu yoxladıq: daha heç biri ayrılmır.

Ortaq vuruq unudulub

12a² − 3 = ?

12a² və 3 tam kvadrat deyil, ona görə düstur «görünmür».

Əvvəl 3

3(4a² − 1) = 3(2a − 1)(2a + 1)

3-ü çıxaran kimi kvadratlar fərqi açılır.

Qrupda işarə

x³ − 3x² − 4x + 12 = x²(x − 3) − 4(x + 3)

Mötərizə qarşısında «−» olanda içəridəki işarələr dəyişir: −4(x + 3) = −4x − 12, bizdə isə +12 var.

Düzgün

x²(x − 3) − 4(x − 3) = (x − 3)(x − 2)(x + 2)

−4(x − 3) = −4x + 12; sonra x² − 4 kvadratlar fərqidir.

6 · Həyatda

Çərçivəyə nə qədər taxta lazımdır?

Kvadrat şəklin tili x sm-dir. Onu eni 3 sm olan çərçivəyə salırıq. Çərçivənin sahəsi böyük kvadratdan kiçik kvadratı çıxanda qalan hissədir.

Kvadrat şəkil və eni 3 sm olan çərçivə

Miqyas: 1 sm = 8 vahid. Çərçivə dörd eyni zolaqdır: hər biri 3 sm enində, x + 3 = 27 sm uzunluğunda.

S = (x + 6)² − x²= (x + 6 − x)(x + 6 + x)= 6(2x + 6) = 12(x + 3).

Kvadratlar fərqi, sonra ortaq vuruq: 2x + 6 = 2(x + 3). Nəticə şəkildəki dörd zolaqla eynidir: 4 · 3 · (x + 3) = 12(x + 3). x = 24 olanda S = 12 · 27 = 324 sm². Yoxlama: 30² − 24² = 900 − 576 = 324.

7 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 5x² − 45 çoxhədlisini vuruqlara ayırmağa nədən başlamaq lazımdır? Cavab variantları tam kvadrat düsturundan ortaq vuruğu çıxarmaqdan kublar fərqindən qruplaşdırmadan Düzdür! Hər iki həddə 5 var. Yox. İki hədd var (tam kvadrat üç, qruplaşdırma dörd hədd istəyir), 45 kub deyil. Hər iki hədd 5-ə bölünür. Həllə bax 5x² − 45 = 5(x² − 9) = 5(x − 3)(x + 3).
2. Asan 25a² − 10a + 1 çoxhədlisini vuruqlara ayır. Cavab variantları (5a + 1)² (25a − 1)² (5a − 1)² (5a − 1)(5a + 1) Düzdür! Üç hədd, tam kvadrat: 10a = 2 · 5a · 1. Yox. 25a² = (5a)², orta hədd mənfidir, və üç hədd kvadratlar fərqi deyil, tam kvadratdır. Həllə bax (5a)² − 2 · 5a · 1 + 1² = (5a − 1)².
3. Orta 2b³ − 16 çoxhədlisini sonadək vuruqlara ayır. Cavab variantları 2(b³ − 8) 2(b − 2)(b² + 4b + 4) 2(b − 2)(b² + 2b + 4) 2(b − 2)³ Düzdür! Ortaq vuruq, sonra kublar fərqi. Yox. b³ − 8 hələ ayrılır; kublar fərqində ikinci vuruq natamam kvadratdır (2b, 4b yox), b³ − 8 ≠ (b − 2)³. Həllə bax 2b³ − 16 = 2(b³ − 2³) = 2(b − 2)(b² + 2b + 4).
4. Orta x⁴ − 18x² + 81 çoxhədlisini sonadək vuruqlara ayır. Cavab variantları (x² − 9)² (x − 3)²(x + 3)² (x − 9)² (x − 3)(x + 3)(x² + 9) Düzdür! Tam kvadrat, sonra kvadratlar fərqi. Yox. x⁴ = (x²)², ona görə əvvəl (x² − 9)² alınır; amma x² − 9 hələ ayrılır. (x − 3)(x + 3)(x² + 9) = x⁴ − 81 olardı. Həllə bax x⁴ − 2 · x² · 9 + 9² = (x² − 9)² = ((x − 3)(x + 3))² = (x − 3)²(x + 3)².
5. Çətin p³ − 4p² − p + 4 çoxhədlisini sonadək vuruqlara ayır. Cavab variantları (p − 4)(p² − 1) (p − 4)(p − 1)² (p + 4)(p − 1)(p + 1) (p − 4)(p − 1)(p + 1) Düzdür! Qruplaşdırma, sonra kvadratlar fərqi. Yox. Qruplar p²(p − 4) − (p − 4) verir; p² − 1 hələ ayrılır və kvadratlar fərqidir, tam kvadrat deyil. İşarəni də yoxla. Həllə bax p²(p − 4) − 1 · (p − 4) = (p − 4)(p² − 1) = (p − 4)(p − 1)(p + 1).
6. Çətin Hansı ifadə n-in istənilən natural qiymətində 8-ə qalıqsız bölünür? Cavab variantları (2n + 1)² − 1 (n + 2)² − n² (2n)² − 1 (n + 1)³ − n³ Düzdür! (2n + 1)² − 1 = 4n(n + 1), və n(n + 1) cütdür. Yox. Vuruqlara ayırıb bax: (n + 2)² − n² = 4(n + 1) (n = 2 olanda 12); (2n)² − 1 və 3n² + 3n + 1 həmişə təkdir. Həllə bax Kvadratlar fərqi: (2n + 1 − 1)(2n + 1 + 1) = 2n · 2(n + 1) = 4n(n + 1). Ardıcıl iki natural ədəddən biri cütdür, ona görə n(n + 1) 2-yə, bütün ifadə isə 8-ə bölünür.

Xülasə

Yadda qalanlar

• Əvvəl ortaq vuruqOnu çıxaran kimi mötərizədəki düstur görünür.
• Hədləri say2 hədd — kvadratlar fərqi, kublar cəmi və fərqi; 3 hədd — tam kvadrat; 4 hədd — qruplaşdırma və ya kub.
• Sonadək və yoxlaHər vuruğa yenidən bax, sonra vurub və ya bir ədəd qoyub yoxla.

Növbəti mövzu: 2.36 Funksiyanın verilməsi

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, Bölmə 6 · 6 «Müxtəsər vurma düsturlarının tətbiqi», səh. 149–150 (qarışıq çalışmalar) və «Ümumiləşdirici tapşırıqlar», səh. 151 (hansı üsulun nə üçün seçildiyi sualı, hasilin sıfıra bərabər olması şərti); cavablar səh. 223. Test formatları üçün nümunə: DİM, «Riyaziyyat. Test toplusu» (2023 və 2025, I hissə). Qərar xəritəsi, nümunələrdəki ifadələr və ədədlər bu dərs üçün hazırlanıb.