Audio dərs · Müddət
14:54
Mətn (transkript)
Təsəvvür et: yay səhəridir, sən böyük bir çayın sahilindəsən. Yanında Nihad var. O, yeddinci sinifdə oxuyur və bu gün babası ilə köhnə motorlu qayıqda çayın aşağısındakı bazar kəndinə gedir. Babanın qayığı köhnədir, sürət göstəricisi çoxdan işləmir. Amma sahil boyunca hər kilometrdə ağ dirək var və baba saata baxıb yolu dirəklərlə sayır. Qayıq axınla aşağı üzür. Baba deyir: axınla aşağı gedəndə qayığımız bir saatda on səkkiz kilometr gedir. Axşam evə, axına qarşı qayıdanda isə bir saatda cəmi on iki kilometr gedir. Mühərrik hər dəfə eyni işləyir, fərqi çay yaradır. Aşağı gedəndə su qayığı itələyir, yuxarı gedəndə isə geri saxlayır. Nihad soruşur: baba, bəs çay özü nə qədər sürətlə axır? Baba çiyinlərini çəkir. Bilmirəm, deyir. Burada iki naməlum var: qayığın öz sürəti və axının sürəti. Aşağı gedəndə on səkkiz kilometrin bir hissəsini qayıq verir, bir hissəsini çay. Amma hansı hissə nə qədərdir, heç kim bilmir. Yuxarı gedəndə də eyni sual var. Hər ipucu tək başına cavab vermir. Nihad bir dəqiqə suya baxır, sonra deyir: baba, çay saatda üç kilometr axır. Bizim qayıq isə durğun suda saatda on beş kilometr gedərdi. Baba gülümsəyir: bunu haradan bildin? Bazar kəndinin körpüsünə çatanda yaşlı bərəçi onları qarşılayır. Baba ondan soruşur: bu yerlərdə çay nə sürətlə axır? Bərəçi deyir: saatda üç kilometr, biz bunu çoxdan bilirik. İndi iki sual. Birinci sual: Nihad suyu ölçmədən axının sürətini necə tapdı? İkinci sual: onun fəndi həmişə işləyirmi? İkinci sualın cavabında kiçik bir sürpriz var. Salam! Bu gün ikidəyişənli xətti tənliklər sisteminin toplama üsulu ilə həllindən danışacağıq. Əvvəlcə Nihadın fikrini açacağıq. Sonra bu fikrin niyə düzgün olduğunu görəcəyik və dərslikdəki addımları keçəcəyik. Sonra hərflər özü silinməyəndə nə etmək lazım olduğunu və dörd tələni öyrənəcəyik. Ən sonda isə hər iki hərfin birdən yox olduğu anlara baxacağıq. Gəl, Nihadın başında nə baş verdiyini yavaş-yavaş açaq. Qayığın durğun sudakı öz sürətini iks adlandıraq, axının sürətini isə igrek. Aşağı gedəndə çay kömək edir: öz sürət və axın toplanır, on səkkiz alınır. Yuxarı gedəndə çay mane olur: öz sürətdən axın çıxılır, on iki qalır. Riyaziyyat dilində bu iki cümlə belədir: iks üstəgəl igrek on səkkizdir, iks çıx igrek on ikidir. Bu iki tənlik birlikdə tənliklər sistemidir. Sistemin kökü isə hər iki tənliyi ödəyən ədədlər cütüdür. İndi əsas fikir. Nihad iki səfəri birləşdirdi. Təsəvvür et ki, qayıq bir saat aşağı, sonra bir saat yuxarı gedir. Birinci saatda çay qayığa bir neçə kilometr hədiyyə edir. İkinci saatda isə həmin kilometrləri geri alır. İki saatın sonunda çayın payı sıfırdır. Yalnız qayığın öz işi qalır: iki saat öz sürəti ilə. Qalanı asandır. İki saatda gedilən yol on səkkiz üstəgəl on iki, yəni otuz kilometrdir. Deməli, iki öz sürət otuzdur, bir öz sürət isə on beş. İndi aşağı səfərə qayıdırıq. On beşə nə əlavə edəndə on səkkiz alınır? Üç. Axın saatda üç kilometrdir. Sistemin kökü iksin on beşə, igrekin üçə bərabər olduğu cütdür. Qısaca, on beş və üç cütü. Dərslik bu hərəkətin adını belə deyir: tənlikləri tərəf-tərəfə toplamaq. Sol tərəf sol tərəflə, sağ tərəf sağ tərəflə toplanır. Solda igrek bir dəfə üstəgəl, bir dəfə çıx işarəsi ilə gəlir və onlar bir-birini silir. Belə ədədlərə əks ədədlər deyilir, onların cəmi sıfırdır. İgrekin əmsalları əks ədədlər olduğuna görə igrek yox oldu və birdəyişənli xətti tənlik qaldı. Üsulun adı da buradan gəlir: toplama üsulu. Bəs tənlikləri toplamaq nəyə görə düzgündür? Axı tənliklər ədədlər kimi toplanırmı? Cavab köklə bağlıdır. Sistemin kökündə hər iki tənlik doğru ədədi bərabərliyə çevrilir. On beş üstəgəl üç on səkkizdir. On beş çıx üç on ikidir. İki doğru bərabərliyi tərəf-tərəfə toplasan, yenə doğru bərabərlik alınır: sol tərəflərin cəmi otuzdur, sağ tərəflərin cəmi də otuz. Ona görə cəm tənliyi də eyni kökü ödəyir. Dərslik buradan bir qayda çıxarır. Toplama üsulundan istifadə etmək üçün eyni dəyişənin əmsalları əks ədədlər olmalıdır. Belə olanda toplama zamanı həmin dəyişən sıfıra çevrilir və iki naməlum birə enir. Cəm tənliyini sistemin tənliklərindən biri ilə birlikdə yazanda yeni sistem əvvəlkinə eynigüclü olur, yəni kök dəyişmir. İndi bütün yolu addım-addım keçək. Gəl, hər addımı Nihadın çay səfərində görək. Birinci addım: eyni hərfin əmsallarına baxırsan. Onlar əks ədədlərdirmi? Bizdə igrek bir tənlikdə üstəgəl, o birində çıx işarəsi ilə gəlir. Deməli, hər şey hazırdır. İkinci addım: tənlikləri tərəf-tərəfə toplayırsan. Bir hərf yox olur və birdəyişənli xətti tənlik qalır. Bizdə bu, iki iks otuzdur cümləsidir. Üçüncü addım: bu tənliyi həll edirsən. İks on beşdir. Burada yeni heç nə yoxdur, belə tənlikləri sən çoxdan həll edirsən. Dördüncü addım: tapılan qiyməti sistemin istənilən tənliyində yerinə yazırsan və ikinci dəyişəni tapırsan. Nihad aşağı səfəri seçdi: on beş üstəgəl axın on səkkizdir, deməli, axın üçdür. Yuxarı səfəri seçsəydi, on beşdən axını çıxanda on iki qalmalı idi, yenə üç alınardı. Cavabı cüt kimi yazırıq: əvvəl iks, sonra igrek. On beş və üç. Beşinci addım: cütü hər iki tənlikdə yoxlayırsan. On beş üstəgəl üç on səkkizdir, aşağı səfər razıdır. On beş çıx üç on ikidir, yuxarı səfər də razıdır. Hər iki bərabərlik doğrudur, deməli, on beş və üç cütü sistemin köküdür. Nihadın bir də həyat yoxlaması vardı: bərəçinin sözü. Çay doğrudan da saatda üç kilometr axırdı. Amma ipucular həmişə belə səliqəli gəlmir. Bəzən hərflər toplananda silinmir. Dərslik deyir: əmsallar əks ədədlər deyilsə, onları əks ədədlərə çevirmək lazımdır. Bunun üçün tənliklərdən birinin və ya hər ikisinin hər tərəfi elə ədədə vurulur ki, əmsallar əks olsun. Babanın köhnə dəftərində başqa bir qeyd var. Bir dəfə o, axına qarşı iki saat gedib və iyirmi dörd kilometr yol qət edib. İki saat ərzində öz sürət iki dəfə işləyir, axın da iki dəfə geri saxlayır. İndi aşağı səfərdə igrek bir dəfə üstəgəl işarəsi ilə gəlir, bu qeyddə isə iki dəfə çıx işarəsi ilə. Toplasan, igrek tam silinmir. Nihad fikirləşir: aşağı səfəri də iki saatlıq edək. Qayıq axınla iki saat getsə, hər şey iki dəfə artır: öz sürətin payı da, axının payı da, gedilən yol da. On səkkiz əvəzinə otuz altı kilometr. İndi axın bir tənlikdə iki dəfə üstəgəl, o birində iki dəfə çıx işarəsi ilə gəlir, əmsallar əks ədədlərdir. Topla: dörd öz sürət altmış kilometrdir, deməli, bir öz sürət yenə on beşdir. Kök dəyişmədi, çünki tənliyin hər tərəfini eyni ədədə vurmaq eynigüclü tənlik verir. Bəzən hərfin əmsalları əks yox, bərabər olur. Məsələn, iki ipucunun hər ikisində axın üstəgəl işarəsi ilə gəlir. Toplasan, axın silinmək əvəzinə iki dəfə artır. Belə halda tənliklərdən birinin hər tərəfini mənfi birə vururuq. Onun bütün işarələri dəyişir, sağ tərəfdəki ədədin də. Sonra toplayırıq. Gündəlik dildə buna çıxmaq deyərdin. Dərslik isə həmişə belə edir: mənfi ədədə vurur və toplayır. Ədədlər daha qarışıq olanda dərslik ən kiçik ortaq bölünəndən istifadə edir. Dərsliyin ikinci misalında iksin qarşısında üç və iki durur. Onların ən kiçik ortaq bölünəni altıdır. Ona görə birinci tənliyin hər tərəfi ikiyə, ikinci tənliyin hər tərəfi isə mənfi üçə vurulur. İksin qarşısında altı və mənfi altı yaranır və toplananda iks yox olur. Dərslik kənarda bir sual da verir: eyni misalı igreki yox etməklə necə həll edərdin? Hansı hərfi yox edəcəyini sən seçirsən, kök eyni çıxır. İndi dörd tələyə baxaq. Bunlar şagirdlərin ən çox büdrədiyi yerlərdir. Birinci tələ: yalnız sol tərəfi vurmaq. Aşağı səfəri iki saatlıq edəndə Nihad öz sürəti də, axını da ikiyə vurdu. Yolu on səkkiz saxlasaydı, bərabərlik yalan olardı, çünki iki saatda yol da iki dəfə artır. Vuranda tənliyin hər tərəfini vur: solu da, sağı da. İkinci tələ: mənfi ədədə vuranda işarəni səhv salmaq. Mənfi ədədə vuranda hər hədd işarəsini dəyişir: üstəgəl olan çıx olur, çıx olan isə üstəgəl. Ən çox unudulan sonuncusudur: mənfini mənfiyə vuranda müsbət alınır. Sağ tərəfdəki ədəd də işarəsini dəyişir. Üçüncü tələ: sağ tərəfləri toplamaq əvəzinə çıxmaq. Nihad on səkkizlə on ikini toplayıb otuz aldı. Kimsə tələsib altı yazsa, öz sürət üç çıxar və qayıq çaydan da yavaş olar. Belə qəribə nəticə səhvin xəbərçisidir. Sol tərəfləri toplayırsansa, sağ tərəfləri də topla. Dördüncü tələ: yarı yolda dayanmaq və sıranı qarışdırmaq. Yalnız iksi tapıb dayansan, cavab yarımçıqdır, çünki sistemin kökü cütdür. Cütün sırası da vacibdir. Üç və on beş cütü qayığın öz sürətinin üç olduğunu deyir. Aşağı səfər buna razıdır, çünki cəm yenə on səkkizdir. Amma yuxarı səfər etiraz edir: üçdən on beşi çıxanda sıfırdan kiçik ədəd alınır, on iki isə sıfırdan böyükdür. Ona görə yoxlamanı hər iki tənlikdə et. İndi söz verdiyim sürprizə gələk. Bəzən əmsalları əks edib toplayanda təkcə bir hərf yox, hər iki hərf birdən yox olur. Belə anda tənlik sənə kök haqqında başqa bir xəbər verir. Bu, keçən dərslərdən bildiyin köklərin sayı qaydasının toplama üsulunda görünüşüdür. Tutaq ki, əlində yalnız yuxarı səfər haqqında iki qeyd var. Birində yazılıb: bir saatda on iki kilometr. O birində: iki saatda iyirmi dörd kilometr. Birinci qeydi ikiyə, ikincini isə mənfi birə vurub toplasan, iks də, igrek də silinir və sıfır bərabərdir sıfır alınır. Bu bərabərlik hər cüt üçün doğrudur. Deməli, sistemin sonsuz sayda kökü var. İkinci qeyd yeni heç nə demir, birincini təkrarlayır. Qrafikdə bu, üst-üstə düşən xətlərdir. İndi başqa hal. Tutaq ki, ikinci qeyddə səhvən iyirmi kilometr yazılıb. Eyni addımları atsan, hərflər yenə silinir, amma bu dəfə sağda dörd qalır: sıfır bərabərdir dörd. Bu bərabərlik hər cüt üçün yalandır. Deməli, sistemin kökü yoxdur, qeydlər bir-birinə ziddir. Qrafikdə bu, paralel xətlərdir. İndi yenidən çaya, bərə körpüsünə qayıdaq. Birinci sualın cavabı: Nihad iki səfəri birləşdirdi. Aşağı gedəndə çayın verdiyini yuxarı gedəndə çay geri aldı və toplananda axın silindi. Tənliklər dilində bu, tərəf-tərəfə toplamadır. İkinci sualın cavabı: əmsallar əks deyilsə, əvvəlcə tənliyi uyğun ədədə vurmaq lazımdır. Hər iki hərf silinəndə isə alınan bərabərlik həmişə doğrudursa, kök sonsuz saydadır, yalandırsa, kök yoxdur. Xülasə edək. Eyni hərfin əmsallarına bax. Əks deyilsə, tənliyin hər tərəfini elə ədədə vur ki, əks olsunlar. Tənlikləri tərəf-tərəfə topla. Birdəyişənli tənliyi həll et. Tapılan qiyməti tənliklərdən birində yerinə yaz və ikinci dəyişəni tap. Cütü hər iki tənlikdə yoxla. Bu dərsdən bir fikri yadda saxla: iki doğru bərabərliyi toplayanda əks hissələr bir-birini silir və iki naməlum birə enir. Çayın verdiyi və geri aldığı kilometrlər Nihada axının sürətini belə göstərdi. Oxu dərsində eyni addımları kağız üzərində, başqa ədədlərlə özün keçəcəksən. Növbəti dərsdə isə mətnli məsələlərdən sistem qurmağı öyrənəcəksən. Səni növbəti dərsdə gözləyirəm. Sağ ol!