İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin toplama üsulu ilə həlli

• 2.43
• 7-ci sinif
• Xətti tənliklər sistemi

Sistemin toplama üsulu ilə həlli

İki tənliyi tərəf-tərəfə toplasan, 5y ilə −5y bir-birini yox edir və cəmi bir dəyişənli tənlik qalır: 7x = 28.

Bu dərsdə

• tənlikləri tərəf-tərəfə toplayıb dəyişənlərdən birini yox edəcəksən;
• əmsalları əks ədədlərə çevirən vuruqları (ƏKOB və mənfi vuruqla) seçəcəksən;
• tapdığın kökü hər iki tənlikdə yoxlayıb (x; y) şəklində yazacaqsan.

Sütunla toplama: 3x + 5y = 2 və 4x − 5y = 26 tənliklərinin cəmi 7x = 28

Başla Yenidən Yenidən

1. Niyə toplamaq olar
2. Qayda
3. Əks əmsallar
4. Vuruq laboratoriyası
5. ƏKOB ilə
6. Əvvəl sadələşdir
7. Dəftəri yoxla
8. Xüsusi hallar
9. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Doğru bərabərlikləri toplamaq olar

Sistemi əvvəlki mövzulardan tanıyırsan: sistemin kökü elə (x; y) cütüdür ki, hər iki tənliyi doğru ədədi bərabərliyə çevirir. Yuxarıdakı sistemin kökü (4; −2)-dir.

Yerinə yazanda: 3 · 4 + 5 · (−2) = 12 − 10 = 2 və 4 · 4 − 5 · (−2) = 16 + 10 = 26. İndi bu iki doğru bərabərliyi sütunla toplayaq:

sol tərəfsağ tərəf 12 − 10=2 +16 + 10=26 28=28

Kökdə hər iki tənlik doğrudur — onların cəmi də doğrudur: 28 = 28.

İki doğru bərabərliyin sol tərəflərini bir-biri ilə, sağ tərəflərini də bir-biri ilə toplasaq, yenə doğru bərabərlik alınır. Deməli, sistemin kökü cəm tənliyini də ödəyir. İndi eyni toplamanı hərflərlə edək:

(3x + 5y) + (4x − 5y) = 2 + 267x + 0 · y = 28

5y və −5y toplananlarının cəmi sıfırdır, y yox oldu. Qalan 7x = 28 birdəyişənli xətti tənlikdir: x = 4. Bu, toplama üsulunun bütün ideyasıdır: iki dəyişənli sistemdən bir dəyişənli tənlik almaq.

2 · Qayda

Nə vaxt bir dəyişən yox olur?

Yadda saxla

Tənliklər sistemindəki tənlikləri tərəf-tərəfə toplayarkən sol tərəfdəki ifadələr bir-biri ilə, sağ tərəfdəki ifadələr də bir-biri ilə toplanır:

a₁x+ b₁y=c₁ +a₂x+ b₂y=c₂ (a₁ + a₂)x+ (b₁ + b₂)y=c₁ + c₂

Toplama üsulundan istifadə etmək üçün eyni dəyişənin əmsalları əks ədədlər olmalıdır: onda b₁ + b₂ = 0 və həmin dəyişən yox olur.

Əks ədədlər

5y + (−5y) = 0

5 və −5 əks ədədlərdir: cəmləri 0-dır, y yox olur.

Bərabər əmsallar

3y + 3y = 6y

3 və 3 əks deyil: toplasaq, y qalır. Əvvəl əmsalları əks etmək lazımdır.

Həll həmişə eyni yolla gedir:

1. Əmsalları əks ədəd olan dəyişəni tap. Yoxdursa, tənliklərdən birinin və ya hər ikisinin hər tərəfini elə ədədə vur ki, əmsallar əks olsun.
2. Tənlikləri tərəf-tərəfə topla: birdəyişənli xətti tənlik alınır, onu həll et.
3. Tapdığın qiyməti sistemin hər hansı tənliyində yerinə yaz və ikinci dəyişəni tap.
4. Yoxlanması: cütü hər iki tənlikdə yoxla və cavabı (x; y) şəklində yaz.

3 · Hesabla

Əmsallar artıq əksdir

Yox olan dəyişən həmişə y olmur. Hansı dəyişənin əmsalları əksdirsə, o yox olur.

Nümunə 1Birbaşa topla

Sistemi toplama üsulu ilə həll edin: 5x − 3y = 11−5x + 2y = −9

1. x-in əmsalları 5 və −5-dir — əks ədədlər. Heç nəyə vurmaq lazım deyil.
2. Tərəf-tərəfə toplayırıq: 5x− 3y=11 +−5x+ 2y=−9 0− y=2 Buradan y = −2.
3. y = −2 qiymətini birinci tənlikdə yerinə yazırıq: 5x − 3 · (−2) = 11, 5x + 6 = 11, 5x = 5, x = 1.
4. Yoxlanması: 5 · 1 − 3 · (−2) = 5 + 6 = 11 ✓; −5 · 1 + 2 · (−2) = −5 − 4 = −9 ✓ Cavab: (1; −2)

Bu sistemdə x sütunu narıncıdır, çünki yox olan dəyişən x-dir; qalan y mavidir. Rəng dəyişənin adına yox, roluna bağlıdır.

4 · Laboratoriya

Əmsallar bərabərdirsə, hansı vuruq?

Bu sistemdə y-in əmsalları 2 və 2-dir — bərabərdir, əks deyil. İkinci tənliyin hər tərəfini bir ədədə vuraq və birinci tənliklə toplayaq. Vuruğu seç və cəmə bax.

5x + 2y = 93x + 2y = 3

İkinci tənliyi neçəyə vuraq?

·1 ·(−1) ·2 ·(−2)

İkinci tənlik dəyişmir: 3x + 2y = 33x + 2y = 3 |·(−1) → −3x − 2y = −33x + 2y = 3 |·2 → 6x + 4y = 63x + 2y = 3 |·(−2) → −6x − 4y = −6

xy 5x+ 2y=9 +3x+ 2y=3 +−3x− 2y=−3 +6x+ 4y=6 +−6x− 4y=−6 8x+ 4y=12 2x0=6 11x+ 6y=15 −x− 2y=3

·1: 2y + 2y = 4y. Bərabər əmsalları toplayanda dəyişən ikiqat artır, yox olmur: 8x + 4y = 12-də yenə iki dəyişən var.

·(−1): 2y + (−2y) = 0 — y yox oldu! 2x = 6, x = 3. Birinci tənlikdən: 15 + 2y = 9, y = −3. Yoxlanması: 15 − 6 = 9 ✓, 9 − 6 = 3 ✓. Kök (3; −3).

·2: 2y + 4y = 6y. Vuruq müsbətdirsə, əmsallar eyni işarəli qalır və cəm böyüyür — y yenə qalır.

·(−2): İşarə düzdür, amma 2y + (−4y) = −2y. Əks ədədlərin modulları bərabər olmalıdır: 2 ilə −4 əks deyil.

Narıncı sütun yox etmək istədiyimiz y-dir. Cəm sətrində y-in yerində 0 görünəndə vuruq düzgün seçilib.

Nəticə: əmsallar bərabərdirsə, tənliklərdən birini −1-ə vurub toplayırıq. Bu, bir tənliyi digərindən çıxmaqla eyni nəticəni verir, amma dərslikdə olduğu kimi biz həmişə toplayırıq — mənfi vuruq işarələri özü düzəldir.

5 · ƏKOB ilə

Hər iki tənliyi vurmaq

Bəzən heç bir əmsal digərinə bölünmür. Onda əmsalların ən kiçik ortaq bölünəni (ƏKOB) hədəf olur: bir tənlikdə +ƏKOB, digərində −ƏKOB alınmalıdır.

Nümunə 2İki vuruq

Sistemi toplama üsulu ilə həll edin: 5x + 4y = −23x + 5y = −9

1. x-in əmsalları 5 və 3-dür. ƏKOB(5; 3) = 15, ona görə əmsalları 15 və −15 edək: birinci tənliyi |·3, ikincini |·(−5).
2. Hər tərəfi vururuq: 15x + 12y = −6 və −15x − 25y = 45. Sağ tərəfləri də vurmağı unutma!
3. Toplayırıq: −13y = 39, deməli y = −3.
4. Birinci tənlikdə yerinə yazırıq: 5x + 4 · (−3) = −2, 5x = 10, x = 2.
5. Yoxlanması: 10 − 12 = −2 ✓; 6 − 15 = −9 ✓ Cavab: (2; −3)

Vuruqlardan sonra sütunla toplama: x yox olur, −13y = 39

Başla Yenidən Yenidən

Vuruqlar tənliyin sağında, şaquli xəttdən sonra yazılır. 15x və −15x əks olduğu üçün x sütununda 0 qalır.

Dərslikdə bu həll eynigüclü sistemlərin ⇔ zənciri kimi yazılır: cəm tənliyi sistemin tənliklərindən birinin yerini tutur.

5x + 4y = −2|·33x + 5y = −9|·(−5) ⇔ 15x + 12y = −6−15x − 25y = 45 ⇔ −13y = 395x + 4y = −2 ⇔ y = −3x = 2

Başqa yol: y-i yox et. y-in əmsalları 4 və 5-dir, ƏKOB(4; 5) = 20. Birinci tənliyi |·5, ikincini |·(−4):

25x + 20y = −10−12x − 20y = 36toplayırıq: 13x = 26, x = 2

Kök yenə (2; −3)-dür. Hansı dəyişəni yox etmək sənin seçimindir — kiçik vuruqlar verən yolu seç.

6 · Əvvəl sadələşdir

Mötərizəli sistem

Sütunla toplamaq üçün hər tənlik ax + by = c şəklində olmalıdır: x-li hədd, y-li hədd, sağda ədəd. Mötərizələri aç, oxşar hədləri birləşdir; kəsr varsa, tənliyin hər tərəfini məxrəclərin ƏKOB-una vur.

Nümunə 3Sadələşdir və topla

Sistemi sadələşdirin və toplama üsulu ilə həll edin: 2(x − y) + y = 93(x + y) − 2x = 1

1. Birinci tənlik: 2x − 2y + y = 9, yəni 2x − y = 9.
2. İkinci tənlik: 3x + 3y − 2x = 1, yəni x + 3y = 1.
3. y-in əmsalları −1 və 3-dür. Birinci tənliyi |·3: 6x − 3y = 27. İndi −3y və 3y əksdir.
4. Toplayırıq: 7x = 28, x = 4. Sonra 4 + 3y = 1, 3y = −3, y = −1.
5. Yoxlanması verilmiş sistemdə: 2 · (4 + 1) − 1 = 9 ✓; 3 · (4 − 1) − 8 = 1 ✓ Cavab: (4; −1)

7 · Diqqət

Dəftəri yoxla

Hər dəftər parçasında bir sətir səhvdir. Əvvəl özün tap, sonra müəllimin qeydini aç.

Dəftər 1

1. 3x + 2y = 7 |·2
2. 6x + 4y = 7

Müəllimin qeydi

Yalnız sol tərəf vurulub.

Tənliyin hər tərəfi vurulur: 6x + 4y = 14.

Dəftər 2

1. x − 4y = 6 |·(−3)
2. −3x − 12y = −18

Müəllimin qeydi

y-li həddin işarəsi səhvdir.

(−3) · (−4y) = +12y: −3x + 12y = −18.

Dəftər 3

1. x + 2y = 5
2. 3x − 2y = 7
3. 4x = −2

Müəllimin qeydi

Sağ tərəflər çıxılıb: 5 − 7.

Sağ tərəflər də toplanır: 4x = 12, x = 3, y = 1.

Cavabda da diqqət: cütdə birinci x, sonra y yazılır — x = 3, y = 1 tapılıbsa, cavab (3; 1)-dir, (1; 3) yox. Cütü yalnız bir tənlikdə yoxlamaq azdır: kök hər iki tənliyi ödəməlidir.

8 · Xüsusi hallar

Hər iki dəyişən yox olsa?

Dərslikdəki nümunələrin hamısının bir kökü var. Amma bəzən toplayanda x də, y də yox olur. Bu, 8.1-dən tanış qaydanın göstəricisidir: tənliklərin uyğun əmsallarının nisbəti eynidir.

0 = 0 → sonsuz sayda kök

x − 2y = 3|·2−2x + 4y = −6

2x − 4y + (−2x + 4y) = 6 − 6, 0 = 0

Bərabərlik hər (x; y) üçün doğrudur: tənliklər eynigüclüdür. Nisbətlər: 1−2 / = −24 / = 3−6 / .

0 = 7 → kök yoxdur

x − 2y = 3|·2−2x + 4y = 1

0 = 6 + 1, 0 = 7

Heç bir (x; y) üçün doğru deyil. Nisbətlər: 1−2 / = −24 / ≠ 31 / .

Deməli, toplayanda 0 = 0 alınırsa, sistemin sonsuz sayda kökü var; 0 = c (c ≠ 0) alınırsa, sistemin kökü yoxdur.

9 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan 2x + 5y = 9 və 3x − 5y = 1 tənliklərini tərəf-tərəfə toplasaq, hansı tənlik alınır? Cavab variantları 5x + 10y = 10 5x = 10 5x = 8 Düzdür! 5y və −5y əksdir, y yox olur. Yox. y-li hədlərin işarəsinə bax və sağ tərəfləri toplamağı unutma. Həllə bax Sol tərəflər: 2x + 3x = 5x, 5y + (−5y) = 0. Sağ tərəflər: 9 + 1 = 10. Alınır: 5x = 10.
2. Asan x + 3y = 4 və 5x − 2y = 3 sistemində x-i yox etmək istəyirik. İkinci tənlik dəyişmir. Birinci tənliyin hər tərəfini neçəyə vurmaq lazımdır? Cavab variantları 5 −1 −5 Düzdür! −5x və 5x əks ədədlərdir. Yox. x-in əmsalları 5 və −5 olmalıdır: həm modul, həm işarə vacibdir. Həllə bax (−5) · x = −5x, ikinci tənlikdə 5x var: −5x + 5x = 0. 5-ə vursaq, 5x + 5x = 10x olar; −1-ə vursaq, −x + 5x = 4x qalar.
3. Orta Sistemi toplama üsulu ilə həll edin: 3x − y = 7 və x + y = 9. Cavab variantları (5; 4) (4; 5) (4; −5) Əla! 4x = 16, x = 4, y = 5. Yox. Cütdə əvvəl x yazılır; y-i taparkən işarəyə diqqət et. Həllə bax −y və y əksdir: toplayanda 4x = 16, x = 4. İkinci tənlikdən 4 + y = 9, y = 5. Yoxlanması: 12 − 5 = 7 ✓, 4 + 5 = 9 ✓. Cavab: (4; 5).
4. Orta Şagird 2x + 3y = 8 tənliyini −2-yə vurub −4x − 6y = 8 yazdı. Səhv haradadır? Cavab variantları sağ tərəf −16 olmalıdır +6y olmalıdır səhv yoxdur Düzdür! Hər tərəf vurulur: 8 · (−2) = −16. Yox. Sol tərəf düzgün vurulub; sağ tərəfə bax. Həllə bax (−2) · 2x = −4x, (−2) · 3y = −6y — bunlar düzdür. Amma sağ tərəf də vurulmalıdır: (−2) · 8 = −16. Düzgün: −4x − 6y = −16.
5. Çətin Sistemi toplama üsulu ilə həll edin: 3x + 2y = 1 və 5x + 3y = 3. Cavab variantları (−3; 5) (−4; 3) (3; −4) Əla! Hər iki tənlik ödənir. Yox. −x = −3 olanda x = 3-dür; cütü hər iki tənlikdə yoxla. Həllə bax y-i yox edək: ƏKOB(2; 3) = 6. Birinci |·3: 9x + 6y = 3; ikinci |·(−2): −10x − 6y = −6. Toplayırıq: −x = −3, x = 3. Birinci tənlikdən 9 + 2y = 1, y = −4. Yoxlanması: 9 − 8 = 1 ✓, 15 − 12 = 3 ✓. Cavab: (3; −4).

Xülasə

Yadda qalanlar

• sol + sol = sağ + sağTənliklər tərəf-tərəfə toplanır; əmsalları əks olan dəyişən yox olur.
• |·k, ƏKOB, mənfi vuruqƏmsallar əks deyilsə, tənliyin hər tərəfini elə ədədə vur ki, +ƏKOB və −ƏKOB alınsın.
• Yoxlanması → (x; y)Tapılan qiyməti yerinə yaz, cütü hər iki tənlikdə yoxla; 0 = 0 sonsuz kök, 0 = c kök yoxdur.

Növbəti mövzu: 2.44 İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi qurmaqla məsələ həlli

Mənbə: «Riyaziyyat» — 7-ci sinif üçün dərslik, «8.4. İkidəyişənli xətti tənliklər sisteminin toplama üsulu ilə həlli», səh. 177–179 (qayda, «Yadda saxlayın», ƏKOB ilə vuruq seçimi, ⇔ yazılışı) və «8.1», səh. 168 (əmsalların nisbəti və köklərin sayı). Özünü yoxla sual tipləri üçün model: DİM «Test toplusu 2023. I hissə», «Xətti tənliklər sistemi», səh. 111–112. Bütün sistemlər və ədədlər bu dərs üçün seçilib.