İkidəyişənli xətti tənlik: düz qırx qəpik və bir düz xətt

Mətn (transkript)

Təsəvvür et: şənbə səhəridir, küçə hələ sakitdir, quşlar oxuyur. Səni çörək almağa göndəriblər. Çörək qırx qəpikdir. Cibində kağız pul yoxdur, yalnız kiçik bir sikkə kisəsi var. Çörəkxananın qapısını açırsan. İçəridə isti çörək iyi gəlir, növbədə bir neçə nəfər dayanıb. Növbən çatanda satıcı gülümsəyib deyir: «Bağışla, xırda pulum qurtarıb. Mənə düz qırx qəpik ver, nə artıq, nə əskik.» Kisəni piştaxtanın üstünə boşaldırsan. İçində yalnız iki cür sikkə var: üç qəpiklik və beş qəpiklik. Qısaca deyək: üçlüklər və beşliklər. Hər birindən çoxlu var. Əvvəlcə yalnız beşliklərlə sayırsan: səkkiz dənə beşlik düz qırx qəpik edir. Bir yol tapıldı. Sonra maraq üçün yalnız üçlüklərlə yoxlayırsan. Amma burada iş alınmır. On üç dənə üçlük qoyanda bir qəpik çatmır. Bir üçlük də əlavə edəndə iki qəpik artıq olur. Deməli, yalnız üçlüklərlə ödəmək mümkün deyil. Bəs qarışıq ödəsən? Bir neçə üçlük, bir neçə beşlik? Bu anda ağlına iki sual gəlir. Birincisi: qırx qəpiki bu iki cür sikkə ilə neçə yolla ödəmək olar? İkincisi daha qəribədir. Bütün düzgün yolları kağızda nöqtə kimi qeyd etsən, onlar təsadüfi səpələnməyəcək. Hamısı bir düz xəttin üstünə düzüləcək. Niyə belədir? Dərsin sonunda hər iki suala cavab verəcəyik. Salam! Bu dinləmə dərsində ikidəyişənli xətti tənlik və onun qrafiki ilə tanış olacağıq. Əvvəlcə çörəkxanadakı vəziyyəti tənlik dilinə çevirəcəyik. Sonra görəcəyik ki, belə tənliyin kökü bir ədəd yox, ədədlər cütüdür, və köklərin sayı sonsuzdur. Ardınca bu köklərin koordinat müstəvisində necə düz xətt yaratdığını eşidəcəksən. Sonda xəttin oxlarla görüşdüyü nöqtələrə və xüsusi hallara baxacağıq. Gəl, əvvəlcə çörəkxanadakı məsələni riyaziyyat dilinə çevirək. Bilmədiyimiz iki say var: neçə üçlük verəcəyik və neçə beşlik verəcəyik. Üçlüklərin sayına iks deyək, beşliklərin sayına igrek. Üçlüklər bizə iksin üç misli qədər qəpik gətirir, beşliklər isə igrekin beş misli qədər. Bu iki məbləğin cəmi düz qırx olmalıdır. Beləliklə, tənliyimiz sözlə belə səslənir: üç iks üstəgəl beş igrek bərabərdir qırx. Burada bir yox, iki dəyişən var. Hər ikisi birinci dərəcədədir: nə iks kvadrata yüksəlib, nə də iks ilə igrek bir-birinə vurulub. Belə tənliyə ikidəyişənli xətti tənlik deyilir. Bu cür tənliyin ümumi qəlibi belədir: bir ədəd vur iks, üstəgəl başqa bir ədəd vur igrek, bərabərdir üçüncü bir ədəd. Dəyişənlərin qarşısındakı ədədlərə dəyişənlərin əmsalları deyilir. Sağ tərəfdəki ədədə isə sərbəst əmsal deyilir. Bizim tənlikdə iksin əmsalı üçdür, igrekin əmsalı beşdir, sərbəst əmsal isə qırxdır. İki tələyə diqqət et. Birincisi: işarə əmsalın bir hissəsidir. Məsələn, dörd iks çıx iki igrek bərabərdir altı tənliyində igrekin əmsalı mənfi iki olur, müsbət iki yox. İkincisi: tənlikdə iks ilə igrekin hasili və ya iksin kvadratı varsa, o tənlik artıq xətti deyil. Xətti tənlikdə hər dəyişən ayrıca və birinci dərəcədə durur. İndi tənliyin kökünə baxaq. Bir dəyişənli tənliyin kökü bir ədəd idi. Burada isə bir ədəd bəs etmir: həm iks, həm də igrek üçün qiymət lazımdır. Dəyişənlərin tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətlər cütünə tənliyin kökü deyilir. Çörəkxanaya qayıdaq. Tutaq ki, on dənə üçlük və iki dənə beşlik verirsən. On dənə üçlük otuz qəpik edir, iki dənə beşlik on qəpik, cəmi qırx. Bərabərlik doğrudur. Deməli, on və iki cütü tənliyin köküdür. Cütü deyəndə həmişə əvvəl iksi, sonra igreki deyirik: iks ondur, igrek ikidir. Ən çox rast gəlinən səhv cütün yerlərini dəyişməkdir. İki və on cütünü yoxlayaq. Bu, iki dənə üçlük və on dənə beşlik deməkdir. İki dənə üçlük altı qəpik, on dənə beşlik əlli qəpik edir, cəmi əlli altı. Qırx alınmadı! Eyni iki ədəd, amma başqa sıra, və artıq kök deyil. Cütdə sıra vacibdir. Bəs tənliyin neçə kökü var? Gəl, belə bir üsul düşünək. İks üçün istədiyimiz ədədi seçək və igreki tapaq. Bunun üçün qırxdan üç iksi çıxırıq, qalanı beşə bölürük. Bu, igreki iks ilə ifadə etmək deməkdir. Alınan bərabərlik ilkin tənliklə eynigüclüdür, yəni eyni kökləri verir. Sınayaq. İks beş olsun. Qırxdan on beşi çıxırıq, iyirmi beş qalır. Beşə bölürük, igrek beş alınır. Beş dənə üçlük və beş dənə beşlik: on beş üstəgəl iyirmi beş, düz qırx. İkinci yol tapıldı! Amma riyaziyyat çörəkxanadan genişdir. İks üçün mənfi beş götürək. Qırxdan mənfi on beşi çıxmaq, qırxa on beş əlavə etmək deməkdir: əlli beş alınır. Beşə bölürük, igrek on bir. Mənfi beş və on bir cütü də tənliyin köküdür. Əlbəttə, mənfi sayda sikkə olmur, amma tənlik buna baxmır. İks üçün istənilən ədəd, hətta kəsr də seçmək olar, və hər dəfə yeni kök alınır. Ona görə ikidəyişənli xətti tənliyin sonsuz sayda kökü var. Sikkə hekayəsi onlardan yalnız mənfi olmayan tam ədədlərdən ibarət cütləri götürür. İndi söz verdiyim sirrə gələk: köklər niyə bir düz xəttə düzülür? Təsəvvüründə koordinat müstəvisi çək. Üfüqi ox, yəni absis oxu, üçlüklərin sayıdır. Şaquli ox, yəni ordinat oxu, beşliklərin sayıdır. Hər kök bir nöqtədir: cütün birinci ədədi qədər sağa, ikinci ədədi qədər yuxarı gedirik. Tapdığımız sikkə yollarını qeyd edək. Səkkiz dənə beşlik, heç bir üçlük olmadan: bu nöqtə ordinat oxunun üstündədir, səkkiz hündürlüyündə. Beş dənə üçlük və beş dənə beşlik: ikinci nöqtə. On dənə üçlük və iki dənə beşlik: üçüncü nöqtə. İndi birindən digərinə keçəndə nə baş verdiyinə qulaq as. Hər dəfə üçlüklərin sayı beş artır, beşliklərin sayı isə üç azalır. Səbəbi sadə bir dəyişmədir. Beş dənə üçlük on beş qəpik edir, üç dənə beşlik də on beş qəpik. Beş üçlük əlavə edib üç beşlik götürəndə cəm dəyişmir. Hər kökdən növbətisinə eyni addımla keçirik. Eyni addımlarla düzülən nöqtələr isə bir düz xəttin üstündə olur. Mənfi beş və on bir nöqtəsi də, kəsrli köklər də elə həmin xəttin üstündədir. Riyaziyyatda bunu belə deyirik. Koordinatları tənliyin kökü olan bütün nöqtələr bir düz xətt əmələ gətirir. Bu düz xəttə tənliyin qrafiki deyilir. Düz xətti isə iki nöqtə tamamilə müəyyən edir. Ona görə qrafiki qurmaq üçün iki kök tapmaq kifayətdir, üçüncüsü isə yoxlama üçün yaxşıdır. Bu xətt sənə tanış gələ bilər. Əgər igrekin əmsalı sıfır deyilsə, tənlikdən igreki iks ilə ifadə edəndə əvvəlki dərsdən tanış olan xətti funksiya alınır. Sərbəst əmsalı igrekin əmsalına bölsək, səkkiz alınır: qırx qəpikdə düz səkkiz beşlik var. Xətt ordinat oxunu səkkizdə kəsir. Bucaq əmsalını tapmaq üçün iksin əmsalını igrekin əmsalına bölürük və işarəni dəyişirik. Üçü beşə bölürük, işarəni dəyişirik: bucaq əmsalı mənfi beşdə üçdür. Bucaq əmsalı mənfi olduğu üçün xətt absis oxunun müsbət istiqaməti ilə kor bucaq əmələ gətirir. İndi son addım: xəttin oxlarla görüşdüyü yerlər. Ordinat oxunun üstündə iks sıfırdır. Tənliyə iksin yerinə sıfır qoysaq, beş igrek qırx olur, igrek səkkiz. Deməli, xətt ordinat oxunu sıfır və səkkiz nöqtəsində kəsir. Bu, yalnız beşliklərlə ödəmədir. Diqqət: bu nöqtədə sıfır birinci yerdə, səkkiz ikinci yerdədir. Yerlərini dəyişsən, nöqtə o biri oxa düşər. Absis oxunda isə igrek sıfırdır. Bu halda üç iks qırx olmalıdır. İks qırxın üçdə biridir, yəni on üç ilə on dörd arasında bir ədəd. Xətt absis oxunu məhz orada kəsir. Amma on üç tam üçdə bir sikkə vermək olmaz. Əvvəldə gördüyümüz də elə bu idi: yalnız üçlüklərlə ödəmək mümkün deyil. Xətt oxu kəsir, amma o nöqtə sikkə cavabı deyil. İndi bir oyun düşünək. Tutaq ki, üçlüklər birdən oyuncaq sikkəyə çevrilir və heç nəyə dəymir. Bu halda iksin əmsalı sıfır olur və tənlikdə yalnız beş igrek bərabərdir qırx qalır. Neçə oyuncaq sikkə qoymağından asılı olmayaraq, yenə səkkiz dənə beşlik lazımdır. Qrafikdə bu, igrekin həmişə səkkiz olduğu düz xətdir. O, ordinat oxunu səkkizdə kəsir və absis oxuna paraleldir. Tərsinə, igrekin əmsalı sıfır olsa, igrek tənlikdən çıxır və iks bir qiymətdə dayanır. Belə xətt absis oxunu həmin nöqtədə kəsir və ordinat oxuna paraleldir. Hər iki əmsal eyni vaxtda sıfır ola bilməz, çünki belə olsa, tənlikdə dəyişən qalmazdı. Ona görə əmsallardan heç olmasa biri sıfırdan fərqli olmalıdır. Bir xüsusi hal da var: sərbəst əmsal sıfır olanda. Belə tənliyi sıfır və sıfır cütü həmişə ödəyir. Deməli, onun qrafiki koordinat başlanğıcından keçir. Bu, artıq tanış olduğumuz düz mütənasib asılılığın qrafikidir. İndi yenidən çörəkxanaya, piştaxtanın qabağına qayıdaq. Birinci sualın cavabı: qırx qəpiki bu iki cür sikkə ilə üç yolla ödəmək olar. Səkkiz dənə beşlik. Beş dənə üçlük və beş dənə beşlik. On dənə üçlük və iki dənə beşlik. Yalnız üçlüklərlə isə olmur. İkinci sualın cavabı: bu üç yolun bir xətt üzərində olması təsadüf deyil. Beş üçlük üç beşliyə bərabər dəyərdədir, ona görə hər yol növbətisinə eyni addımla keçir. Üç nöqtənin üçü də tənliyimizin qrafikinin üstündədir. Xətt isə daha uzundur: onun üstündə sonsuz sayda kök var, sikkə hekayəsi onlardan yalnız üçünü seçir. Beş dənə üçlüyü və beş dənə beşliyi piştaxtaya düzürsən. Satıcı sayır, razılıqla başını tərpədir və isti çörəyi sənə uzadır. Bu dərsdən bir fikri yadda saxla. İkidəyişənli xətti tənliyin bir cavabı yox, bütöv bir xətt dolusu cavabı var. Hər kök bir ədədlər cütüdür, və bu cütlər koordinat müstəvisində düz xətt çəkir. Bir dəyişəni digəri ilə ifadə etməyi və qrafiki iki nöqtə ilə qurmağı addım-addım görmək üçün oxu dərsinə keç. Orada tapdığın hər cütü tənliyə qoyub yoxlamağı unutma. Növbəti dərsdə iki belə tənliyi birlikdə öyrənəcəyik. Dinlədiyin üçün sağ ol!