İkidəyişənli xətti tənlik və onun qrafiki

• 2.39
• 7-ci sinif
• Funksiya

İkidəyişənli xətti tənlik və onun qrafiki

x + 2y = 4 bərabərliyini doğru edən iki ədəd tap. 0 və 2 yarayır, 2 və 1 də. Bəs neçə belə cüt var? Sonsuz sayda — və koordinat müstəvisində hamısı bir düz xəttin üzərinə düşür.

Bu dərsdə

• ədədlər cütünün ikidəyişənli xətti tənliyin kökü olub-olmadığını yoxlayacaq, bir dəyişəni digəri ilə ifadə edəcəksən;
• tənliyin qrafikinin niyə düz xətt olduğunu izah edib onu iki nöqtə ilə quracaqsan;
• a = 0, b = 0 və c = 0 hallarında qrafikin necə yerləşdiyini tanıyacaqsan.

x + 2y = 4 tənliyinin kökləri bir düz xətt üzərindədir

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Qayda
3. İfadə et
4. Qrafik
5. Xüsusi hallar
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

x-i seç, y-i tap

Bir naməlumlu tənliyin, məsələn 3 + 2y = 4-ün, bir kökü var. x + 2y = 4-də isə iki naməlum var: x-ə istədiyin qiyməti ver — tənlik y-i özü «deyəcək».

x neçə olsun?

−2 −1 0 1 3 5

x + 2y = 4: seçilmiş x üçün kök nöqtəsi

x = −2: −2 + 2y = 4, 2y = 6, y = 3. Kök: (−2; 3).

x = −1: −1 + 2y = 4, 2y = 5, y = 2,5. Kök: (−1; 2,5).

x = 0: 0 + 2y = 4, y = 2. Kök: (0; 2) — nöqtə OY oxunun üzərindədir.

x = 1: 1 + 2y = 4, 2y = 3, y = 1,5. Kök: (1; 1,5).

x = 3: 3 + 2y = 4, 2y = 1, y = 0,5. Kök: (3; 0,5).

x = 5: 5 + 2y = 4, 2y = −1, y = −0,5. Kök: (5; −0,5).

Mavi xətt seçilmiş x-i, narıncı xətt alınan y-i göstərir. Hər seçimdə yaşıl nöqtə eyni qırıq xəttin üzərinə düşür.

Hər x üçün bir y tapılır və x-in sonsuz sayda qiyməti var. Deməli, tənliyi doğru edən cütlər də sonsuz saydadır. Kəsr qiymətlər də yaradığı üçün nöqtələr xəttin üzərində «boşluq» qoymur.

2 · Qayda

Tənlik, əmsallar və kök

Yadda saxla

ax + by = c şəklində verilmiş tənliyə ikidəyişənli xətti tənlik deyilir. a və b — dəyişənlərin əmsalları, c — sərbəst əmsal, x və y — dəyişənlərdir. Belə tənliyin dərəcəsi 1-dir.

ax + by = c

Tənliyi doğru bərabərliyə çevirən qiymətlər cütü onun köküdür. Kök (x; y) şəklində yazılır: birinci ədəd x-in, ikinci ədəd y-in qiymətidir. İkidəyişənli xətti tənliyin sonsuz sayda kökü var.

İşarə əmsala aiddir

6 = 5x − 4y

Tərəfləri yerini dəyişək: 5x − 4y = 6. Burada a = 5, b = −4, c = 6.

Xətti deyil

xy − y = 3, x2 + y = 1

Dəyişənlər bir-birinə vurulur və ya kvadrata yüksəlir — dərəcə 2 olur.

Nümunə 1Kökdürmü?

(3; −2), (−2; 3) və (2; −1) cütlərindən hansı 4x + 5y = 2 tənliyinin köküdür?

1. (3; −2): x = 3, y = −2 yazırıq: 4 · 3 + 5 · (−2) = 12 − 10 = 2. Doğru bərabərlik — kökdür.
2. (−2; 3): eyni ədədlərdir, amma yerləri dəyişib: 4 · (−2) + 5 · 3 = −8 + 15 = 7, 7 ≠ 2 — kök deyil. Cütdə sıra vacibdir.
3. (2; −1): 4 · 2 + 5 · (−1) = 8 − 5 = 3, 3 ≠ 2 — kök deyil. Kök: (3; −2)

3 · İfadə et

Bir dəyişəni digəri ilə ifadə et

İkidəyişənli xətti tənlikdə bir dəyişəni digəri ilə ifadə etmək olar — birdəyişənli tənlik kimi: həddi o biri tərəfə keçiririk, sonra hər tərəfi əmsala bölürük. Alınan bərabərlik ilkin tənliklə eynigüclüdür: kökləri eynidir.

Nümunə 2y-i, sonra x-i ifadə et

5x − 4y = 6 tənliyində y-i x ilə, x-i y ilə ifadə edin və bir kök tapın.

1. Hər tərəfdən 5x-i çıxırıq: −4y = 6 − 5x.
2. Hər tərəfi −4-ə bölürük — hər iki hədd bölünür və işarələr dəyişir: y = (6 − 5x) : (−4) = 1,25x − 1,5
3. x-i ifadə etmək üçün hər tərəfə 4y əlavə edib 5-ə bölürük: 5x = 6 + 4y, x = (6 + 4y) : 5 = 1,2 + 0,8y
4. Kök tapaq: x = 2 olsun, y = 1,25 · 2 − 1,5 = 1. Yoxlama: 5 · 2 − 4 · 1 = 6. y = 1,25x − 1,5; x = 1,2 + 0,8y; kök (2; 1)

Nümunə 3Kökə görə əmsalı tap

(3; −1) cütü ax − 4y = 10 tənliyinin köküdür. a-nı tapın. Sonra x = 5 olduqda y-i hesablayın.

1. Kök tənliyi doğru edir, ona görə x = 3, y = −1 yazırıq: a · 3 − 4 · (−1) = 10.
2. Birdəyişənli tənlik alındı: 3a + 4 = 10, 3a = 6, a = 2. Tənlik: 2x − 4y = 10.
3. x = 5: 10 − 4y = 10, −4y = 0, y = 0. a = 2; y = 0, kök (5; 0)

4 · Qrafik

Niyə düz xətt alınır?

Tənliyin qrafiki

Koordinat müstəvisində koordinatları ax + by = c tənliyinin kökü olan nöqtələr çoxluğunun əmələ gətirdiyi düz xəttə bu tənliyin qrafiki deyilir.

b ≠ 0 olduqda y-i x ilə ifadə edək:

y = −ab / x + cb /

Bu, y = kx + l xətti funksiyasıdır: k = −a : b, l = c : b. Onun qrafikini artıq tanıyırsan — düz xətt. Düz xətti iki nöqtə tam müəyyən edir.

Nümunə 4İki nöqtə ilə qur

3x − 2y = 6 tənliyinin qrafikini qurun.

1. OY oxunda x = 0: −2y = 6, y = −3. Nöqtə (0; −3).
2. OX oxunda y = 0: 3x = 6, x = 2. Nöqtə (2; 0).
3. İki nöqtədən düz xətt keçiririk. Yoxlama üçün üçüncü nöqtə: (4; 3), 3 · 4 − 2 · 3 = 6 — xəttin üzərindədir.
4. k = −3 : (−2) = 1,5, l = 6 : (−2) = −3. y = 1,5x − 3

3x − 2y = 6 tənliyinin qrafiki iki nöqtə ilə qurulur

Başla Yenidən Yenidən

Oxlarla kəsişmə nöqtələri ən rahat iki nöqtədir: birində x = 0, o birində y = 0. Ağ dairəli (4; 3) nöqtəsi yoxlamadır.

5 · Xüsusi hallar

Əmsallardan biri sıfır olanda

Tənlikdə a və b-dən heç olmazsa biri sıfırdan fərqli olmalıdır. Biri sıfır olanda tənlikdə bir dəyişən «görünmür» — amma o, hələ də ikidəyişənli tənlikdir: görünməyən dəyişən istənilən qiyməti ala bilər.

Halı seç

a = 0: 2y = 6 b = 0: 3x = −6 c = 0: 2x − 3y = 0

Xüsusi hallar: 2y = 6, 3x = −6 və 2x − 3y = 0

a = 0 (bütöv xətt): 0 · x + 2y = 6, yəni y = 6 : 2 = 3, x isə istənilən ədəddir: (−4; 3), (0; 3), (5; 3)… Qrafik OY oxunu (0; 3) nöqtəsində kəsən və OX oxuna paralel düz xətdir. Ümumi halda y = c : b, nöqtə (0; c : b).

b = 0 (qırıq xətt): 3x + 0 · y = −6, yəni x = −6 : 3 = −2, y isə istənilən ədəddir. Qrafik OX oxunu (−2; 0) nöqtəsində kəsən və OY oxuna paralel düz xətdir. Ümumi halda x = c : a, nöqtə (c : a; 0).

c = 0 (nöqtəli xətt): 2x − 3y = 0-dan 3y = 2x, y = 23 / x. Ümumi halda y = −ab / x — düz mütənasiblik: qrafik koordinat başlanğıcı (0; 0)-dan keçir, (3; 2) də onun üzərindədir.

Üç xətt həmişə görünür: bütöv — y = 3, qırıq — x = −2, nöqtəli — 2x − 3y = 0. Seçilən hal qalın yaşıl xətlə və əsas nöqtələri ilə göstərilir.

6 · Diqqət

Üç tipik səhv

5x − 4y = 6-da

y = −1,25x + 1,5

−4-ə yox, 4-ə bölünüb: əmsalın mənfi işarəsi unudulub.

Düzgün

y = 1,25x − 1,5

(6 − 5x) : (−4) — hər iki hədd −4-ə bölünür. Yoxla: x = 2 → y = 1, 10 − 4 = 6.

Cütü tərsinə oxumaq

(1; 4): x = 4, y = 1

Cütdə birinci ədəd həmişə x-dir.

Düzgün

(1; 4): x = 1, y = 4

Nümunə 1-də (3; −2) kök idi, (−2; 3) isə yox.

Oxu qarışdırmaq

y = 3 — OY oxuna paralel

«y yazılıb, deməli OY» — yanlış fikir.

Düzgün

y = 3 — OX oxuna paralel

Bütün nöqtələrin hündürlüyü eynidir (3), x dəyişir — xətt üfüqidir.

7 · Həyatda

17 metr kəndiri necə kəsək?

17 m uzunluğunda kəndiri 2 m-lik və 3 m-lik hissələrə elə kəsmək lazımdır ki, artıq parça qalmasın və hər növdən ən azı bir hissə olsun. 2 m-lik hissələrin sayı x, 3 m-lik hissələrin sayı y olsun.

2x + 3y = 17 xəttinin natural koordinatlı nöqtələri

Xəttin üzərində sonsuz sayda nöqtə var, amma koordinatları natural ədəd olan yalnız üç nöqtə.

2x + 3y = 17

Hissələrin sayı natural ədəddir. y-ə 1, 2, 3, … qiymətləri verib x = (17 − 3y) : 2 hesablayaq: x natural olmalıdır, ona görə 17 − 3y cüt ədəd olmalıdır — y tək olmalıdır.

Natural köklər

y = 7 olanda 3 · 7 = 21 > 17 olur. Deməli, üç cavab var: (7; 1), (4; 3), (1; 5).

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan Hansı cüt 5x + y = 8 tənliyinin köküdür? Cavab variantları (3; 1) (1; 3) (2; 1) Düzdür! 5 · 1 + 3 = 8. Yox. Birinci ədədi x-in, ikincini y-in yerinə yaz və hesabla. Həllə bax (1; 3): 5 · 1 + 3 = 8 — doğru. (3; 1): 15 + 1 = 16; (2; 1): 10 + 1 = 11 — 8 alınmır.
2. Asan −x + 6y = 5 tənliyində a əmsalı neçədir? Cavab variantları 1 −1 6 Düzdür! −x = −1 · x. Yox. a — x-in əmsalıdır, işarəsi ilə birlikdə. Həllə bax −x = (−1) · x, ona görə a = −1; b = 6, c = 5.
3. Orta 8x + 4y = 12 tənliyində y-i x ilə ifadə et. Cavab variantları y = 12 − 8x y = 3 + 2x y = 3 − 2x Əla! 4y = 12 − 8x, sonra 4-ə bölürük. Yox. 8x-i keçirəndə işarəsi dəyişir, sonra hər iki hədd 4-ə bölünür. Həllə bax 4y = 12 − 8x; (12 − 8x) : 4 = 3 − 2x. Yoxlama: x = 1 → y = 1, 8 + 4 = 12.
4. Orta 5x − 2y = 10 tənliyinin qrafiki OX oxunu hansı nöqtədə kəsir? Cavab variantları (0; 2) (2; 0) (0; −5) Düzdür! OX oxunda y = 0, 5x = 10. Yox. OX oxunun nöqtələrində y = 0-dır, nöqtə (x; 0) şəklindədir. Həllə bax y = 0: 5x = 10, x = 2 → (2; 0). (0; −5) isə OY oxu ilə kəsişmədir.
5. Çətin (−2; 1) cütü 3x + by = −2 tənliyinin köküdür. b-ni tap. Cavab variantları 4 −8 2,5 Əla! −6 + b = −2. Yox. x = −2, y = 1 yaz; −6-nı keçirəndə işarəsi dəyişir. Həllə bax 3 · (−2) + b · 1 = −2, −6 + b = −2, b = 4. −8 işarə səhvidir, 2,5 isə cütün yerləri dəyişəndə alınır.
6. Çətin Hansı tənliyin qrafiki koordinat başlanğıcından keçir? Cavab variantları 2x − 5y = 1 2x = 5 2x − 5y = 0 Düzdür! c = 0: (0; 0) tənliyi ödəyir. Yox. (0; 0)-ı yerinə yaz: sol tərəf 0 olur, sağ tərəf də 0 olmalıdır. Həllə bax x = 0, y = 0 olduqda sol tərəf 0 olur. Yalnız c = 0 olan 2x − 5y = 0 doğru bərabərlik verir. 2x = 5 — OY oxuna paralel xətt (x = 2,5), başlanğıcdan keçmir.

Xülasə

Yadda qalanlar

• ax + by = cKök — tənliyi doğru edən (x; y) cütüdür; köklər sonsuz saydadır.
• y = kx + lb ≠ 0 olduqda k = −a : b, l = c : b: qrafik düz xətdir, onu iki nöqtə (məsələn, oxlarla kəsişmələr) müəyyən edir.
• a = 0; b = 0; c = 0Qrafik uyğun olaraq OX oxuna paralel, OY oxuna paralel və ya koordinat başlanğıcından keçən düz xətdir.

Növbəti mövzu: 2.40 İkidəyişənli xətti tənliklər sistemi

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 7-ci sinif», Bölmə 7 · 4 «İkidəyişənli xətti tənlik və onun qrafiki», səh. 162–165 (təriflər, xüsusi hallar və k = −a : b, l = c : b). Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.