Pifaqor teoremi: misirlilərin düyünlü kəndiri

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: qədim Misir. Günəşin altında geniş, düz bir sahə, külək yerdəki qumu sürüyür. Bir neçə usta torpağa taxta paylar çalır. Onların əlində uzun bir kəndir var. Kəndirin üstündə bərabər aralıqlarla düyünlər vurulub və bu düyünlər onu on iki bərabər hissəyə bölür. Ustalar kəndirin iki ucunu bir-birinə bağlayırlar. Sonra kəndiri üç payın arasında dartırlar ki, üçbucaq alınsın: bir tərəfdə üç hissə, o biri tərəfdə dörd hissə, sonuncu tərəfdə isə beş hissə. Və maraqlı bir şey baş verir. Üç hissəlik və dörd hissəlik tərəflərin arasındakı bucaq düz bucaq olur, yəni doxsan dərəcə. Bucaqölçən yoxdur, başqa heç bir alət də yoxdur. Sadəcə düyünlü bir kəndir. Bu, uydurma deyil. Dərsliyimiz yazır ki, qədim misirlilər düz bucaq qurmaq üçün məhz belə kəndirdən istifadə edirdilər, bu üçbucaqdan hətta piramidaların tikintisində də istifadə olunub. Bəs niyə məhz üç, dörd və beş? Bu ədədlərdə hansı sirr gizlənib? Başqa ədədlərlə də belə alınarmı? Cavab bir teoremdədir. Bu teorem eramızdan əvvəl altıncı əsrdə yaşamış Pifaqorun adını daşıyır. Salam, əziz dinləyici! Bu gün səkkizinci sinif riyaziyyatının ən məşhur teoremi ilə tanış olacağıq: Pifaqor teoremi. Görəcəyik ki, o nə deyir və niyə doğrudur, onunla üçbucağın naməlum tərəfini necə tapmaq olar, tərs teorem nəyə lazımdır və Pifaqor üçlükləri nədir. Sonda isə misirlilərin kəndirinə qayıdıb onun sirrini açacağıq. Əvvəlcə adları xatırlayaq. Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın qarşısındakı tərəfə hipotenuz deyilir. O, həmişə üçbucağın ən uzun tərəfidir. Düz bucağı əmələ gətirən iki tərəf isə katetlərdir. Misirlilərin üçbucağında üç və dörd hissəlik tərəflər katetlər, beş hissəlik tərəf isə hipotenuzdur. İndi gözünüzün önündə bir şəkil canlandırın. Üçbucağın hər tərəfinin üzərində, xaricə doğru, bir kvadrat qururuq. Hər kvadratın tərəfi üçbucağın həmin tərəfinə bərabərdir. Üç tərəf, üç kvadrat. İki kiçik kvadrat katetlərin üzərindədir, ən böyük kvadrat isə hipotenuzun üzərində. Misirlilərin üçbucağında bu kvadratları kiçik kafellərlə dolduraq. Üç hissəlik tərəfin kvadratına doqquz kafel gedir, dörd hissəlik tərəfin kvadratına isə on altı kafel. Hamısı birlikdə iyirmi beş kafeldir. Bəs hipotenuzun kvadratına neçə kafel gedir? Beş dəfə beş, yenə iyirmi beş! İki kiçik kvadratın kafelləri böyük kvadratı tam doldurur, bir kafel belə artıq və ya əskik qalmır. Pifaqor teoremi deyir ki, bu, təsadüf deyil: istənilən düzbucaqlı üçbucaqda belədir. Dərslik onu belə ifadə edir: düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir. Kvadratların dili ilə desək, hipotenuz üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi katetlər üzərində qurulmuş kvadratların sahələri cəminə bərabərdir. Diqqət edin: söhbət tərəflərin özündən yox, onların kvadratlarından gedir. Üç ilə dördün cəmi yeddidir, beş deyil. Tərəfləri toplamaq ən çox edilən səhvdir. Bəs teorem niyə doğrudur? Bunu iki karton və bir qayçı ilə görmək olar. Dərslik məhz belə bir praktik məşğələ təklif edir. Eyni böyüklükdə iki kvadrat karton götürün. Birinci kartonun hər tərəfini iki hissəyə bölün: bir hissə üçbucağın birinci katetinə, o biri hissə isə ikinci katetinə bərabər olsun. İndi kartonu kəsin. Dörd parça alınır: tərəfi birinci katetə bərabər bir kvadrat, tərəfi ikinci katetə bərabər bir kvadrat və iki eyni düzbucaqlı. Hər düzbucaqlını diaqonalı boyunca kəssəniz, o, bizim üçbucağın iki nüsxəsinə ayrılar. Deməli, birinci karton iki kiçik kvadratdan və dörd eyni üçbucaqdan ibarətdir. İndi ikinci kartonu götürün. Onun dörd küncündən eyni dörd düzbucaqlı üçbucaq kəsin, elə ki, hər üçbucağın düz bucağı kartonun bir küncündə olsun. Ortada nə qalır? Bir az çevrilmiş bir kvadrat. Onun dörd tərəfi dörd üçbucağın hipotenuzlarıdır. Deməli, bu, hipotenuzun kvadratıdır. İki kartonu müqayisə edin. Onlar eyni böyüklükdədir. Hər ikisindən eyni dörd üçbucaq çıxdı. Deməli, qalan hissələr də bərabərdir: birinci kartonda katetlərin iki kvadratı qalıb, ikincidə isə hipotenuzun kvadratı. Teorem isbat olundu, özü də heç bir hesablama aparmadan! Bu teorem Pifaqorun adı ilə bağlıdır. Pifaqor eramızdan əvvəl altıncı əsrdə yaşayıb. O və onun ardıcılları, pifaqorçular, inanırdılar ki, təbiəti tam ədədlər və onların nisbətləri idarə edir. Dərslik ehtiyatla yazır: ola bilər ki, Pifaqor məhz Misir üçbucağının köməyi ilə öz teoremini bütün düzbucaqlı üçbucaqlar üçün ümumiləşdirə bilmişdir. Yəni bu, dəqiq bilinən fakt deyil, ehtimaldır. Dəqiq bilinən isə budur: bu gün teoremin dörd yüzə yaxın müxtəlif isbatı məlumdur. Teorem təkcə gözəl deyil, həm də çox faydalıdır. Düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfi məlumdursa, üçüncü tərəfi həmişə tapmaq olar. Bunun iki halı var. Birinci hal: hər iki katet məlumdur, hipotenuz axtarılır. Tutaq ki, katetlər altmış və səksəndir. Hər katetin kvadratını tapırıq: altmışın kvadratı üç min altı yüzdür, səksənin kvadratı isə altı min dörd yüz. Onları toplayırıq: on min. Bu, hipotenuzun kvadratıdır. Hipotenuzun özü isə kvadratı on min olan ədəddir, yəni yüz. Burada çox rast gəlinən bir səhv var: kvadratları toplayıb orada dayanmaq. On min hipotenuzun özü deyil, onun kvadratıdır. Sonda kvadrat kök almağı unutmayın. Bir də yoxlayın: hipotenuz katetlərin hər birindən uzun olmalıdır. Yüz, doğrudan da, həm altmışdan, həm də səksəndən uzundur. İkinci hal: hipotenuz və bir katet məlumdur, o biri katet axtarılır. Məsələn, hipotenuz altıdır, katetlərdən biri isə beş. O biri katet nəyə bərabərdir? Bir anlıq fikirləşin. Bu dəfə toplamırıq, çıxırıq. Hipotenuzun kvadratı otuz altıdır, məlum katetin kvadratı iyirmi beş. Otuz altıdan iyirmi beşi çıxırıq, on bir qalır. Deməli, naməlum katetin kvadratı on birdir, katetin özü isə on birin kvadrat köküdür. Bu ədəd tam deyil və bu, tamamilə normaldır: dərslikdə olduğu kimi, cavabı kök şəklində saxlayırıq. Bu halda tipik səhv yenə toplamaqdır. Kvadratları toplasaq, katet hipotenuzdan uzun alınardı, bu isə mümkün deyil. Ona görə əvvəlcə özünüzdən soruşun: hipotenuz hansıdır? Hipotenuz axtarılırsa, kvadratları toplayırıq. Hipotenuz məlumdursa, onun kvadratından katetin kvadratını çıxırıq. İndi misirlilərin kəndirinə qayıdaq. Diqqət etsəniz, onlar Pifaqor teoremini tərsinə işlədirdilər. Teorem deyir: üçbucaq düzbucaqlıdırsa, kvadratlar arasında bu əlaqə var. Misirlilər isə əks tərəfdən gedirdilər: kvadratlar arasında bu əlaqə varsa, deməli, üçbucaq düzbucaqlıdır. Bu, tərs teoremdir və dərslikdə belə deyilir: üçbucaqda bir tərəfin kvadratı qalan iki tərəfin kvadratları cəminə bərabərdirsə, bu üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. Kəndirdə üç hissənin kvadratı doqquzdur, dörd hissənin kvadratı on altı, cəmi iyirmi beş. Beş hissənin kvadratı da iyirmi beşdir. Bərabərlik ödənir, ona görə də bucaq düzdür. Bucağı ölçməyə ehtiyac yoxdur, uzunluqları bilmək kifayətdir. Bəs eyni on iki hissəlik kəndiri başqa cür dartsaq? Məsələn, iki, beş və beş hissə. Ən uzun tərəf beşdir. Qalan iki tərəfin kvadratlarını toplayaq: ikinin kvadratı dörddür, beşin kvadratı iyirmi beş, cəmi iyirmi doqquz. Ən uzun tərəfin kvadratı isə iyirmi beşdir. Bunlar bərabər deyil: iyirmi doqquz iyirmi beşdən böyükdür. Deməli, bu üçbucaqda düz bucaq yoxdur. Tərs teoremlə işləyəndə bir qayda var: həmişə ən uzun tərəfin kvadratını qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə müqayisə edin. Çünki düz bucaq varsa, onun qarşısındakı tərəf, yəni hipotenuz, mütləq ən uzun tərəf olacaq. Və bərabərlik dəqiq olmalıdır: təxminən bərabər olması kifayət etmir. Misirlilərin kəndiri bizi son mövzuya gətirir. Tərəfləri natural ədədlərlə ifadə olunan düzbucaqlı üçbucaqlara Pifaqor üçbucaqları deyilir, bu ədədlərə isə Pifaqor üçlükləri. Üç, dörd və beş ən məşhur üçlükdür, onun üçbucağı Misir üçbucağı da adlanır. Pifaqorçuların tam ədədlərə olan inamını xatırlayırsınız? Pifaqor üçlüyü tam ədədlərlə düz bucaq qurmağın yoludur. Belə üçlüklər çoxdur. Məsələn, kəndiri on iki yox, qırx bərabər hissəyə bölək. Bu kəndirdən tərəfləri səkkiz, on beş və on yeddi hissə olan üçbucaq dartmaq olar. Səkkizin kvadratı altmış dörddür, on beşin kvadratı iki yüz iyirmi beş, cəmi iki yüz səksən doqquz. On yeddinin kvadratı da iki yüz səksən doqquzdur. Deməli, bu kəndirlə də düz bucaq alınır. Bir üçlükdən yenisini almaq çox asandır: onun hər üç ədədini eyni müsbət ədədə vurmaq kifayətdir. Bir az əvvəlki üçbucağı xatırlayın: katetlər altmış və səksən, hipotenuz yüz. Bu, Misir üçbucağının iyirmi dəfə böyüdülmüş halıdır. Niyə alınır? Tərəflər iyirmi dəfə böyüyəndə hər kvadrat dörd yüz dəfə böyüyür. Doqquz, on altı və iyirmi beş eyni dəfə artır, ona görə də bərabərlik pozulmur. Amma vurmaq əvəzinə toplasaq, bərabərlik pozulur. Üç, dörd və beşin hər birinə bir əlavə edək: dörd, beş və altı alınır. Dördün kvadratı on altıdır, beşin kvadratı iyirmi beş, cəmi qırx bir. Altının kvadratı isə otuz altıdır. Bərabərlik yoxdur, bu üçbucaq düzbucaqlı deyil. Bir ad da öyrənək: birdən başqa ortaq vuruğu olmayan üçlüyə sadə Pifaqor üçlüyü deyilir. Üç, dörd, beş və səkkiz, on beş, on yeddi sadə üçlüklərdir. Altmış, səksən və yüz isə sadə üçlük deyil, çünki onların hamısı iyirmiyə bölünür. Gəlin yenidən o qədim sahəyə qayıdaq. Külək hələ də əsir, kəndir paylar arasında dartılıb. İndi ustaların sirrini bilirik. Üç hissənin kvadratı ilə dörd hissənin kvadratının cəmi beş hissənin kvadratına bərabərdir. Tərs teorem isə deyir ki, belə üçbucaq mütləq düzbucaqlıdır. Kəndir bucağı ölçmür. O, tərəflərin kvadratları arasında bərabərlik yaradır, düz bucaq isə özü alınır. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir, və bu bərabərlik ödənirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Addım-addım həlləri və daha çox nümunəni oxu dərsində və videoda tapa bilərsiniz. Növbəti dəfə bir kəndiri düyünlərlə on iki bərabər hissəyə bölün və özünüz düz bucaq qurmağa çalışın. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!