Pifaqor teoremi

• 3.7
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Pifaqor teoremi

Tərəfləri 48, 55 və 73 olan düzbucaqlı üçbucaqda iki qısa tərəfin cəmi 103-dür, 73 yox. Bəs tərəflər üzərində qurulmuş kvadratlar? 2304 + 3025 = 5329: kiçik iki kvadrat birlikdə böyük kvadrata tam bərabərdir.

Bu dərsdə

• düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri arasındakı əlaqəni uzunluq və sahə dilində yazacaq və bunun niyə doğru olduğunu şəkillə izah edəcəksən;
• iki tərəfə görə üçüncü tərəfi tapacaq, hipotenuzu və katetləri qarışdırmayacaqsan;
• tərs teoremlə üçbucağın düzbucaqlı olub-olmadığını yoxlayacaq, Pifaqor üçlüklərini tanıyıb yenilərini quracaqsan.

48, 55 və 73 tərəfli düzbucaqlı üçbucaq və tərəfləri üzərindəki kvadratlar

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Teorem
3. Hesabla
4. Sahələr
5. Tərs teorem
6. Üçlüklər
7. Diqqət
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Tərəflər toplanmır, kvadratlar toplanır

Bucaqlarından biri düz bucaq (90°) olan üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır. Düz bucağın tərəfləri katetlər, düz bucağın qarşısındakı tərəf isə hipotenuz adlanır. Katetləri a və b, hipotenuzu c ilə işarə edəcəyik.

Hipotenuz ən uzun tərəfdir

Düz bucaq üçbucağın ən böyük bucağıdır (qalan ikisinin cəmi 90°-dir). Üçbucaqda böyük bucağın qarşısında böyük tərəf durur, ona görə hipotenuz hər katetdən uzundur.

Kvadratın sahəsi

Tərəfi a olan kvadratın sahəsi a²-dir. Buna görə «tərəfin kvadratı» həm ədəd, həm də həmin tərəf üzərində qurulmuş kvadratın sahəsidir.

İndi yuxarıdakı şəklə qayıdaq. Katetlər 48 və 55, hipotenuz 73-dür. Tərəfləri toplasaq, alınmır: 48 + 55 = 103, hipotenuz isə 73-dür. Kvadratlara baxaq:

48² = 2304, 55² = 3025 2304 + 3025 = 5329 = 73²

Katetlər üzərindəki iki kvadratın sahələrinin cəmi hipotenuz üzərindəki kvadratın sahəsinə tam bərabərdir. Bu, bu üçbucağın təsadüfi xassəsidirmi, yoxsa hər düzbucaqlı üçbucaqda belədir? Bir misal sübut deyil — ümumi isbat lazımdır.

2 · Teorem

Pifaqor teoremi və onun isbatı

Pifaqor teoremi

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuzun kvadratı katetlərin kvadratları cəminə bərabərdir:

c² = a² + b²

Teorem qədim alim Pifaqorun adını daşıyır. Dərslikdə qeyd olunur ki, onun 400-ə yaxın müxtəlif isbatı var. Aşağıda sahələrə əsaslanan bir isbata baxırıq: tərəfi c olan kvadratın içinə üçbucağımızın dörd eyni nüsxəsini yerləşdiririk.

Hipotenuz üzərindəki kvadrat dörd üçbucaq və bir kiçik kvadratdan ibarətdir

Başla Yenidən Yenidən

Lövhə 1 · Kvadratın içində dörd üçbucaqçəkiliş: a : b = 3 : 5

Hər üçbucağın uzun kateti b, qısa kateti a-dır; uzun katet qısa katetdən b − a qədər çıxır, ona görə ortada tərəfi b − a olan kvadrat qalır.

İsbat (a < b)

1) Böyük kvadratın sahəsi: c². 2) Dörd üçbucağın sahəsi: 4 · ab2 / = 2ab. 3) Kiçik kvadratın sahəsi: (b − a)² = b² − 2ab + a². 4) c² = 2ab + b² − 2ab + a² = a² + b².

2ab toplananları bir-birini silir və istənilən düzbucaqlı üçbucaq üçün c² = a² + b² qalır. Katetlər bərabər olsa (a = b), ortadakı kvadrat yox olur, dörd üçbucaq böyük kvadratı tam örtür: c² = 2a² — yenə eyni nəticə.

3 · Hesabla

İki tərəfə görə üçüncü tərəf

Düzbucaqlı üçbucağın iki tərəfi məlumdursa, üçüncüsünü Pifaqor teoremi ilə tapmaq olar. Əvvəlcə hansı tərəfin axtarıldığını müəyyən et:

Hipotenuz axtarılır

c² = a² + b² — kvadratlar toplanır.

Katet axtarılır

b² = c² − a² — hipotenuzun kvadratından çıxılır.

Nümunə 1Hipotenuzu tap

Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 51 və 68-dir. Hipotenuzu tapın.

1. Hipotenuz axtarılır, kvadratlar toplanır: c² = 51² + 68².
2. Hesablayırıq: 2601 + 4624 = 7225.
3. 7225 tərəfin özü deyil, kvadratıdır: c = √7225 = 85, çünki 85² = 7225. c = 85

Nümunə 2Kateti tap

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 137, katetlərindən biri 88-dir. O biri kateti tapın.

Hipotenuzu 137, kateti 88 olan düzbucaqlı üçbucaq

Lövhə 2 · Hipotenuz düz bucağın qarşısındadırmiqyasla

1. 137 düz bucağın qarşısındadır, deməli hipotenuzdur. Katet axtarılır, çıxırıq: x² = 137² − 88².
2. Kvadratlar fərqi düsturu hesabı asanlaşdırır: x² = (137 − 88)(137 + 88) = 49 · 225 = 11025.
3. x = √11025 = 105. Yoxlama: 88² + 105² = 7744 + 11025 = 18769 = 137². x = 105

Nümunə 3Cavab kök olaraq qalır

Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 9, katetlərindən biri 2-dir. O biri kateti tapın.

1. Katet axtarılır: x² = 9² − 2² = 81 − 4 = 77.
2. 77 heç bir natural ədədin kvadratı deyil, ona görə cavabı kök şəklində saxlayırıq: x = √77. x = √77

Qeyd. Dərslikdə deyilir: məsələnin şərtində və ya şəkil üzərində ölçü vahidləri yazılmayıbsa, bütün parçaların eyni vahidlərlə verildiyi nəzərdə tutulur və cavab ölçüsüz yazılır. Ona görə yuxarıdakı cavablar vahidsizdir: 85, 105, √77.

4 · Sahələr

Teorem kvadratların dilində

Yadda saxla

Düzbucaqlı üçbucaqda hipotenuz üzərində qurulmuş kvadratın sahəsi katetlər üzərində qurulmuş kvadratların sahələri cəminə bərabərdir.

Sc = Sa + Sb

Hero şəklində məhz bunu gördük: 2304 + 3025 = 5329. Bu dildə məsələlərdə uzunluqla sahəni qarışdırmamaq vacibdir: sahə kvadrat vahidlə (sm²), tərəf isə uzunluq vahidi ilə (sm) ölçülür.

Nümunə 4Üç kvadrat birlikdə

Düzbucaqlı üçbucağın üç tərəfi üzərində kvadratlar qurulub. Üç kvadratın sahələri cəmi 1058 sm²-dir. Hipotenuzu tapın.

1. Katetlər üzərindəki iki kvadrat birlikdə hipotenuz üzərindəki kvadrata bərabərdir: Sa + Sb = Sc.
2. Deməli üç kvadratın cəmi Sc + Sc = 2Sc = 1058, buradan Sc = 529 sm².
3. 529 sm² hipotenuzun özü deyil, onun üzərindəki kvadratın sahəsidir: c = √529 = 23 sm. c = 23 sm

5 · Tərs teorem

Üçbucaq düzbucaqlıdırmı?

Pifaqor teoremi deyir: üçbucaq düzbucaqlıdırsa, c² = a² + b². Tərs istiqamət də doğrudur:

Tərs teorem

Üçbucaqda bir tərəfin kvadratı qalan iki tərəfin kvadratları cəminə bərabərdirsə, bu üçbucaq düzbucaqlı üçbucaqdır.

c² = a² + b² ⇒ düz bucaq c-nin qarşısındadır

Yoxlama qaydası üç addımdır: (1) ən uzun tərəfi tap; (2) onun kvadratını qalan iki tərəfin kvadratları cəmi ilə müqayisə et; (3) bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır və düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısındadır — iki qısa tərəfin arasında.

Üç üçbucağı yoxlayaq

Cədvəl dar ekranda yana sürüşür.

• T2-də fərq cəmi 1-dir, amma «təxminən bərabər» kifayət etmir: bərabərlik dəqiq olmalıdır. Bu üçbucağın bucaqlarından heç biri düz deyil.
• T3-də ən uzun tərəf 9-dur, √32 deyil: √32 < √81 = 9. Kökləri olan tərəflərdə də əvvəlcə ən uzununu tap.

T1 və T3 üçbucaqları, düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısında

Lövhə 3 · Düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısındahər üçbucaq öz miqyasında

6 · Üçlüklər

Pifaqor üçlükləri və onların misilləri

Tərəfləri natural ədədlərlə ifadə olunan düzbucaqlı üçbucaqlara Pifaqor üçbucaqları, bu ədədlərə isə Pifaqor üçlükləri deyilir. Ən məşhuru tərəfləri 3; 4; 5 olan üçbucaqdır — o, Misir üçbucağı da adlanır. Dərsdəki üçbucaqların bəziləri də belədir:

• 3; 4; 5
• 5; 12; 13
• 48; 55; 73
• 51; 68; 85
• 88; 105; 137

Misillər

a, b, c ədədləri Pifaqor üçlüyüdürsə, ak, bk, ck ədədləri (k > 0) də Pifaqor üçlüyü olur.

(ak)² + (bk)² = k²(a² + b²) = k²c² = (ck)²

Nümunə 1-ə qayıdaq: 51 = 17 · 3, 68 = 17 · 4. Deməli 51; 68 Misir üçbucağının 17 dəfə böyüdülmüş katetləridir və hipotenuz 17 · 5 = 85 olmalıdır — kvadratlara ehtiyac belə yoxdur. 88; 105; 137 isə başqa bir üçlüyün böyüdülməsi deyil: bu üç ədədin 1-dən başqa ortaq vuruğu yoxdur.

1-dən başqa ortaq vuruğu olmayan üçlüyə sadə Pifaqor üçlüyü deyəcəyik. Yuxarıdakı siyahıda yaşıl olanlar sadədir, 51; 68; 85 isə sadə deyil (ortaq vuruq 17).

Nümunə 5Kəsr misil

5; 12; 13 üçlüyünü k = 0,5-ə vurun və alınan ədədlərin düzbucaqlı üçbucağın tərəfləri olduğunu yoxlayın.

1. Hər üç ədədi vururuq: 5 · 0,5 = 2,5; 12 · 0,5 = 6; 13 · 0,5 = 6,5.
2. Yoxlayırıq: 2,5² + 6² = 6,25 + 36 = 42,25 = 6,5². 2,5; 6; 6,5 — düzbucaqlı üçbucaq

5; 12; 13 üçbucağı və onun yarısı 2,5; 6; 6,5

Lövhə 4 · Hər tərəf eyni ədədə vurulurmiqyasla

2,5; 6; 6,5 natural ədədlər olmadığı üçün Pifaqor üçlüyü sayılmır, amma düzbucaqlı üçbucağın tərəfləridir: misil qaydası istənilən k > 0 üçün düzbucaqlı üçbucaq verir.

7 · Diqqət

Tez-tez edilən səhvlər

Tərəfləri toplamaq

Səhv

c = 48 + 55 = 103

Tərəflər toplanmır: üçbucağın bir tərəfi digər ikisinin cəmindən həmişə qısadır.

Düz

c² = 2304 + 3025 = 5329, c = 73

Toplanan kvadratlardır, sonra kök alınır.

Katet üçün toplamaq

Səhv

x² = 137² + 88²

Belə alınan «katet» hipotenuzdan uzun olardı — bu mümkün deyil.

Düz

x² = 137² − 88²

Katet axtarılanda hipotenuzun kvadratından o biri katetin kvadratı çıxılır.

Kökü unutmaq

Səhv

c = 7225

7225 hipotenuzun kvadratıdır (sahədir), uzunluğu deyil.

Düz

c² = 7225, c = 85

Son addım həmişə kökdür.

Ən uzun tərəfi tanımamaq

Səhv

7² + 9² = 130 ≠ (√32)²

T3-də √32 hipotenuz götürülüb və «düzbucaqlı deyil» deyilib.

Düz

7² + (√32)² = 81 = 9²

Ən uzun tərəf 9-dur; onun kvadratı digər ikisinin kvadratları cəmi ilə müqayisə olunur.

Üçlüyə ədəd əlavə etmək

Səhv

3; 4; 5 → 7; 8; 9

7² + 8² = 113, 9² = 81: hər ədədə 4 əlavə etmək üçlük vermir.

Düz

3; 4; 5 → 4,5; 6; 7,5

Hər üç ədəd eyni ədədə (burada 1,5-ə) vurulur.

Bir də: şərtdə hipotenuz göstərilməyibsə və şəkil yoxdursa, verilən iki tərəfdən hansının hipotenuz olduğunu əvvəlcədən bilmək olmaz — mümkün halların hamısına baxmaq lazımdır.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan Düzbucaqlı üçbucağın katetləri 57 və 76-dır. Hipotenuz neçədir? Cavab variantları 133 95 9025 √2527 Düzdür! 3249 + 5776 = 9025 = 95². Yox. Hipotenuz üçün katetlərin kvadratlarını topla, sonra kök al. Həllə bax c² = 57² + 76² = 3249 + 5776 = 9025, c = 95. Qısa yol: 57 = 19 · 3, 76 = 19 · 4, deməli c = 19 · 5 = 95. «133» — tərəflər toplanıb; «9025» — kök alınmayıb; «√2527» — kvadratlar çıxılıb.
2. Asan Düzbucaqlı üçbucağın hipotenuzu 125, katetlərindən biri 117-dir. O biri katet neçədir? Cavab variantları 8 √29314 44 1936 Əla! (125 − 117)(125 + 117) = 8 · 242 = 1936 = 44². Yox. Katet axtarılır: hipotenuzun kvadratından o biri katetin kvadratını çıx və kök al. Həllə bax x² = 125² − 117² = (125 − 117)(125 + 117) = 8 · 242 = 1936, x = 44. «8» — tərəflər çıxılıb; «√29314» — kvadratlar toplanıb; «1936» — kök alınmayıb.
3. Orta Üçbucağın tərəfləri 4; 7,5 və 8,5-dir. Hansı fikir doğrudur? Cavab variantları düzbucaqlı deyil, çünki 4 + 7,5 ≠ 8,5 düzbucaqlıdır, düz bucaq 4 və 8,5 tərəflərinin arasındadır düzbucaqlıdır, düz bucaq 8,5 tərəfinin qarşısındadır düzbucaqlı deyil, çünki tərəflər natural ədəd deyil Düzdür! 16 + 56,25 = 72,25 = 8,5². Yox. Tərs teorem kvadratları müqayisə edir; düz bucaq ən uzun tərəfin qarşısındadır. Həllə bax Ən uzun tərəf 8,5: 8,5² = 72,25; 4² + 7,5² = 16 + 56,25 = 72,25. Bərabərdir — üçbucaq düzbucaqlıdır, düz bucaq 8,5-in qarşısında, 4 və 7,5 tərəflərinin arasındadır. Tərəflərin cəmi ilə yoxlamaq olmaz; düz bucaq ən uzun tərəfin ucunda ola bilməz; tərəflərin natural olması tələb deyil.
4. Orta 5; 12; 13 üçlüyündən k = 1,2 ilə hansı tərəflər alınır? Cavab variantları 6,2; 13,2; 14,2 6; 14,4; 15,6 6; 14,4; 13 0,6; 1,44; 1,56 Əla! Hər üç ədəd 1,2-yə vuruldu. Yox. Misil almaq üçün hər üç ədədi eyni k = 1,2-yə vur — toplama yox, vergülün yerinə də diqqət et. Həllə bax 5 · 1,2 = 6, 12 · 1,2 = 14,4, 13 · 1,2 = 15,6. Yoxlama: 36 + 207,36 = 243,36 = 15,6². «6,2; 13,2; 14,2» — 1,2 əlavə edilib; «6; 14,4; 13» — hipotenuz vurulmayıb; «0,6; 1,44; 1,56» — 0,12-yə vurulub (vergül səhv yerdədir).
5. Çətin Düzbucaqlı üçbucağın bir kateti 19-dur, hipotenuz isə o biri katetdən 1 vahid uzundur. Hipotenuz neçədir? Cavab variantları √362 180 361 181 Düzdür! 180² + 19² = 32400 + 361 = 32761 = 181². Yox. c² − x² = 19² yaz və kvadratlar fərqi düsturundan istifadə et: c − x = 1. Həllə bax O biri katet x, hipotenuz c = x + 1. c² − x² = 19² = 361, yəni (c − x)(c + x) = 361. c − x = 1 olduğundan c + x = 361, buradan x = 180, c = 181. «√362» — 1 katet kimi götürülüb (19² + 1²); «180» — bu, o biri katetdir; «361» — c + x cəmidir.
6. Çətin Düzbucaqlı üçbucağın üç tərəfi üzərində qurulmuş kvadratların sahələri cəmi 98 sm²-dir. Hipotenuz neçədir? Cavab variantları 7 sm √98 sm 49 sm 24,5 sm Əla! 2Sc = 98, Sc = 49 sm², c = 7 sm. Yox. Katetlər üzərindəki iki kvadrat birlikdə hipotenuz üzərindəki kvadrata bərabərdir — üç kvadratın cəmi onun iki mislidir. Həllə bax Sa + Sb = Sc, ona görə 2Sc = 98, Sc = 49 sm² və c = √49 = 7 sm. «√98 sm» — 2-yə bölünməyib; «49 sm» — sahə uzunluq kimi yazılıb; «24,5 sm» — 4-ə bölünüb, kök alınmayıb.

9 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• c² = a² + b²Hipotenuz düz bucağın qarşısındakı ən uzun tərəfdir. Hipotenuz üzərindəki kvadrat katetlər üzərindəki iki kvadrata bərabərdir.
• Toplama və ya çıxma, sonra kökHipotenuz üçün kvadratları topla, katet üçün çıx; son addım kökdür, cavab tam ədəd deyilsə √n kimi qalır.
• Tərs teorem və üçlüklərƏn uzun tərəfin kvadratı qalan ikisinin kvadratları cəminə dəqiq bərabərdirsə, üçbucaq düzbucaqlıdır. Pifaqor üçlüyünün hər ədədini eyni k > 0-a vurmaq yeni düzbucaqlı üçbucaq verir.

Növbəti mövzu: 3.8 Pifaqor teoreminin tətbiqi — teorem gündəlik məsələlərdə və mürəkkəb fiqurlarda.

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Pifaqor teoremi», səh. 34–37 (teorem, «Qeyd», sahə dilində ifadə, tərs teorem, Pifaqor üçbucaqları və üçlükləri, misillər, sadə üçlük). Tipik səhvlər DİM-in «Test toplusu» (2023, 2025) və «Güvən» tapşırıqlar toplusundakı tapşırıq növlərinə əsaslanır. İsbat, şəkillər və nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün hazırlanıb.