Kvadrat tənliyin qrafik üsulla həlli: dərə və kanat

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin ki, dağlardasınız. Səhər küləyi əsir, aşağıda isə dərin bir dərə uzanır, dibində kiçik bir çay şırıldayır. Bu dərənin forması çox maraqlıdır: onu ortadan kəssəniz, kəsiyi U hərfinə oxşayır. Dibi yumrudur, yamacları isə yuxarı qalxdıqca dikləşir. Mühəndis Günay kiçik qardaşı Raufla dərənin kənarında dayanıb. Günay burada kanat yolu çəkmək istəyir: dərənin üstündən dümdüz, tarım çəkilmiş bir kanat. Günay dama-dama vərəqini açır və dərənin kəsiyini çəkir. Koordinat başlanğıcını dərənin ən aşağı nöqtəsinə qoyur. Üfüqi ox boyunca hər xana bir addımdır: sağa atılan addımlar müsbət, sola atılanlar mənfi sayılır. Şaquli ox isə hündürlükdür. Dərənin divarı belə qalxır: bir addım kənarda hündürlük birdir, iki addımda dörd, üç addımda doqquz, dörd addımda on altı, beş addımda iyirmi beş, altı addımda otuz altı. Hər dəfə hündürlük addımların sayının kvadratıdır. Sol yamac da eynidir, çünki mənfi ədədin kvadratı müsbətdir. Bu, tanış paraboladır: iqrek bərabərdir iks kvadrat funksiyasının qrafiki. İndi kanatı çəkək. Əslində kanat bir az sallanır, amma Günayın çertyojunda o, tam düz xəttdir. Kanat dərənin ən aşağı nöqtəsinin düz üstündən, otuz vahid hündürlükdən keçir. Sağa hər addımda bir vahid qalxır, sola hər addımda bir vahid enir. Günay deyir: «Stansiyalar kanatın yamacla görüşdüyü yerlərdə tikiləcək. Bəs o yerlər haradadır?» Rauf çiyinlərini çəkir: «Bunu tapmaq üçün çox hesablamaq lazımdır.» Günay gülümsəyir: «Hesablamaq yox, baxmaq lazımdır. Bu çertyoj əslində bir tənlikdir: iks kvadrat bərabərdir iks üstəgəl otuz.» Bir əyri və bir düz xətt tənliyi necə həll edə bilər? Stansiyalar hansı addımlarda dayanacaq? Dərsin sonunda bu suallara siz özünüz cavab verəcəksiniz. Salam, əziz dinləyici! Bugünkü mövzumuz kvadrat tənliyin qrafik üsulla həllidir. Qarşımızda kağız yoxdur, ona görə qrafikləri birlikdə, təsəvvürümüzdə quracağıq: hər nöqtəni addım və hündürlüklə deyəcəyəm. Dərs dörd fəsildən ibarətdir. Əvvəlcə tənliyi iki qrafikə çevirəcəyik. Sonra parabola ilə düz xəttin görüşməsinin üç halını öyrənəcəyik. Üçüncü fəsildə iks kvadratın qarşısında başqa ədəd olan tənliyə baxacağıq. Sonda isə görüş nöqtəsi xanaların arasına düşəndə nə edəcəyimizi biləcəyik. Birinci fəsil: tənlikdən iki qrafikə. Günayın tənliyini adi şəkildə yazaq: iks kvadrat çıx iks çıx otuz bərabərdir sıfıra. İks kvadratı solda saxlayırıq, qalan iki həddi bərabərlik işarəsinin o biri tərəfinə keçiririk. Keçən hər həddin işarəsi dəyişir: mənfi iks o tərəfdə müsbət iks olur, mənfi otuz isə müsbət otuz. Alırıq: iks kvadrat bərabərdir iks üstəgəl otuz. Sol tərəf bizim parabolamızdır, yəni dərə. Sağ tərəf xətti funksiyadır, onun qrafiki düz xəttdir, yəni kanat. Bəs kökləri niyə qrafiklərin görüşdüyü yerdə axtarırıq? Bir ədəd tənliyin köküdürsə, onu iksin yerinə qoyanda sol tərəf də, sağ tərəf də eyni ədədi verir. Qrafik dilində bu o deməkdir ki, həmin addımda dərənin hündürlüyü ilə kanatın hündürlüyü bərabərdir. Eyni yerdə eyni hündürlük isə ortaq nöqtədir. Gəlin Raufla birlikdə sağa addımlayaq. Beşinci addımda dərə iyirmi beş vahid hündürlükdədir, kanat isə otuz beşdə: kanat hələ on vahid yuxarıdadır. Altıncı addımda dərə otuz altıdadır, kanat da otuz altıda. Bərabərdir! Sağ stansiya buradadır. Sol stansiyanı isə siz tapın. Sola neçə addım getsək, dərə ilə kanat eyni hündürlükdə olar? Unutmayın: sola getdikcə kanat hər addımda bir vahid enir. Bir az düşünün. Sola beş addım gedək, yəni iks mənfi beşə bərabər olsun. Dərənin hündürlüyü iyirmi beşdir, çünki mənfi beşin kvadratı müsbət iyirmi beşdir. Kanat otuzdan beş vahid enib, o da iyirmi beşdədir. Yenə bərabərdir! Sol stansiya da tapıldı. İndi yoxlayaq. Altını ilk tənliyə qoyaq: altının kvadratı otuz altıdır, otuz altıdan altını çıxırıq, otuz qalır, otuzdan otuzu çıxırıq, sıfır alınır. Mənfi beşi qoyaq: mənfi beşin kvadratı iyirmi beşdir. Mənfi beşi çıxmaq beş əlavə etmək deməkdir, ona görə otuz alınır, otuzdan otuzu çıxanda yenə sıfır qalır. Hər iki ədəd tənliyi ödəyir. Dərslik bu üsulu belə ifadə edir: parabola ilə düz xəttin kəsişmə nöqtələrinin absisləri verilmiş tənliyin kökləridir. Absis nöqtənin üfüqi koordinatıdır, bizim dilimizdə addımların sayı. Ordinat isə hündürlükdür. Ən çox edilən səhv cavab kimi hündürlükləri yazmaqdır: «köklər iyirmi beş və otuz altıdır». Xeyr, bunlar stansiyaların hündürlüyüdür. Tənliyin kökləri mənfi beş və altıdır, yəni ortaq nöqtələrin absisləri. İkinci tələ işarədədir. Tutaq ki, hədləri keçirəndə işarəni dəyişməyi unutdunuz və iks kvadrat bərabərdir mənfi iks çıx otuz yazdınız. Bu, tamam başqa düz xəttdir: dərənin dibindən otuz vahid aşağıdan keçir və heç yerdə dərəyə çatmır. Belə bir səhv sizi «kök yoxdur» kimi yanlış nəticəyə aparar. Qayda sadədir: bərabərlik işarəsinin o biri tərəfinə keçən hədd işarəsini dəyişir. İkinci fəsil: görüşün üç halı. Parabola ilə düz xətt üç cür görüşə bilər. Kanat birinci haldır: düz xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir və tənliyin iki müxtəlif kökü olur. Qalan iki halı görmək üçün Günayın başqa çertyojlarına baxaq. Bu dəfə söhbət kanatdan yox, dağın içində qazılan düz tunellərdən gedir. Birinci tunel sağ dağın içi ilə dik qalxır və dərənin divarına yalnız bir nöqtədə çıxır: yeddinci addımda, qırx doqquz hündürlükdə. Qırx doqquz yeddinin kvadratıdır. Tunelin xətti hər addımda on dörd vahid qalxır, dərənin ən aşağı nöqtəsinin düz altında isə qırx doqquz vahid dərinlikdən keçir. Onun tənliyi belədir: iqrek bərabərdir on dörd iks çıx qırx doqquz. Yeddinci addımda tunel də qırx doqquz hündürlüyə çatır. Orada, divarda, kiçik bir nöqtədən gün işığı görünür. Bəs qonşu addımlarda? Altıncı addımda dərə otuz altıdadır, tunel otuz beşdə: tunel bir vahid aşağıdadır. Səkkizinci addımda dərə altmış dörddədir, tunel altmış üçdə: yenə bir vahid aşağı. Tunel dərəyə yaxınlaşır, yeddinci addımda ona toxunur və yenidən uzaqlaşır. Buna toxunma deyilir. İks kvadrat çıx on dörd iks üstəgəl qırx doqquz bərabərdir sıfıra tənliyinin yalnız bir kökü var: yeddi. Bunu keçən mövzunun aləti ilə də yoxlaya bilərik: sol tərəf iks ilə yeddinin fərqinin kvadratıdır, o isə yalnız yeddidə sıfır olur. Diqqət edin: toxunma «kök yoxdur» demək deyil, «müsbət və mənfi yeddi» də demək deyil. Kök bir dənədir: yeddi. İkinci tunel daha dərindən keçir. Onun xətti dərənin ən aşağı nöqtəsinin altında iki vahid dərinlikdədir, sağa hər addımda iki vahid enir, sola isə iki vahid qalxır. Tənliyi belədir: iqrek bərabərdir mənfi iki iks çıx iki. Sıfırda dərə sıfırdadır, tunel mənfi ikidə. Sola bir addımda dərə birdədir, tunel sıfırda. Tunel dərəyə ən çox burada yaxınlaşır, amma arada yenə bir vahid qaya qalır. Tunel heç yerdə dərəyə çıxmır: ortaq nöqtə yoxdur. Bu halın tənliyi iks kvadrat üstəgəl iki iks üstəgəl iki bərabərdir sıfıradır. Dərslikdə deyildiyi kimi, ortaq nöqtə yoxdursa, tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Bunu da yoxlaya bilərik: sol tərəf iks ilə birin cəminin kvadratı üstəgəl birdir. Kvadrat heç vaxt mənfi olmur, ona bir əlavə edəndə nəticə ən azı bir olur, sıfır ola bilməz. Beləliklə, üç hal var. İki ortaq nöqtə: iki müxtəlif kök. Toxunma: yeganə kök. Ortaq nöqtə yoxdur: həqiqi kök də yoxdur. Ortaq nöqtələrin sayı köklərin sayıdır. Üçüncü fəsil: iks kvadratın qarşısında başqa ədəd olanda. Bizim dərəmiz həmişə eynidir: iqrek bərabərdir iks kvadrat. Ona görə üsulun işləməsi üçün tənlikdə iks kvadratın əmsalı bir olmalıdır. Raufun dəftərində isə belə bir tənlik var: mənfi iki iks kvadrat üstəgəl iki iks üstəgəl altmış bərabərdir sıfıra. Dərslik məsləhət görür: əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini baş əmsala bölüb çevrilmiş kvadrat tənlik almaq lazımdır. Burada baş əmsal mənfi ikidir. Hər həddi mənfi ikiyə bölürük. Mənfi iki iks kvadrat iks kvadrat olur. Üstəgəl iki iks mənfi iks olur. Üstəgəl altmış mənfi otuz olur. Sıfır isə sıfır qalır. Nə alındı? İks kvadrat çıx iks çıx otuz bərabərdir sıfıra. Bu, elə kanat yolunun tənliyidir! Deməli, kökləri də eynidir: mənfi beş və altı. Sıfırdan fərqli ədədə bölmək kökləri dəyişmir. Burada iki tələ var. Birincisi, mənfi ikiyə deyil, müsbət ikiyə bölmək: onda iks kvadratın qarşısında mənfi işarəsi qalır və bizim dərə alınmır. İkincisi, yalnız bir həddi bölüb qalanlarını unutmaq. Qayda belədir: bütün hədlər eyni ədədə, işarəsi ilə birlikdə bölünür. Dördüncü fəsil: görüş xanaların arasına düşəndə. İndiyə qədər bütün görüşlər tam addımlarda oldu. Amma çox vaxt belə olmur. Bu tənliyə baxaq: iks kvadrat çıx dörd iks çıx bir bərabərdir sıfıra. Hədləri keçirəndə alırıq: iks kvadrat bərabərdir dörd iks üstəgəl bir. Bu düz xətt dərənin ən aşağı nöqtəsinin üstündə, bir vahid hündürlükdən keçir və sağa hər addımda dörd vahid qalxır. Sağa addımlayaq. Dördüncü addımda dərə on altıdadır, xətt on yeddidə: xətt bir vahid yuxarıdadır. Beşinci addımda dərə iyirmi beşdədir, xətt iyirmi birdə: indi dərə yuxarıdadır. Deməli, onlar dörd ilə beş arasında görüşür, həm də dördə xeyli yaxın. Diqqətlə çəkilmiş qrafikdə bu nöqtənin absisi təxminən dörd tam onda iki kimi oxunur. Solda da belədir: sıfırda dərə sıfırdadır, xətt birdə; sola bir addımda dərə birdədir, xətt mənfi üçdə. Görüş mənfi bir ilə sıfır arasındadır, sıfıra yaxın: təxminən mənfi sıfır tam onda iki. Dörd tam onda ikini tənliyə qoysaq, bərabərlik az qala ödənir, amma tam ödənmir. Dərslik də bunu deyir: qrafik üsulla bir çox hallarda dəqiq yox, təqribi həll tapılır. Xanaları kiçiltsəniz və ya qrafkalkulyatorda şəkli böyütsəniz, daha çox rəqəm görəcəksiniz, amma cavab yenə təqribi qalacaq. Dəqiq qiymətləri növbəti mövzuda, kvadrat tənliyin kökləri düsturu ilə tapacaqsınız. İndi dağlara qayıdaq. Günay çertyojda iki nöqtəni işarələyir: sola beş addımda, iyirmi beş hündürlükdə və sağa altı addımda, otuz altı hündürlükdə. Stansiyalar orada tikiləcək. Rauf gülür: «Deməli, tənliyin kökləri mənfi beş və altıdır!» Bəli. Tənlik iki tərəfin bərabər olduğu yeri soruşurdu, çertyoj isə iki xəttin görüşdüyü yeri göstərdi. Bu, eyni sualdır. Bir gün bu dərənin üstündən kabinələr süzəcək. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: kvadrat tənliyi həll etmək parabola ilə düz xəttin görüşünü tapmaqdır. İks kvadratı tək saxlayın, qalan hədləri işarəsini dəyişərək o biri tərəfə keçirin. Parabolanı və düz xətti qurun, ortaq nöqtələrin absislərini oxuyun və yerinə qoymaqla yoxlayın. Ortaq nöqtələrin sayı köklərin sayını deyir, cavab isə çox vaxt təqribi olur. Oxu dərsində və videoda bu üsulu başqa nümunələrlə görəcəksiniz. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!