Kvadrat tənliyin qrafik üsulla həlli

• 3.12
• 8‑ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliyin qrafik üsulla həlli

x² − 2x = 5,25 tənliyinin köklərini tapmaq üçün hələ düstur bilmirik. Parabola çəkilmiş vərəqin üstünə xətkeş qoy: xətkeşin kənarı parabolanı kəsən nöqtələrin absisləri elə tənliyin kökləridir.

Bu dərsdə

• tənliyi x² = −px − q şəklində yazıb köklərin niyə parabola ilə düz xəttin ortaq nöqtələrinin absisləri olduğunu izah edəcəksən;
• iki qrafiki cədvəllə qurub kökləri oxuyacaq, yerinə qoymaqla yoxlayacaq, ax² + bx + c = 0 tənliyini əvvəlcə a-ya böləcəksən;
• ortaq nöqtələrin sayına görə köklərin sayını deyəcək və qrafik üsulun nə vaxt təqribi cavab verdiyini biləcəksən.

Xətkeş parabolanı iki nöqtədə kəsir

BaşlaYenidənYenidən

1. Kəşf et
2. Qrafik üsul
3. Hesabla
4. Diqqət
5. Qrafkalkulyator
6. Özünü yoxla
7. Yekun

1 · Kəşf et

Tənlik iki qrafikin görüşüdür

Tənliyi elə yazaq ki, bir tərəfdə yalnız x² qalsın: x² − 2x = 5,25 tənliyində −2x həddini sağ tərəfə keçirəndə işarəsi dəyişir:

x² = 2x + 5,25

Sol tərəf y = x² funksiyasıdır, sağ tərəf isə y = 2x + 5,25 xətti funksiyası. Hər x üçün hər iki funksiyanın bir qiyməti var — qrafikdə bu, həmin x-də parabolanın və düz xəttin hündürlüyüdür. Tənlik o x-lər üçün doğrudur ki, iki hündürlük bərabər olsun.

x-i seç və hündürlükləri müqayisə et

−2,2 −1,5 0 3,5

Parabolanın və düz xəttin hündürlükləri

x = −2,2: x² = 4,84, amma 2x + 5,25 = 0,85. Parabola xəttdən yuxarıdadır — bərabərlik ödənmir, −2,2 kök deyil.

x = −1,5: x² = 2,25 və 2x + 5,25 = −3 + 5,25 = 2,25. Hündürlüklər bərabərdir: qrafiklər (−1,5; 2,25) nöqtəsində görüşür, −1,5 kökdür.

x = 0: x² = 0, amma 2x + 5,25 = 5,25. İndi xətt yuxarıdadır — 0 kök deyil.

x = 3,5: x² = 12,25 və 2x + 5,25 = 7 + 5,25 = 12,25. Yenə bərabərdir: ortaq nöqtə (3,5; 12,25), 3,5 kökdür.

Mavi sütun — x²-nın qiyməti, narıncı sütun — 2x + 5,25-in qiyməti. Bərabər olduqları yerdə qrafiklərin ortaq nöqtəsi var.

Deməli, ortaq nöqtədə x tənliyi ödəyir, y isə yalnız hər iki tərəfin ortaq qiymətidir. Ona görə kök ortaq nöqtənin absisi (x koordinatı) olur, ordinatı yox. −1,5‑dən solda və 3,5‑dən sağda parabola xəttdən yuxarı qalxır, aralarında isə xəttdən aşağıdadır — başqa ortaq nöqtə yoxdur.

2 · Qayda

Qrafik üsul: parabola və düz xətt

Qrafik üsul

Dərslikdə belə deyilir: «x² + px + q = 0 tənliyini x² = − px − q şəklində yazaq. y = x² parabolası ilə y = −px − q düz xəttinin kəsişmə nöqtələrinin absisləri verilmiş tənliyin kökü olar.»

x² + px + q = 0⇔ x² = −px − q

• y = x² — sol tərəf, parabola (mavi);
• y = −px − q — sağ tərəf, düz xətt (narıncı); onu iki nöqtə ilə qururuq;
• köklər — ortaq nöqtələrin absisləri (yaşıl).

Kök düsturu olmadan tapmaq üçün tənliyi həmişə bu şəklə gətiririk: sol tərəfdə yalnız x², qalan hədlər işarəsini dəyişərək sağa keçir. Parabola hər tənlik üçün eynidir — dəyişən yalnız düz xəttdir, yəni xətkeşin yeridir.

Xətkeşi sürüşdür

Xətkeşi əyməyib paralel aşağı sürüşdürək: bütün xətlərin bucaq əmsalı 3‑dür, dəyişən yalnız sərbəst həddir. Ortaq nöqtələrin sayı necə dəyişir?

Düz xətti seç

y = 3x + 6,75 y = 3x − 2,25 y = 3x − 3,5

Xətkeşi paralel sürüşdürmək: iki, bir və heç bir ortaq nöqtə

y = 3x + 6,75: tənlik x² − 3x − 6,75 = 0. Xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir: (−1,5; 2,25) və (4,5; 20,25). İki müxtəlif kök: −1,5 və 4,5.

y = 3x − 2,25: tənlik x² − 3x + 2,25 = 0. Xətt parabolaya (1,5; 2,25) nöqtəsində toxunur — ortaq nöqtə birdir. Tənliyi ödəyən ədəd yeganədir: x = 1,5. Yoxlama: x² − 3x + 2,25 = (x − 1,5)², bu isə yalnız x = 1,5‑də sıfırdır.

y = 3x − 3,5: tənlik x² − 3x + 3,5 = 0. Xətt parabolanın altından keçir — ortaq nöqtə yoxdur, tənliyin həqiqi kökü yoxdur. Yoxlama: x² − 3x + 3,5 = (x − 1,5)² + 1,25 > 0.

Qırıq boz xətlər — digər iki vəziyyət. Xətkeş aşağı düşdükcə iki ortaq nöqtə bir-birinə yaxınlaşır, birləşib toxunma nöqtəsinə çevrilir, sonra yox olur.

İki ortaq nöqtə

İki ortaq nöqtə

Tənliyin iki müxtəlif kökü var.

Bir ortaq nöqtə (toxunma)

Bir ortaq nöqtə (toxunma)

Tənliyi ödəyən ədəd yeganədir.

Ortaq nöqtə yoxdur

Ortaq nöqtə yoxdur

Tənliyin həqiqi kökü yoxdur.

Dərslik bu üç halı belə yekunlaşdırır: parabola ilə düz xətt kəsişə bilər (tənliyin iki müxtəlif kökü var), bir ortaq nöqtəsi ola bilər (tənliyi ödəyən ədəd yeganədir), ya da ortaq nöqtəsi olmaya bilər (həqiqi kökü yoxdur).

3 · Hesabla

Addım-addım qrafik həll

Hər həll eyni beş addımdan keçir: yaz → parabola → düz xətt → oxu → yoxla. Yoxlama vacibdir: qrafikdən oxunan ədəd çox vaxt göz ilə tapılır.

Nümunə 1İki dəqiq kök

x² − 2x = 5,25 tənliyini qrafik üsulla həll edin.

1. Bir tərəfdə yalnız x² saxlayırıq: x² = 2x + 5,25.
2. y = x² parabolasını cədvəllə qururuq (bu cədvəl hər tənlik üçün eynidir): y = x² üçün cədvəl x −3 −2 −1 0 1 2 3 y 9 4 1 0 1 4 9
3. y = 2x + 5,25 düz xətti üçün iki nöqtə kifayətdir: y = 2x + 5,25 üçün cədvəl x 0 1 y 5,25 7,25
4. Qrafiklər iki nöqtədə kəsişir: (−1,5; 2,25) və (3,5; 12,25). Onların absisləri −1,5 və 3,5‑dir.
5. Yoxlayırıq — hər iki ədəd tənliyi ödəyir: (−1,5)² − 2 · (−1,5) = 2,25 + 3 = 5,25 ✓3,5² − 2 · 3,5 = 12,25 − 7 = 5,25 ✓ x₁ = −1,5; x₂ = 3,5

Nümunə 1: y = x² və y = 2x + 5,25

BaşlaYenidənYenidən

Qurma ardıcıllığı: cədvəl nöqtələri → parabola → xəttin iki nöqtəsi → xətt → ortaq nöqtələr → Ox-a düşən xətlər → köklər.

Nümunə 2Əvvəl a-ya böl

−2x² − 4x + 10,5 = 0 tənliyini qrafik üsulla həll edin.

1. Burada x²‑nın əmsalı a = −2‑dir. Dərslik məsləhət görür: tənliyin hər iki tərəfini a ≠ 0 ədədinə bölüb çevrilmiş kvadrat tənliyə gətirək. −2‑yə bölürük — bütün işarələr dəyişir: x² + 2x − 5,25 = 0.
2. x²‑dan başqa hədləri sağa keçiririk: x² = −2x + 5,25.
3. Düz xətt üçün cədvəl: y = −2x + 5,25 üçün cədvəl x 0 1 y 5,25 3,25
4. Ortaq nöqtələr: (−3,5; 12,25) və (1,5; 2,25), absisləri −3,5 və 1,5.
5. Yoxlamanı ilkin tənlikdə edirik (x² = 12,25 və x² = 2,25): −2 · 12,25 − 4 · (−3,5) + 10,5 = −24,5 + 14 + 10,5 = 0 ✓−2 · 2,25 − 4 · 1,5 + 10,5 = −4,5 − 6 + 10,5 = 0 ✓ x₁ = −3,5; x₂ = 1,5

Nümunə 2: y = x² və y = −2x + 5,25

Bu şəkil Nümunə 1‑in güzgü əksidir: x-in işarəsini dəyişsək, bir tənlik digərinə keçir, köklərin də işarəsi dəyişir.

Nümunə 3Təqribi kök

x² − x − 1,5 = 0 tənliyinin köklərini qrafik üsulla tapın.

1. x² = x + 1,5; düz xətt (0; 1,5) və (1; 2,5) nöqtələrindən keçir.
2. Ortaq nöqtələr şəbəkə xətlərinin üstünə düşmür: absisləri təxminən −0,8 və 1,8‑dir.
3. Yerinə qoyaq: x = 1,8‑də x² = 3,24, x + 1,5 = 3,3 — bərabər deyil, amma çox yaxındır. 1,9‑da isə artıq parabola yuxarıdadır. Deməli, kök 1,8 ilə 1,9 arasındadır və 1,8‑ə daha yaxındır. Mənfi kök də eyni qayda ilə −0,9 ilə −0,8 arasındadır. Lupadakı yoxlama x x² x + 1,5 Hansı böyükdür? 1,8 3,24 3,3 xətt 1,9 3,61 3,4 parabola −0,8 0,64 0,7 xətt −0,9 0,81 0,6 parabola x₁ ≈ −0,8; x₂ ≈ 1,8

Dərslik xəbərdarlıq edir: «Qrafik üsulla həll zamanı bir çox hallarda dəqiq deyil, təqribi həlli tapmaq olur.» Bu köklərin dəqiq qiymətini növbəti mövzuda kök düsturu ilə tapacaqsan.

Nümunə 3: y = x² və y = x + 1,5, böyüdülmüş pəncərə ilə

Yuxarıda bütün qrafik, aşağıda çərçivəli hissənin lupası: orada bir xana 0,1‑dir və kəsişmə 1,8 ilə 1,9 arasında görünür.

4 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Qrafik üsulda səhvlərin çoxu ya köçürmədə, ya da oxumada olur.

1. Ordinatı kök yazmaq

Səhv

köklər: 2,25 və 12,25

x² − 2x = 5,25 tənliyində bunlar ortaq nöqtələrin ordinatlarıdır — iki tərəfin ortaq qiyməti.

Düzgün

köklər: −1,5 və 3,5

Kök tənliyi ödəyən x-dir, yəni nöqtənin absisi.

2. Həddi keçirəndə işarəni saxlamaq

Səhv

x² + 2x − 5,25 = 0 → x² = 2x − 5,25

İşarələr dəyişməyib. Bu xətt parabolaya çatmır və «kök yoxdur» kimi səhv nəticə verir.

Düzgün

x² = −2x + 5,25

Hər iki hədd sağa keçəndə işarəsini dəyişir; xətt parabolanı iki nöqtədə kəsir.

İşarə səhvi: düzgün və səhv düz xətt

İşarə səhvi tamam başqa xətt çəkdirir: düzgün xətt iki kök verir, səhv xətt isə parabolanın altından keçir. Yoxlama: x² − 2x + 5,25 = (x − 1)² + 4,25 heç vaxt sıfır olmur.

3. Toxunmanı səhv oxumaq

Səhv

x² − 3x + 2,25 = 0: kök yoxdur (və ya ±1,5)

Toxunma nöqtəsi də ortaq nöqtədir; simmetrik cüt isə burada yoxdur.

Düzgün

yeganə kök: x = 1,5

Xətt parabolaya bir nöqtədə toxunur — tənliyi ödəyən ədəd birdir.

4. a-ya bölməyi unutmaq

Səhv

−2x² − 4x + 10,5 = 0 → x² = −4x + 10,5

Sol tərəfdə əslində −2x² var idi: belə xətt başqa tənliyi həll edir.

Düzgün

əvvəl −2‑yə böl: x² = −2x + 5,25

Yalnız çevrilmiş tənlikdə sol tərəf düz y = x² olur.

5 · Qrafkalkulyator

Kompüter də eyni üsulla həll edir

Əl ilə çəkilən qrafikdə kökü ən çoxu onda bir dəqiqliklə oxuyuruq. Dərslikdə deyilir: «Qrafkalkulyatorla bir koordinat müstəvisi üzərində parabolanı və düz xətti qurmaqla kvadrat tənlikləri qrafik üsulla həll edə bilərsiniz.»

Ekranda−x² + x + 5 = 0

1. −1‑ə bölürük: x² − x − 5 = 0, yəni x² = x + 5.
2. Qrafkalkulyatora iki funksiya yazırıq: y₁ = x² və y₂ = x + 5.
3. Proqram kəsişmə nöqtələrini göstərir: x ≈ −1,791 və x ≈ 2,791.
4. Yoxlama: 2,791² ≈ 7,790, 2,791 + 5 = 7,791 — fərq cəmi mində birdir. x₁ ≈ −1,791; x₂ ≈ 2,791

Ekranı böyütdükcə daha çox rəqəm görünür, amma cavab yenə təqribidir. Qrafkalkulyator vaxta qənaət edir; nəyi çəkməyi isə sən seçirsən — tənliyi düzgün şəklə gətirmək yenə səndən asılıdır.

Qrafkalkulyatorun ekranı

Ekran sxemi: iki funksiya, iki qrafik və kəsişmələrin absisləri.

6 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan x² + 0,8x − 1,2 = 0 tənliyini qrafik üsulla həll etmək üçün y = x² ilə hansı düz xətt qurulmalıdır? Cavab variantları y = 0,8x − 1,2 y = −0,8x + 1,2 y = 0,8x + 1,2 y = −0,8x − 1,2 Düzdür! Hər iki hədd işarəsini dəyişərək sağa keçir. Yox. 0,8x və −1,2 sağa keçəndə hər ikisinin işarəsi dəyişir. Həllə bax x² = −0,8x + 1,2. Deməli, y = x² ilə y = −0,8x + 1,2 qurulur. y = 0,8x − 1,2 işarələri dəyişməmiş xəttdir, digər ikisində isə yalnız bir işarə dəyişib.
2. Asan y = x² parabolası ilə düz xətt (−0,6; 0,36) və (2,4; 5,76) nöqtələrində kəsişir. Uyğun kvadrat tənliyin kökləri hansılardır? Cavab variantları 0,36 və 5,76 −0,6 və 2,4 yalnız 2,4 0,6 və −2,4 Əla! Köklər ortaq nöqtələrin absisləridir. Kök nöqtənin birinci koordinatıdır (absis), işarəsi ilə birlikdə; hər ortaq nöqtə bir kök verir. Həllə bax Absislər −0,6 və 2,4‑dür. 0,36 və 5,76 ordinatlardır; «yalnız 2,4» mənfi kökü unudur; 0,6 və −2,4‑də işarələr dəyişdirilib.
3. Orta y = 7x − 12,25 düz xətti y = x² parabolasına (3,5; 12,25) nöqtəsində toxunur. x² − 7x + 12,25 = 0 tənliyinin neçə həqiqi kökü var? Cavab variantları iki kök: −3,5 və 3,5 bir kök: 3,5 həqiqi kökü yoxdur bir kök: 12,25 Düzdür! Toxunma — bir ortaq nöqtə, yeganə kök. Toxunma nöqtəsi də ortaq nöqtədir və kök onun absisidir. Həllə bax x² − 7x + 12,25 = 0 ⇔ x² = 7x − 12,25 — məhz bu xətt parabolaya toxunur. Ortaq nöqtə birdir, kök 3,5. −3,5 qrafikdə ortaq nöqtə deyil: (−3,5)² = 12,25, amma 7 · (−3,5) − 12,25 = −36,75. 12,25 isə ordinatdır.
4. Orta 4x² − 6x − 9 = 0 tənliyi üçün y = x² ilə hansı düz xətt qurulmalıdır? Cavab variantları y = 6x + 9 y = 1,5x + 2,25 y = −1,5x − 2,25 y = 1,5x + 9 Düzdür! Əvvəl 4‑ə böldük, sonra hədləri keçirdik. Əvvəl hər iki tərəfi 4‑ə böl, sonra x²‑dan başqa hədləri işarəsini dəyişərək sağa keçir. Həllə bax 4‑ə bölürük: x² − 1,5x − 2,25 = 0, sonra x² = 1,5x + 2,25. y = 6x + 9 bölünməmiş halda alınır (sol tərəf 4x² olardı); y = −1,5x − 2,25‑də işarələr dəyişməyib; y = 1,5x + 9‑da yalnız bir hədd bölünüb.
5. Çətin x² − 3x + k = 0 tənliyinin k-nın hansı qiymətində həqiqi kökü yoxdur? (İpucu: «Xətkeşi sürüşdür» laboratoriyasını xatırla.) Cavab variantları k = 2,25 k = 1,5 k = 3 k = −3 Əla! Xətt toxunan xəttdən aşağıdadır. Tənliyi x² = 3x − k şəklində yaz və xətti y = 3x − 2,25 toxunan xətti ilə müqayisə et. Həllə bax x² = 3x − k. Bütün bu xətlər y = 3x − 2,25 toxunan xəttinə paraleldir. Sərbəst hədd −k toxunanınkından kiçik olanda (−k < −2,25, yəni k > 2,25) xətt parabolanın altından keçir. k = 3 belədir: x² − 3x + 3 = (x − 1,5)² + 0,75 > 0. k = 2,25 toxunmadır (bir kök), k = 1,5 və k = −3‑də xətt yuxarıdadır və iki ortaq nöqtə var.
6. Çətin y = x² və y = kx − 6,75 qrafikləri absisi 1,5 olan nöqtədə kəsişir. k neçədir? Cavab variantları k = 1,5 k = −3 k = 6 k = 9 Düzdür! Ortaq nöqtə hər iki qrafikin üzərindədir. Ortaq nöqtənin ordinatı 1,5² = 2,25‑dir; bu nöqtə xəttin də üzərindədir. Həllə bax Ortaq nöqtə (1,5; 2,25). Xəttin tənliyində yerinə qoyuruq: 2,25 = 1,5k − 6,75, buradan 1,5k = 9, k = 6. k = −3 sərbəst həddin işarəsi səhv götürüləndə, k = 9 isə 1,5‑ə bölməyi unudanda alınır; 1,5 isə absisdir, k deyil.

Yekun

Yadda qalanlar

• x² = −px − qTənliyi bu şəklə gətir; ax² + bx + c = 0 olanda əvvəl a-ya böl.
• Köklər = absisləry = x² parabolası ilə düz xəttin ortaq nöqtələrinin x-ləri; yerinə qoyub yoxla.
• 2 · 1 · 0Kəsişmə — iki kök, toxunma — yeganə kök, ortaq nöqtə yoxdur — həqiqi kök yoxdur; qrafik çox vaxt təqribi cavab verir.

Növbəti mövzu: 3.13 Kvadrat tənliyin kökləri düsturu — təqribi oxuduğumuz kökləri orada dəqiq tapacaqsan.

Mənbə: «Riyaziyyat. Dərslik. 8‑ci sinif», «Kvadrat tənliyin qrafik üsulla həlli», səh. 57–58 («Qrafik üsul» qutusu, a ≠ 0‑a bölmək, təqribi həll, qrafkalkulyator). Bütün tənliklər, ədədlər və qrafiklər bu dərs üçün seçilib və dəqiq hesablanıb; dərslikdəki nümunələr və tapşırıqlar təkrarlanmır.