Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər: tonqal başında tapmaca

Mətn (transkript)

Təsəvvür edin: Novruz bayramının axşamıdır. Həyətdə tonqal yanır, odun çırtıldayır, qığılcımlar qaranlıq göyə qalxır. Süfrədə səməni, şəkərbura və paxlava var. Tonqalın yanında iki nəfər oturub: səkkizinci sinifdə oxuyan Nərgiz və onun dayısı Elşən. Dayı hər bayram axşamı bir riyazi tapmaca deyir. Dayı Elşən gülümsəyir: «Bu ilki tapmacam belədir. Bir ədəd fikirləşmişəm. Onun kvadratından modulunun dörd mislini çıxsam, qırx beş qalır. Ədədimi tap.» Nərgiz dəftərini açır. Modul, yəni ədədin işarəsiz qiyməti, onu bir az narahat edir. Nərgiz fikirləşir: «Modul işi qarışdırır. Gəl onu sadəcə silim.» Modulu silən kimi qarşısına tanış bir kvadrat tənlik çıxır. Kökləri seçmə üsulu ilə tez tapır: hasili mənfi qırx beş, cəmi dörd olan iki ədəd. «Tapdım! İki cavab var: doqquz və mənfi beş.» Dayı sakitcə cavab verir: «Doqquz, doğrudan da, tapmacanı ödəyir. Amma mənfi beş ödəmir, yoxla. Mənim fikirləşdiyim ədəd isə tamam başqadır: mənfi doqquz.» Nərgiz mənfi beşi yoxlayır və görür ki, dayı haqlıdır. Mənfi doqquz isə onun cavablarında heç yox idi. Bəs nə oldu? Mənfi beş haradan gəldi? Mənfi doqquz hara itdi? Və bu tapmacada, modulun arxasında, hansı kvadrat tənlik gizlənib? Bu gün bu sualların cavabını birlikdə tapacağıq. Salam, əziz dinləyici! Bugünkü mövzumuz kvadrat tənliyə gətirilən tənliklərdir. Siz kvadrat tənliyi kök düsturu ilə, vuruqlara ayırmaqla və Viyet teoremi ilə həll etməyi artıq bilirsiniz. Bu gün görəcəyik ki, bəzi tənliklər əvvəlcə heç kvadrat tənliyə oxşamır: içində iks dördüncü dərəcədən, modul və ya kvadrat kök olur. Amma onların içində tanış bir kvadrat tənlik gizlənib. Onu tapmağın açarı bir fikirdir: yeni dəyişən. Əvvəlcə ən sadə gizlənmədən başlayaq. Bu tənliyə qulaq asın: iks çıx iki ifadəsinin kvadratından həmin ifadənin dörd mislini çıxırıq, sonra beş də çıxırıq və sıfır alırıq. Diqqət edin: «iks çıx iki» ifadəsi tənlikdə iki dəfə görünür. Bir dəfə kvadratın içində, bir dəfə də tək. Gəlin bu təkrarlanan ifadəni bir qutuya qoyaq və qutunun üstünə bir hərf yazaq: te. Dərslik buna yeni dəyişən daxil etmək, yaxud əvəzləmə deyir. Qutunun içinə baxmasaq, tənlik çox sadələşir: te kvadrat, çıx dörd te, çıx beş, bərabərdir sıfıra. Bu, adi kvadrat tənlikdir. Hasili mənfi beş, cəmi dörd olan iki ədəd axtarırıq: beş və mənfi bir. Amma iş hələ bitməyib. Biz te-ni tapdıq, iksi yox. İndi qutunu açırıq, yəni əvəzləməni nəzərə alırıq. İks çıx iki beşə bərabərdirsə, iks yeddidir. İks çıx iki mənfi birə bərabərdirsə, iks birdir. Burada mənfi te də tamamilə yerindədir, çünki iks çıx iki istənilən ədəd ola bilər. Cavab: bir və yeddi. Ən çox edilən səhv elə buradadır: te-nin qiymətlərini, yəni beşi və mənfi biri, cavab kimi yazıb dayanmaq. Te yalnız qutunun içindəkidir, sual isə iks haqqındadır. Dərsliyin son məsləhətini də unutmayın: tapdığınız iksləri ilkin tənlikdə yerinə yazıb yoxlayın. Mötərizələri açıb da həll etmək olardı, amma yeni dəyişən yolu daha qısa və daha aydındır. İndi daha qorxulu görünən bir tənliyə keçək: iks dördüncü dərəcədən, üstəgəl beş iks kvadrat, çıx altmış altı, bərabərdir sıfıra. Dördüncü dərəcə! Bəs burada kvadrat tənlik haradadır? Sirr budur: iks dördüncü dərəcədən, iks kvadratın kvadratıdır. Deməli, təkrarlanan blok iks kvadratdır. İks kvadratı te ilə əvəz edək. Tənlik belə olur: te kvadrat, üstəgəl beş te, çıx altmış altı, bərabərdir sıfıra. Hasili mənfi altmış altı, cəmi mənfi beş olan iki ədəd axtarırıq: altı və mənfi on bir. İndi qutunu açırıq, amma bu dəfə qutunun bir qaydası var: iks kvadrat heç vaxt mənfi olmur. İks kvadrat mənfi on birə bərabər ola bilməz, bu halda kök yoxdur. Mənfi on bir olan te-ni atırıq. Qalır: iks kvadrat altıya bərabərdir. Burada ikinci tələ gizlənir: belə ədəd bir deyil, ikidir. Altının kvadrat kökü də, onun mənfi işarəlisi də kvadrata yüksələndə altı verir. Cavab: altının kvadrat kökü və mənfi işarə ilə altının kvadrat kökü. Ümumi qayda belədir: müsbət te iki kök verir, sıfır te yalnız bir kök, yəni sıfırı, mənfi te isə heç bir kök vermir. Ona görə belə tənliyin ən çox dörd kökü olur, bəzən isə heç biri olmur. Bu tənliklərə bəzən bikvadrat tənlik də deyirlər, amma üsul eynidir: yeni dəyişən. İndi tonqalın yanına qayıdaq. Dayı Elşənin tapmacasında təkrarlanan blok nədir? Modul. Modul ədədin sıfırdan məsafəsidir: doqquzun da, mənfi doqquzun da modulu doqquzdur. Ən vacibi isə budur: ədədin kvadratı onun modulunun kvadratına bərabərdir, çünki kvadrata yüksəldəndə işarə onsuz da itir. Deməli, tapmacadakı iks kvadrat əslində modulun kvadratıdır. İksin modulunu te ilə əvəz edək. Tapmaca belə olur: te kvadrat, çıx dörd te, çıx qırx beş, bərabərdir sıfıra. Bu, Nərgizin həll etdiyi tənliyin eynisidir, sadəcə hərf başqadır. Köklər yenə doqquz və mənfi beşdir. Amma bunlar iks deyil, modulun qiymətləridir. Modul məsafədir, məsafə isə mənfi olmur. Deməli, mənfi beş olan te-ni atırıq. Bir anlıq dayanın və fikirləşin: iksin modulu doqquzdursa, iks neçədir? Sıfırdan doqquz vahid uzaqlıqda iki nöqtə var: doqquz və mənfi doqquz. Dayının fikirləşdiyi mənfi doqquz də buradadır! Bəs Nərgiz harada yanıldı? Modulu silmək iksi müsbət saymaq deməkdir. Modulsuz yazılan tənlik yalnız müsbət iks üçün tapmacanın eynisidir. Ona görə Nərgiz mənfi doqquzu itirdi, mənfi beşi isə artıq kök kimi tapdı. Kvadrat kök olan tənliklər də eyni ailədəndir. İksin kvadrat kökünü te ilə əvəz edəndə iks te-nin kvadratı olur. Kvadrat kök də heç vaxt mənfi olmur, ona görə mənfi te yenə atılır. Burada tipik səhv mənfi te-ni kvadrata yüksəldib cavaba yazmaqdır, halbuki kvadrat kökü mənfi ədəd olan iks yoxdur. Beləliklə, iks kvadrat, modul və kvadrat kök üçün bir qızıl qayda var: te mənfi ola bilməz. Bəs blokun özü kvadrat ifadə olsa? Bu tənliyə qulaq asın: iks kvadrat üstəgəl altı iks ifadəsinin kvadratından həmin ifadənin iki mislini çıxırıq, sonra otuz beş də çıxırıq və sıfır alırıq. Təkrarlanan blok iks kvadrat üstəgəl altı iksdir. Onu te ilə əvəz edirik: te kvadrat, çıx iki te, çıx otuz beş, bərabərdir sıfıra. Hasili mənfi otuz beş, cəmi iki olan iki ədəd: yeddi və mənfi beş. Mənfi beş! Tapmacada mənfi beş olan te-ni atmışdıq. Bəs burada? Bu dəfə tələsməyin! İks kvadrat üstəgəl altı iks mənfi ola bilər. Məsələn, iks mənfi bir olanda bu ifadə düz mənfi beşə bərabərdir. Burada qayda başqadır: hər te üçün ayrıca kvadrat tənlik yazırıq və onun diskriminantına baxırıq. Te yeddi olanda iks kvadrat üstəgəl altı iks yeddiyə bərabərdir. Buradan iks ya bir, ya da mənfi yeddi alınır. Te mənfi beş olanda isə iks kvadrat üstəgəl altı iks mənfi beşə bərabərdir. Bu tənliyin diskriminantı müsbətdir, o da iki kök verir: mənfi bir və mənfi beş. Deməli, tənliyin dörd kökü var: bir, mənfi bir, mənfi beş və mənfi yeddi. Başqa tənlikdə mənfi te-nin diskriminantı mənfi çıxa bilər, onda həmin te kök vermir. Ona görə belə te-ni vərdişlə atmırıq, diskriminantla yoxlayırıq. Bir tələ də var: kökü olmayan tənliyə Viyet teoremini tətbiq edib, olmayan köklərin cəmini cavaba qatmaq. Son fəsildə gizlənmənin başqa bir növünə baxaq: mötərizələr. Bu tənliyə qulaq asın: iks üstəgəl iki ilə iks üstəgəl dördün hasili səkkizə bərabərdir. Tələsən şagird belə düşünür: «Hasil səkkizdirsə, vuruqlardan biri səkkizdir.» Hər mötərizəni səkkizə bərabər edir və iks üçün altı, ya da dörd yazır. Yoxlayaq. İks altı olanda birinci vuruq elə səkkizin özüdür, ikinci vuruq isə ondan böyükdür, hasil səkkizdən xeyli çox alınır. Vuruqları ayrı-ayrılıqda bərabərləşdirmək yalnız hasil sıfır olanda işləyir. Hasil başqa ədədə bərabərdirsə, əvvəlcə mötərizələri açırıq və hər şeyi bir tərəfə toplayırıq. Burada maraqlı bir şey olur: mötərizələri açanda sol tərəfdə də səkkiz yaranır və səkkizlər bir-birini yox edir. Qalır: iks kvadrat üstəgəl altı iks, bərabərdir sıfıra. İksi mötərizə xaricinə çıxarırıq və cavabı alırıq: sıfır və mənfi altı. Eyni yol ədədi məxrəcli kəsrlərə də aiddir. Tənliyin hər iki tərəfini ortaq məxrəcə vururuq. Diqqət: bütün hədləri vururuq, təkcə kəsrləri yox. Kəsrin qarşısında mənfi işarəsi varsa, o, surətin bütün hədlərinə aiddir. Sonra yenə hər şeyi bir tərəfə toplayırıq və tanış kvadrat tənlik alırıq. Belə tənliklərdə yeni dəyişən lazım deyil: kvadrat tənlik sadəcə mötərizələrin və kəsrlərin arxasında gizlənib. Gəlin hər şeyi bir yerə yığaq. Gizli kvadrat tənliyi açmaq dörd addımdır. Birincisi: təkrarlanan bloku tapın və onu te ilə adlandırın. İkincisi: te üçün kvadrat tənliyi həll edin. Üçüncüsü: qutunu açın, yəni iksə qayıdın və blokun qaydasını yadda saxlayın. İks kvadrat, modul və kvadrat kök üçün te mənfi ola bilməz. Kvadrat blokda hər te üçün diskriminanta baxılır. Xətti ifadə olan blokda isə, məsələn iks çıx ikidə, istənilən te yerindədir. Dördüncüsü: hər iksi ilkin tənlikdə yoxlayın. İndi yenə tonqalın yanına qayıdaq. Qığılcımlar hələ də göyə qalxır. Nərgiz dəftərinə yenidən baxır və hər şeyi başa düşür. Tapmacadakı kvadrat tənlik modulun arxasında gizlənmişdi. Modulu te ilə adlandıranda doqquz və mənfi beş alınır. Modul mənfi beş ola bilməz, çünki məsafə mənfi olmur. Doqquz isə iki ədəd verir: doqquz və mənfi doqquz. Nərgiz dayısına gülümsəyir: «Sənin ədədin mənfi doqquz idi, amma doqquz da tapmacanı ödəyir. Deməli, tapmacanın iki cavabı var.» Dayı razılıqla başını tərpədir. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: qorxulu görünən tənliyin içində çox vaxt tanış bir kvadrat tənlik gizlənir. Onu yeni dəyişənlə tapın, amma iksə qayıdanda te-nin qaydasını yoxlayın və hər cavabı ilkin tənlikdə sınayın. Addım-addım həlləri oxu dərsində və videoda tapa bilərsiniz. Növbəti bayram axşamı siz də dostlarınıza belə bir tapmaca deyin. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!