Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər

• 3.15
• 8-ci sinif
• Kvadrat tənliklər

Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər

x⁴ − 65x² + 64 = 0 dördüncü dərəcəli tənlikdir. Onu kvadrat tənlik kimi həll etmək olarmı? Olar: x⁴ = (x²)², ona görə x² = t desək, tənlik t² − 65t + 64 = 0 olur. Onun kökləri t = 1 və t = 64, buradan isə dörd kök: ±1 və ±8.

Bu dərsdə

• tənlikdə təkrarlanan ifadəni görüb yeni dəyişən daxil edəcək və tənliyi yeni dəyişənə görə kvadrat tənliyə çevirəcəksən;
• yeni dəyişəndən x-ə qayıdacaq, x², √x və |x| üçün t ≥ 0 şərtini, x² + px = t üçün diskriminantı yoxlayacaqsan;
• mötərizələri açmaqla və ədədi məxrəclərdən azad etməklə tənliyi kvadrat tənliyə gətirəcək, cavabı ilkin tənlikdə yoxlayacaqsan.

Əvəzləmə: x⁴ − 65x² + 64 = 0 tənliyindən dörd kökə

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Üsul
3. Geri qayıdış
4. Hesabla
5. Blok kvadratdırsa
6. Açıb sadələşdir
7. Diqqət
8. Özünü yoxla
9. Yekun

1 · Kəşf et

Eyni tənlik, iki yol

Yadına sal: kvadrat tənliyi vuruqlara ayırmaqla, kök düsturu ilə və ya Viyet teoremi ilə həll etməyi bilirsən. İndi elə tənliyə baxaq ki, ilk baxışda kvadrat tənliyə oxşamır:

(x − 1)² − 3(x − 1) − 10 = 0

1-ci yol: mötərizələri aç

x² − 2x + 1 − 3x + 3 − 10 = 0x² − 5x − 6 = 0(x − 6)(x + 1) = 0x = 6; x = −1

2-ci yol: x − 1-i bir hərflə adlandır

x − 1 = t:t² − 3t − 10 = 0(t − 5)(t + 2) = 0t₁ = 5, t₂ = −2x − 1 = 5 → x = 6x − 1 = −2 → x = −1

Cavab eynidir. İkinci yolda heç nə açmadıq: tənlikdə eyni ifadə — x − 1 — iki dəfə gəlir, bir dəfə kvadratda, bir dəfə birinci dərəcədə. Bu ifadəni bir hərflə adlandıranda tənlik dərhal kvadrat tənlik olur. Belə təkrarlanan ifadəyə bu dərsdə qısaca blok deyəcəyik.

Hook-dakı tənlikdə də blok var: x⁴ = (x²)², deməli x⁴ − 65x² + 64 = 0 tənliyində x² bir dəfə kvadratda, bir dəfə tək gəlir. Orada mötərizə açmaq kömək etmir, əvəzləmə isə edir.

2 · Üsul

Yeni dəyişən daxil etmək

Yadda saxla

Tənlikdə eyni ifadə həm kvadratda, həm birinci dərəcədə gəlirsə, onu yeni dəyişənlə əvəz edirik. Dərslikdə bu, yeni dəyişən daxil etmək (əvəzləmə aparmaq) adlanır.

1. Bloku tap və onu yeni hərflə işarə et: blok = t.
2. t-yə görə kvadrat tənliyi yaz: at² + bt + c = 0.
3. Onu həll et: t₁ və t₂.
4. Əvəzləməni nəzərə al: hər t üçün blok = t tənliyindən x-i tap. Sonra x-in qiymətlərini ilkin tənlikdə yerinə yazıb həllin doğruluğunu yoxla.

Cavab x-in qiymətləridir. t yalnız köməkçi dəyişəndir.

Çətin hissə dördüncü addımdır: bir t-dən iki x, bir x, ya da heç bir x alına bilər. Hansının alınacağı blokun növündən asılıdır — bunu növbəti mərhələdə görəcəyik.

3 · Geri qayıdış

Bir t-dən neçə x alınır?

|x| ədədin 0-dan məsafəsidir. Məsafə mənfi ola bilməz. Ona görə |x| = t tənliyinin kök sayı t-nin işarəsindən asılıdır. Ədəd oxunda bax:

|x| = 5, |x| = 0 və |x| = −2 ədəd oxunda

Başla Yenidən Yenidən

t > 0 olanda iki simmetrik nöqtə, t = 0 olanda bir nöqtə, t < 0 olanda heç bir nöqtə yoxdur.

x² = t tənliyi də eyni cür davranır: x² mənfi ola bilməz, t > 0 olanda isə iki kök var — x = ±√t. √x = t tənliyində hesabi kvadrat kök mənfi olmur, ona görə t < 0 kök vermir, t ≥ 0 olanda x = t². Bütün halları bir cədvəldə toplayaq:

Blok və geri qayıdış

Cədvəl dar ekranda yana sürüşür.

Niyə x² = |x|²?

x² = |x|²

Ədədin kvadratı ilə modulunun kvadratı eynidir: (−3)² = 3² = 9. Ona görə x² + b|x| + c = 0 tənliyi |x|-ə görə kvadrat tənlikdir.

Niyə x = (√x)²?

√x = t ⇒ x = t²

x ≥ 0 olanda (√x)² = x. Ona görə x + b√x + c = 0 tənliyi √x-ə görə kvadrat tənlikdir.

4 · Hesabla

x², √x və |x| blokları

Hər nümunədə dörd addım eynidir. Fərq yalnız sonuncudadır: hansı t qalır və ondan neçə x alınır.

Nümunə 1Blok x²

x⁴ + 3x² − 18 = 0 tənliyini həll edin.

1. Blok x⁴ = (x²)², ona görə x² = t (t ≥ 0).
2. t t² + 3t − 18 = 0.
3. Köklər (t + 6)(t − 3) = 0: t₁ = −6, t₂ = 3.
4. Rədd x² = −6 — kökü yoxdur, kvadrat mənfi olmur.
5. x x² = 3 → x = ±√3. Yoxla x² = 3 olanda x⁴ = 9: 9 + 9 − 18 = 0. x = −√3; x = √3

Nümunə 2Blok √x

x − 6√x − 27 = 0 tənliyini həll edin.

1. Blok √x = t (t ≥ 0), onda x = t².
2. t t² − 6t − 27 = 0.
3. Köklər (t − 9)(t + 3) = 0: t₁ = 9, t₂ = −3.
4. Rədd √x = −3 — kökü yoxdur, hesabi kvadrat kök mənfi olmur.
5. x √x = 9 → x = 9² = 81. Yoxla 81 − 6 · 9 − 27 = 81 − 54 − 27 = 0. x = 81

Nümunə 3Blok |x|

x² − 6|x| − 40 = 0 tənliyini həll edin.

1. Blok x² = |x|², ona görə |x| = t (t ≥ 0).
2. t t² − 6t − 40 = 0.
3. Köklər (t − 10)(t + 4) = 0: t₁ = 10, t₂ = −4.
4. Rədd |x| = −4 — kökü yoxdur, məsafə mənfi olmur.
5. x |x| = 10 → x = ±10. Yoxla |10| = |−10| = 10, ona görə hər iki kök üçün 100 − 60 − 40 = 0. x = −10; x = 10

Modulu sadəcə silib x² − 6x − 40 = 0 həll etsək, 10 və −4 alardıq. −4 ilkin tənliyi ödəmir: |−4| = 4 olduğundan sol tərəf (−4)² − 6 · 4 − 40 = −48 olur. −10 isə itərdi. |x| = t əvəzləməsi hər iki səhvdən qoruyur.

5 · Blok kvadratdırsa

Bir t — bir kvadrat tənlik

Blok özü x² + px şəklində ola bilər. Onda x-ə qayıdanda hər t üçün ayrıca kvadrat tənlik alınır. Burada t-yə işarə şərti yoxdur: x² + px mənfi də ola bilər. Hər budaqda diskriminanta baxırıq.

Nümunə 4Blok x² − 6x

(x² − 6x)² + 2(x² − 6x) − 63 = 0 tənliyini həll edin.

1. Blok x² − 6x = t: t² + 2t − 63 = 0.
2. Köklər (t + 9)(t − 7) = 0: t₁ = 7, t₂ = −9. İkisi də qalır.
3. t = 7 x² − 6x − 7 = 0, D = 64 > 0: (x − 7)(x + 1) = 0, x = 7 və x = −1.
4. t = −9 x² − 6x + 9 = 0, D = 0: (x − 3)² = 0, x = 3.
5. Yoxla x = 7 və x = −1 üçün blok 7-dir: 7² + 2 · 7 − 63 = 0. x = 3 üçün blok −9-dur: (−9)² + 2 · (−9) − 63 = 0. x = −1; x = 3; x = 7

Nümunə 4-ün budaqları

Başla Yenidən Yenidən

Hər t öz kvadrat tənliyini verir. Mənfi t = −9 burada rədd edilmir: x² − 6x həqiqətən −9 ola bilər (x = 3 olanda).

Budaqda D < 0 olarsa

o budaq kök vermir

Başqa tənlikdə bir t-dən alınan kvadrat tənliyin diskriminantı mənfi ola bilər. Onda o budaqda kök yoxdur və onun «kökləri» üçün Viyet teoremi ilə cəm yazmaq olmaz.

t ≥ 0 yalnız harada?

x², √x, |x|

t ≥ 0 şərti blok özü mənfi ola bilmədikdə yazılır. x² − 6x, x − 1 kimi bloklarda belə şərt yoxdur.

6 · Açıb sadələşdir

Kvadrat tənlik gizlənəndə

Bəzən blok yoxdur, amma tənlik mötərizələri açandan və ya ədədi məxrəclərdən azad edəndən sonra kvadrat tənliyə çevrilir. Əvvəl sadələşdir, sonra standart şəklə gətir: ax² + bx + c = 0.

Nümunə 5Kublar silinir

(x + 1)³ − x³ = 127 tənliyini həll edin.

1. Cəmin kubu: (x + 1)³ = x³ + 3x² + 3x + 1.
2. x³-lər silinir: 3x² + 3x + 1 = 127, yəni 3x² + 3x − 126 = 0.
3. 3-ə bölürük: x² + x − 42 = 0, (x + 7)(x − 6) = 0.
4. Yoxla x = 6: 7³ − 6³ = 343 − 216 = 127; x = −7: (−6)³ − (−7)³ = −216 + 343 = 127. x = −7; x = 6

Tənlik üçüncü dərəcəli görünürdü, amma x³ hədləri bir-birini sildi. Ona görə cəmi iki kök var.

Nümunə 6Ədədi məxrəclər

x² − 22 / − x − 97 / = x + 814 / tənliyini həll edin.

1. Məxrəclərin ən kiçik ortaq bölünəni 14-dür. Hər həddi 14-ə vururuq: 7(x² − 2) − 2(x − 9) = x + 8.
2. Mötərizələri açırıq; mənfi işarə bütün surətə aiddir: 7x² − 14 − 2x + 18 = x + 8.
3. Hamısını sola keçiririk: 7x² − 3x − 4 = 0.
4. D = 9 + 112 = 121 = 11², x₁ = (3 + 11) : 14 = 1, x₂ = (3 − 11) : 14 = −47 / .
5. Yoxla x = 1: sol tərəf −12 / + 87 / = 914 / , sağ tərəf də 914 / . x = −47 / ; x = 1

Burada məxrəclərdə yalnız ədədlər var. Məxrəcində x olan tənliklər ayrıca mövzudur və sonrakı bölmədə öyrənilir.

7 · Diqqət

Dörd tipik səhv

Səhvlərin çoxu dördüncü addımda — t-dən x-ə qayıdanda — olur. Hər cütdə əvvəl səhv düşüncə, sonra düzgün yol.

t-də dayanmaq

Səhv

(x + 7)² − 9(x + 7) + 8 = 0: cavab 1; 8

1 və 8 t-nin qiymətləridir, x-in yox.

Düz

x + 7 = 1, x + 7 = 8 → x = −6; 1

Əvəzləməni nəzərə alıb x-ə qayıdırıq.

± işarəsini unutmaq

Səhv

x⁴ − 7x² + 10 = 0: x = √2; √5

x² = 2 tənliyinin iki kökü var, biri mənfidir.

Düz

x = ±√2; ±√5

t = 2 və t = 5 müsbətdir: hər biri iki x verir, cəmi dörd kök.

Mənfi t-ni saxlamaq

Səhv

x² + 7|x| − 8 = 0: x = ±1; ±8

t = −8 də x-ə çevrilib, amma |x| = −8 mümkün deyil.

Düz

x = ±1

t = 1 qalır, t = −8 rədd edilir. x = 8 yoxlamada da düşür: 64 + 56 − 8 ≠ 0.

Bir həddi vurmağı unutmaq

Səhv

x²3 / − x2 / = 3 → 2x² − 3x = 3

Yalnız kəsrlər 6-ya vurulub, sağdakı 3 yox.

Düz

2x² − 3x = 18

Tənliyin hər həddi 6-ya vurulur: 3 · 6 = 18.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq və ipucu çıxacaq. Hər sualın altında həll var.

1. Asan (x − 3)² − 6(x − 3) + 8 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları 2; 4 5; 7 −1; 1 Düzdür! t = 2 və t = 4, x = t + 3. Yox. Əvvəl t-ni tap, sonra x − 3 = t tənliyindən x-ə qayıt. Həllə bax x − 3 = t: t² − 6t + 8 = 0, (t − 2)(t − 4) = 0. x − 3 = 2 → x = 5; x − 3 = 4 → x = 7. «2; 4» — t-nin qiymətləridir; «−1; 1» — x = t − 3 yazılıb, düzü x = t + 3-dür.
2. Asan x − 4√x + 3 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları 1; 3 9 1; 9 Əla! İki t də müsbətdir: x = 1² və x = 3². Yox. √x = t olanda x = t². Hansı t-nin rədd edilməli olduğunu yoxla. Həllə bax √x = t ≥ 0: t² − 4t + 3 = 0, t = 1 və t = 3. İkisi də ≥ 0, ona görə x = 1 və x = 9. Yoxlama: 1 − 4 + 3 = 0, 9 − 4 · 3 + 3 = 0. «1; 3» — t-lər; «9» — düzgün t = 1 də rədd edilib.
3. Orta 4x⁴ − 3x² − 1 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları 1 −1; 1 −1; −12 / ; 12 / ; 1 −14 / ; 1 Düzdür! t = 1 qalır, t = −1/4 rədd edilir. Yox. x² = t: mənfi t kök vermir, müsbət t isə iki kök verir. Həllə bax x² = t ≥ 0: 4t² − 3t − 1 = 0, (t − 1)(4t + 1) = 0, t = 1 və t = −1/4. x² = −1/4 mümkün deyil; x² = 1 → x = ±1. Yoxlama: 4 − 3 − 1 = 0. «1» — ± unudulub; «−1; −1/2; 1/2; 1» — mənfi t saxlanıb və işarəsi atılıb; «−1/4; 1» — t-lər.
4. Orta x² − 7|x| + 6 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları −6; −1; 1; 6 1; 6 −√6; −1; 1; √6 Düzdür! |x| = 1 və |x| = 6 — hər biri iki kök. Yox. |x| = t (t ≥ 0) götür; t > 0 olanda x = ±t, ±√t yox. Həllə bax |x| = t ≥ 0: t² − 7t + 6 = 0, t = 1 və t = 6. |x| = 1 → x = ±1; |x| = 6 → x = ±6. Yoxlama: 1 − 7 + 6 = 0, 6² − 7 · 6 + 6 = 0. «1; 6» — modul atılıb (x² − 7x + 6 = 0 həll edilib); «−√6; −1; 1; √6» — |x| = t, x² = t kimi qaytarılıb.
5. Çətin (x² − 9x)² + 22(x² − 9x) + 112 = 0 tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları kökü yoxdur −14; −8 1; 2; 7; 8 1; 8 Əla! Hər iki mənfi t öz kvadrat tənliyini verdi. Yox. Blok x² − 9x mənfi ola bilər — iki t-ni də saxla və hər budağı həll et. Həllə bax x² − 9x = t: t² + 22t + 112 = 0, (t + 8)(t + 14) = 0. t = −8: x² − 9x + 8 = 0 → 1; 8. t = −14: x² − 9x + 14 = 0 → 2; 7. «Kökü yoxdur» — mənfi t-lər x² və |x| kimi rədd edilib; «−14; −8» — t-lər; «1; 8» — yalnız bir budaq həll edilib.
6. Çətin x² + 45 / − x + 52 / = x − 910 / tənliyinin kökləri hansılardır? Cavab variantları 1; −4 kökü yoxdur −1; 4 Düzdür! 10-a vurub sadələşdirəndə x² − 3x − 4 = 0 alınır. Yox. Hər həddi 10-a vur və mənfi işarəni bütün surətə payla. Həllə bax ƏKOB 10: 2(x² + 4) − 5(x + 5) = x − 9, 2x² + 8 − 5x − 25 − x + 9 = 0, 2x² − 6x − 8 = 0, x² − 3x − 4 = 0, (x − 4)(x + 1) = 0. Yoxlama x = 4: 4 − 4,5 = −0,5 və (4 − 9) : 10 = −0,5. «1; −4» — köklərin işarəsi dəyişib; «kökü yoxdur» — −5(x + 5) yerinə −5x + 25 yazılıb, onda 2x² − 6x + 42 = 0 alınır, D < 0.

9 · Yekun

Üç şeyi yadda saxla

• Bloku tap, t deEyni ifadə kvadratda və birinci dərəcədə gəlirsə, yeni dəyişən daxil et: tənlik t-yə görə kvadrat tənlik olur.
• Cavab x-dir, t yoxHər t-dən x-ə qayıt. x², √x, |x| üçün t ≥ 0 olmalıdır; x² + px = t isə hər t üçün ayrıca kvadrat tənlikdir — D-yə bax.
• Aç, vur, yoxlaMötərizələri aç, ədədi məxrəcləri ƏKOB-a vurub at, standart şəklə gətir. Hər cavabı ilkin tənlikdə yoxla.

Növbəti mövzu: 3.16 Kvadrat tənliklərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Kvadrat tənliyə gətirilən tənliklər», səh. 66 (yeni dəyişən daxil etmək, x + a = t, x² − x = t, x² = t, √x = t və |x| = t əvəzləmələri, «kökü yoxdur» halı, ilkin tənlikdə yoxlama, mötərizələri açmaqla və ədədi məxrəclərlə kvadrat tənliyə gətirmə). Tipik səhvlər DİM-in «Test toplusu» (2023, 2025) və «Güvən» tapşırıqlar toplusundakı tapşırıq növlərinə əsaslanır. Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.