Audio dərs · Müddət
11:52
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: payız gecəsidir, kənddə yağış yağır. Köhnə evin damını yağış elə döyəcləyir ki, sanki kimsə barmaqları ilə taxtanı tıqqıldadır. Səkkizinci sinif şagirdi Günay dayısı Elşənlə birlikdə çardağa qalxıb. Əllərində fənər var. Damın bir tirindən su sızır və damcılar aşağıdakı vedrəyə düşür. Elşən dayı fənəri tirə tutur: tir çatlayıb, onu dəyişmək lazımdır. Bu damın içində bir üçbucaq gizlənib, gəlin onu sözlə quraq. Damın ən uca nöqtəsindən çardağın döşəməsinə qədər şaquli bir dirək enir. Dayı onu ölçür: dirək iki metrdir. Çatlamış tir isə həmin uca nöqtədən maili şəkildə aşağı, divarın üstünə qədər gedir. Tirin uzunluğu üç metrdir. Döşəmə üfüqidir, buna görə dirəyin dibində düz bucaq yaranır. Dirək, döşəmə və maili tir birlikdə düzbucaqlı üçbucaqdır, maili tir də onun hipotenuzudur. Tirin aşağı ucu divarın üstündə, alçaq və qaranlıq bir küncdədir. Günay ora baxıb deyir: «Orada, tirlə döşəmənin arasındakı bucağın qarşısında dirək dayanır. Deməli, o bucağın sinusu dirəyin tirə nisbətidir: üçdə iki.» Dayı nərdivanda, yuxarıda, dirəklə tirin görüşdüyü yerdədir. Gülümsəyib deyir: «Mənim yanımdakı bucağın kosinusu da üçdə ikidir.» Günay təəccüblənir. Üç sual yaranır. Bu, sadəcə təsadüfdür? Dam nə qədər dikdir? Və tirin aşağı ucu dirəyin dibindən nə qədər uzaqdadır? Axı o dar küncə gecə sürünüb getmək çətindir. Salam! Bu dinləmə dərsində triqonometrik eyniliklərdən danışacağıq. Əvvəlcə tanış sözləri xatırlayaq. Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusu bu bucağın qarşısındakı katetin hipotenuza nisbətidir. Kosinusu bucağa bitişik katetin hipotenuza nisbətidir. Tangensi isə qarşı katetin bitişik katetə nisbətidir. Dərsliyimiz bu nisbətlər arasında üç asılılıq göstərir. Bu asılılıqlar hər iti bucaq üçün doğrudur, buna görə eynilik adlanır. Bu gün üçünü də Günayın çardağında yoxlayacağıq. Birinci fəsil: iki bucağın dostluğu. Gəlin adları dərslikdəki kimi qoyaq. Düz bucaq C təpəsindədir, dirəyin dibində. Aşağı küncdəki bucaq A bucağıdır, dayının yanındakı bucaq isə B bucağıdır. Üçbucağın bucaqlarının cəmi yüz səksən dərəcədir. Düz bucaq doxsan dərəcəni götürür, qalan doxsan dərəcəni A bucağı ilə B bucağı bölüşür. Belə iki bucağa tamamlayıcı bucaqlar deyilir: biri o birini doxsan dərəcəyə tamamlayır. İndi dirəyə iki tərəfdən baxaq. A bucağı üçün dirək qarşı katetdir. B bucağı üçün həmin dirək bitişik katetdir, çünki bu bucağa toxunur. Hipotenuz isə ikisi üçün də eyni maili tirdir. Deməli, sinus A ilə kosinus B eyni kəsrdir: eyni dirək, eyni tir. Bu, təsadüf yox, qanundur: sinus A kosinus B-yə bərabərdir. Eyni səbəbdən kosinus A da sinus B-yə bərabərdir. Dərslik bunu belə deyir: iti bucağın sinusu doxsan dərəcədən həmin bucağı çıxdıqda alınan bucağın kosinusuna bərabərdir. Qulaqla yoxlayaq. Sinus iyirmi üç dərəcəni kosinusla necə yazarsınız? Bəs kosinus on dörd dərəcəni sinusla? Bir anlıq dayanın və fikirləşin. İyirmi üç dərəcəni doxsana tamamlayan bucaq altmış yeddi dərəcədir. Deməli, sinus iyirmi üç dərəcə ilə kosinus altmış yeddi dərəcə bərabərdir. On dörd dərəcənin tamamlayıcısı yetmiş altı dərəcədir, buna görə kosinus on dörd dərəcə ilə sinus yetmiş altı dərəcə də bərabərdir. Diqqət edin: iki şey birlikdə dəyişir, həm nisbətin adı, həm də bucaq. Yalnız adı dəyişsəniz, yaxud yalnız bucağı dəyişsəniz, başqa ədəd alınar. İkinci fəsil: tangens və damın dikliyi. Günay soruşmuşdu: dam nə qədər dikdir? Dikliyi belə ölçmək olar: üfüqi istiqamətdə bir metr irəli getdikcə dam nə qədər qalxır? Bu, qarşı katetin bitişik katetə nisbətidir, yəni A bucağının tangensi. A bucağı üçün qarşı katet dirəkdir, bitişik katet isə döşəmədəki məsafədir, o qaranlıq küncə qədər olan məsafə. Həmin məsafəni isə hələ bilmirik. Dərslik burada gözəl bir yol göstərir: A bucağının tangensi sinus A-nın kosinus A-ya nisbətinə bərabərdir. Səbəbi sadədir. Sinus A dirəyin tirə nisbətidir, kosinus A isə döşəmədəki məsafənin tirə nisbətidir. İki kəsrin ikisində də məxrəcdə eyni tir dayanır. Birini o birinə böləndə tir ixtisar olunur və dirəyin döşəmədəki məsafəyə nisbəti qalır. Bu da elə tangensdir. Yəni sinusu və kosinusu bilən, tangensi də bilir. Yoxlayaq. Bir iti bucağın sinusu öz kosinusundan bir yarım dəfə böyükdür. Bu bucağın tangensi nəyə bərabərdir? Fikirləşin. Bu bucağın tangensi onun sinusunun kosinusuna nisbətidir. Sinus kosinusdan bir yarım dəfə böyükdürsə, bu nisbət də bir yarımdır. Deməli, tangens bir tam onda beşdir. Maraqlıdır: tangens birdən böyük ola bilər. Bir də sıraya diqqət edin: tangens üçün sinus həmişə yuxarıda, kosinus aşağıda durur. Kəsri tərsinə çevirib kosinusu sinusa bölmək səhvdir. Üçüncü fəsil: ən məşhur eynilik. Bir anlığa təsəvvür edin ki, maili tir düz bir metrdir. Belə olsaydı, dirəyin hündürlüyü metrlə elə sinus A-nın özü olardı, döşəmədəki məsafə isə kosinus A-nın özü. Çünki bir metrə bölmək heç nəyi dəyişmir. İndi Pifaqor teoremini xatırlayın: katetlərin kvadratlarının cəmi hipotenuzun kvadratına bərabərdir. Bir metrlik tirin kvadratı birdir. Deməli, sinus kvadrat A üstəgəl kosinus kvadrat A birə bərabərdir. Tir başqa uzunluqda olsa da, nəticə dəyişmir: dərslik Pifaqor bərabərliyinin hər iki tərəfini hipotenuzun kvadratına bölür və yenə bir alır. Bu eynilik Pifaqor teoreminin bucaqlar dilində deyilişidir. Gəlin Günaya qayıdaq. Günay ucadan fikirləşir: «A bucağının sinusu üçdə ikidir. Bəlkə kosinusu da üçdə ikidir?» Üçüncü eynilik ilə yoxlayın: üçdə ikinin kvadratını yenə üçdə ikinin kvadratı ilə toplayın. Bir alınırmı? Üçdə ikinin kvadratı doqquzda dörddür. Doqquzda dörd üstəgəl doqquzda dörd doqquzda səkkiz edir. Bu, birdən doqquzda bir azdır, deməli, Günayın təxmini səhvdir. Düzgün yol belədir: kosinus kvadrat A birdən doqquzda dördü çıxanda qalır, yəni doqquzda beşdir. Kosinusun özü müsbətdir, çünki tərəflərin uzunluğu müsbətdir. Buna görə kosinus A doqquzda beşin müsbət kvadrat köküdür. Kvadratları unutmayın: eynilikdə sinus və kosinusun özləri yox, kvadratları toplanır. Bu eynilikdən daha bir gözəl nəticə çıxır. Sinus kvadrat A və kosinus kvadrat A müsbət ədədlərdir və cəmləri birdir. Deməli, hər biri birdən azdır. Buna görə iti bucağın sinusu da, kosinusu da həmişə birdən azdır. Tangens isə birdən az da ola bilər, birə bərabər də, birdən böyük də. Dördüncü fəsil: bir nisbətdən hamısına. Üç eynilik birlikdə bir alət dəsti kimidir. Bir iti bucağın bir nisbəti məlumdursa, üçüncü eynilik onun cütünü verir: sinusdan kosinusu, kosinusdan sinusu. İkinci eynilik sinusla kosinusdan tangensi verir. Birinci eynilik isə qonşu iti bucağa keçir: A bucağının sinusu B bucağının kosinusudur, A bucağının kosinusu isə B bucağının sinusudur. Dərslik belə məsələləri müxtəlif üsullarla həll etməyi tapşırır. İkinci üsul belədir: tərəfləri verilən nisbətdə olan düzbucaqlı üçbucaq təsəvvür edirsiniz və üçüncü tərəfi Pifaqor teoremi ilə tapırsınız. Hər iki yol eyni cavaba gəlir, çünki üçüncü eynilik elə Pifaqor teoreminin özüdür. Tangensli kəsrləri və uzun ifadələri sadələşdirməyi addım-addım oxu dərsində və videoda görəcəksiniz. Qulaqla isə əsas fikri tutmaq bəs edir. Gəlin çardağa qayıdaq. Birinci sual: bu, təsadüfdürmü? Xeyr. A bucağı ilə B bucağı tamamlayıcı bucaqlardır, buna görə sinus A kosinus B-yə bərabərdir. İkinci sual: tirin aşağı ucu dirəkdən nə qədər uzaqdadır? Bu məsafə tirin uzunluğunun kosinus A-ya hasilidir. Kvadratlarla düşünək: üçün kvadratı doqquzdur, kosinus kvadrat A doqquzda beşdir, doqquzun doqquzda beşi isə beşdir. Məsafənin kvadratı beşdir, məsafənin özü isə beşin kvadrat köküdür, təxminən iki metr iyirmi dörd santimetr. Üçüncü sual: dam nə qədər dikdir? Tangens A sinus A-nın kosinus A-ya nisbətidir, yəni dirəyin döşəmədəki məsafəyə nisbətidir: iki metrin təxminən iki metr iyirmi dörd santimetrə nisbəti. Bu, təxminən sıfır tam onda doqquzdur. Yəni üfüqi istiqamətdə hər metr irəli getdikcə dam təxminən doxsan santimetr qalxır. Səhər yağış kəsir. Günay ruletkanı götürüb o alçaq küncə sürünür. Ölçür: iki metr iyirmi dörd santimetr. Ruletka eyniliklərlə razılaşır. Elşən dayı yeni tiri yerinə bərkidir, vedrəyə daha damcı düşmür. Yadda saxlamaq üçün bir fikir: düzbucaqlı üçbucağın iti bucaqlarında sinus, kosinus və tangens bir-birinə bağlıdır. Tamamlayıcı bucaqlarda sinus və kosinus yer dəyişir: sinus A kosinus B-yə bərabərdir. Tangens A sinus A-nın kosinus A-ya nisbətidir. Sinus kvadrat A üstəgəl kosinus kvadrat A həmişə birdir. Bir nisbəti bilən, qalanlarını da tapır. Düşünmək üçün sual: iti bucağın kosinusu düz bir ola bilərmi? Üçüncü eynilik sizə nə deyir? Cavabı özünüz tapın. Dinlədiyiniz üçün sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!