A iti bucaqdır. Aşağıdakı bərabərliklərdən hansıları ∠A-nın istənilən qiymətində doğrudur?
I. tan ∠A · cos ∠A = sin ∠A
II. sin ∠A : tan ∠A = cos ∠A
III. sin ∠A + cos ∠A = 1
IV. cos² ∠A − 1 = sin² ∠A
İzahı göstər
1 · Əsas fikir
Eynilik — istənilən iti bucaq üçün doğru bərabərlik
Əsas fikir
«ABC düzbucaqlı üçbucağında iti bucaqların triqonometrik nisbətləri arasında aşağıdakı asılılıqlar mövcuddur.» (∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c.)
2. Tangens.
tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A
İsbatı (dərslik): sin ∠A : cos ∠A = (a : c) : (b : c) = a : b = tan ∠A.
3. Əsas eynilik.
sin² ∠A + cos² ∠A = 1
İsbatı (dərslik): sin² ∠A + cos² ∠A = a² : c² + b² : c² = (a² + b²) : c², Pifaqor teoreminə görə a² + b² = c², deməli cəm 1-dir.
2 · Addım-addım həll
Həll yolu
TapşırıqHansı bərabərliklər eynilikdir
A iti bucaqdır. Aşağıdakı bərabərliklərdən hansıları ∠A-nın istənilən qiymətində doğrudur?
I. tan ∠A · cos ∠A = sin ∠A
II. sin ∠A : tan ∠A = cos ∠A
III. sin ∠A + cos ∠A = 1
IV. cos² ∠A − 1 = sin² ∠A
- I: tan ∠A · cos ∠A = (sin ∠A : cos ∠A) · cos ∠A = sin ∠A — doğrudur.
- II: sin ∠A : tan ∠A = sin ∠A : (sin ∠A : cos ∠A) = cos ∠A — doğrudur.
- III: ∠A = 45° üçün sin 45° + cos 45° = √2/2 + √2/2 = √2 ≠ 1 — bir əks-misal kifayətdir, eynilik deyil.
- IV: sin² ∠A + cos² ∠A = 1-dən cos² ∠A − 1 = −sin² ∠A < 0, sin² ∠A isə müsbətdir — doğru deyil.
- Cavab: I və II
Həll fiquru
Tərifdən: sin ∠A = a : c, cos ∠A = b : c, tan ∠A = a : b.
3 · Yoxlama
Cavabı yoxlayaq
∠A = 30° ilə: I) (√3/3) · (√3/2) = 1/2 = sin 30° ✓; II) (1/2) : (√3/3) = √3/2 = cos 30° ✓; III) 1/2 + √3/2 ≈ 1,37 ≠ 1; IV) 3/4 − 1 = −1/4 ≠ 1/4.
4 · Diqqət
Niyə digər variantlar səhvdir
- yalnız III də doğrudur: sin ∠A : tan ∠A = sin ∠A : (sin ∠A : cos ∠A) = cos ∠A.
- I və IIIIII eynilik deyil: məsələn, ∠A = 45° üçün √2/2 + √2/2 = √2 ≠ 1. Eynilik kvadratlar üçündür.
- II və IVIV səhvdir: cos² ∠A − 1 = −sin² ∠A (mənfi ədəd); həm də I doğrudur.
- I, II və IIIIII eynilik deyil: kvadratlarsız cəm 1 deyil (∠A = 45°: √2 ≈ 1,41).