Bir bucağın tangensinə görə digərinin sinusu

Triqonometrik eyniliklər: düzbucaqlı üçbucağın iki iti bucağı tamamlayıcıdır, birinin kosinusu digərinin sinusuna bərabərdir. Bir iti bucağın tangensinə görə katetləri nisbətdə götürmək, hipotenuzu Pifaqor teoremi ilə tapmaq və digər iti bucağın sinusunu tamamlayıcı bucaqlar eyniliyi ilə hesablamaq; 8-ci sinif şagirdi üçün çoxaddımlı tapşırıq.

ABC üçbucağında ∠C = 90° və tan ∠A = 20/21. sin ∠B-ni tapın.

İzahı göstər

1 · Əsas fikir

sin ∠B = cos ∠A

Əsas fikir

«ABC düzbucaqlı üçbucağında iti bucaqların triqonometrik nisbətləri arasında aşağıdakı asılılıqlar mövcuddur.» (∠C = 90°, BC = a, AC = b, AB = c.)

1. Tamamlayıcı bucaqlar. ∠A + ∠B = 90°, ona görə ∠B = 90° − ∠A və

sin ∠A = cos ∠B cos ∠A = sin ∠B

Yəni sin ∠A = cos(90° − ∠A) və cos ∠A = sin(90° − ∠A).

Səbəb: sin ∠A = a : c və cos ∠B = a : c — hər ikisi eyni BC katetinin hipotenuza nisbətidir.

2 · Addım-addım həll

Həll yolu

TapşırıqBir bucağın tangensinə görə digərinin sinusu

ABC üçbucağında ∠C = 90° və tan ∠A = 20/21. sin ∠B-ni tapın.

tan ∠A = BC : AC = 20/21, ona görə BC = 20k, AC = 21k götürək (k > 0).
Pifaqor teoremi: AB = √((20k)² + (21k)²) = √(400 + 441) · k = √841 · k = 29k.
∠B = 90° − ∠A, ona görə sin ∠B = cos ∠A = AC : AB = 21k : 29k = 21/29.
Cavab: 21/29

Həll fiquru

tan ∠A = 20/21: BC = 20k, AC = 21k, AB = 29k; sin ∠B = cos ∠A = 21/29.

3 · Yoxlama

Cavabı yoxlayaq

sin ∠B tərifdən də AC : AB-dir (AC ∠B-nin qarşısındakı katetdir) = 21/29 ✓; (20/29)² + (21/29)² = 841 : 841 = 1 ✓.

4 · Diqqət

Niyə digər variantlar səhvdir

20/29Bu sin ∠A-dır: bucaqlar qarışdırılıb. ∠B-nin qarşısındakı katet AC = 21-dir.
21/20Bu tan ∠B-dir (AC : BC), sinus deyil.
29/21Nisbət çevrilib: 29/21 > 1, iti bucağın sinusu isə 1-dən kiçikdir.
29/20sin ∠A-nın tərsidir və 1-dən böyükdür.