Triqonometrik eyniliklər

• 3.54
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Triqonometrik eyniliklər

Kalkulyatorda sin 66° və cos 24° hesabla: ikisi də 0,9135… verir. Təsadüf deyil — 66° + 24° = 90°, və bu iki ədəd eyni katetdən gəlir.

Bu dərsdə

• tamamlayıcı bucaqların sinus və kosinusunu bir-biri ilə ifadə edəcəksən;
• tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A və sin² ∠A + cos² ∠A = 1 eyniliklərini isbat edəcəksən;
• bir nisbət verildikdə qalanlarını tapacaq və ifadələri sadələşdirəcəksən.

sin 66° və cos 24° eyni katetdən gəlir

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Tamamlayıcı bucaqlar
3. tan = sin : cos
4. sin² + cos² = 1
5. Hesabla
6. Diqqət
7. Həyatda
8. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Bir üçbucaq, iki baxış

3.52-dən xatırla: iti bucağın sinusu qarşısındakı katetin hipotenuza, kosinusu bitişik katetin hipotenuza, tangensi isə qarşı katetin bitişik katetə nisbətidir. «Qarşı» və «bitişik» sözləri hansı bucaqdan baxdığımızdan asılıdır.

ABC üçbucağında ∠C = 90°, BC = 28, AC = 45, AB = 53. Bucağı seç və katetlərin rolunun necə dəyişdiyinə bax.

Hansı bucaqdan baxaq?

∠A ∠B

Eyni katet: bir bucağa qarşı, o birinə bitişik

∠A-dan: BC = 28 qarşı katet, AC = 45 bitişik katetdir. sin ∠A = 28 / 53, cos ∠A = 45 / 53, tan ∠A = 28 / 45.

∠B-dən: AC = 45 qarşı katet, BC = 28 bitişik katetdir. sin ∠B = 45 / 53, cos ∠B = 28 / 53, tan ∠B = 45 / 28.

Mavi — seçilmiş bucağın qarşı kateti, narıncı — bitişik kateti. Hipotenuz AB hər iki bucaq üçün eynidir.

İki iti bucağın nisbətləri yan-yana

Cədvələ bax: 28 / 53 həm sin ∠A, həm cos ∠B-dir; 45 / 53 həm cos ∠A, həm sin ∠B. Səbəb sadədir: BC kateti ∠A-nın qarşısındadır, amma ∠B-yə bitişikdir. Bu müşahidə birinci eynilikdir.

2 · Eynilik 1

Tamamlayıcı bucaqlar

Üçbucağın bucaqlarının cəmi 180°-dir. ∠C = 90° olduğundan ∠A + ∠B = 90°, yəni ∠B = 90° − ∠A. Cəmi 90° olan iki bucağa tamamlayıcı bucaqlar deyilir.

Yadda saxla

∠C = 90° olan ABC üçbucağında BC = a, AC = b, AB = c olsun. Tərifə görə sin ∠A = a / c və cos ∠B = a / c. Deməli:

sin ∠A = cos ∠Bcos ∠A = sin ∠B

∠B = 90° − ∠A olduğundan bunu belə də yazırıq: sin ∠A = cos (90° − ∠A), cos ∠A = sin (90° − ∠A).

Eyni qayda ∠B üçün: sin ∠B = cos (90° − ∠B) = cos ∠A, cos ∠B = sin (90° − ∠B) = sin ∠A.

Qısaca: bucağı tamamlayıcısı ilə əvəz edəndə sinus kosinusa, kosinus sinusa çevrilir — funksiya da, bucaq da dəyişir. Hook-dakı cüt də budur: 24° = 90° − 66°, ona görə sin 66° = cos 24°.

Kalkulyatorla yoxla

sin 66° = cos 24°

İkisi də ≈ 0,9135 göstərir.

O biri cüt

cos 66° = sin 24°

İkisi də ≈ 0,4067 göstərir.

3 · Eynilik 2

Tangens = sinus : kosinus

Yadda saxla

İti bucağın tangensi onun sinusunun kosinusuna nisbətinə bərabərdir:

tan ∠A = sin ∠A / cos ∠A

İsbatı. Yenə BC = a, AC = b, AB = c.

1. Tərifə görə: sin ∠A = a / c, cos ∠A = b / c, tan ∠A = a / b.
2. Sinusu kosinusa bölək: a / c : b / c = a / c · c / b.
3. c ixtisar olunur: = a / b.
4. Deməli, tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A.

Laboratoriyanın ədədləri ilə:

sin ∠A : cos ∠A = 28 / 53 : 45 / 53= 28 / 53 · 53 / 45 = 28 / 45 = tan ∠A

Eyni qayda ∠B üçün də doğrudur: tan ∠B = sin ∠B : cos ∠B.

4 · Eynilik 3

Sinus və kosinusun kvadratları

sin² ∠A yazılışı (sin ∠A)² deməkdir — sinusun kvadratı. Eyni qayda ilə cos² ∠A = (cos ∠A)².

Yadda saxla

İstənilən iti bucaq üçün:

sin² ∠A + cos² ∠A = 1

İsbatı.

1. sin ∠A = a / c, cos ∠A = b / c; kvadrata yüksəldək: sin² ∠A = a² / c², cos² ∠A = b² / c².
2. Tərəf-tərəfə toplayaq: sin² ∠A + cos² ∠A = a² + b² / c².
3. Pifaqor teoreminə görə a² + b² = c².
4. Deməli, sin² ∠A + cos² ∠A = c² / c² = 1.

sin² ∠A + cos² ∠A = 1 kvadratlarla

Başla Yenidən Yenidən

Laboratoriyanın üçbucağını kiçildək ki, AB = 1 olsun. Onda BC = sin ∠A, AC = cos ∠A, çünki bölən 1-dir. Katetlər üzərindəki kvadratların sahələri cəmi hipotenuz üzərindəki kvadratın sahəsinə — 1-ə bərabərdir: 784 / 2809 + 2025 / 2809 = 1.

60° ilə yoxla

(√3 / 2)² + (1 / 2)² = 1

sin 60° = √3 / 2, cos 60° = 1 / 2: 3 / 4 + 1 / 4 = 1.

Nəticə: 1-dən kiçikdir

sin ∠A < 1, cos ∠A < 1

İti bucaqda sin² ∠A və cos² ∠A müsbətdir, cəmləri 1-dir. Deməli, hər biri 1-dən kiçikdir — sinus və kosinus da.

5 · Hesabla

Eyniliklər işdə

Nümunə 1Tamamlayıcı bucaqla yaz

a) cos 83°-ni sinusla, b) sin 41°-i kosinusla ifadə edin.

1. a) Tamamlayıcı bucaq: 90° − 83° = 7°. Kosinus sinusa çevrilir: cos 83° = sin (90° − 83°). cos 83° = sin 7°
2. b) 90° − 41° = 49°, sinus kosinusa çevrilir: sin 41° = cos (90° − 41°). sin 41° = cos 49°

Nümunə 2Bir nisbətdən hamısına — iki üsul

ABC üçbucağında ∠C = 90°, sin ∠A = 9 / 41. ∠A-nın kosinusunu və tangensini, ∠B-nin sinusunu və kosinusunu tapın.

1. Üsul 1 — eyniliklər. cos² ∠A = 1 − sin² ∠A = 1 − 81 / 1681 = 1600 / 1681.
2. ∠A iti bucaqdır, onun kosinusu tərəflərin nisbətidir, yəni müsbətdir. Müsbət kökü götürürük: cos ∠A = 40 / 41.
3. tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A = 9 / 41 : 40 / 41 = 9 / 40.
4. Üsul 2 — üçbucaq. sin ∠A = BC : AB = 9 : 41, ona görə BC = 9k, AB = 41k. Pifaqor teoremi: AC = √(1681 − 81) · k = 40k. Onda cos ∠A = 40k / 41k = 40 / 41, tan ∠A = 9 / 40 — eyni cavab. Tərəfləri 9k, 40k, 41k olan düzbucaqlı üçbucaq: BC = 9k, AC = 40k, AB = 41k
5. ∠B üçün birinci eynilik kifayətdir: sin ∠B = cos ∠A, cos ∠B = sin ∠A. cos ∠A = 40 / 41, tan ∠A = 9 / 40; sin ∠B = 40 / 41, cos ∠B = 9 / 41

Nümunə 3Tangensdən sinus və kosinusa

∠A iti bucaqdır və tan ∠A = 12 / 35. sin ∠A və cos ∠A-nı tapın.

1. ∠A-nı düzbucaqlı üçbucaqda yerləşdirək: tan ∠A = BC : AC = 12 : 35, yəni BC = 12k, AC = 35k. Tərəfləri 12k, 35k, 37k olan düzbucaqlı üçbucaq: BC = 12k, AC = 35k, AB = 37k
2. Hipotenuz: AB = √(144 + 1225) · k = √1369 · k = 37k.
3. sin ∠A = 12 / 37, cos ∠A = 35 / 37.
4. Yoxlama: 12 / 37 : 35 / 37 = 12 / 35 ✓ və 144 / 1369 + 1225 / 1369 = 1 ✓. sin ∠A = 12 / 37, cos ∠A = 35 / 37

Nümunə 4Sadələşdir

a) 7 sin² 52° + 7 sin² 38°; b) 6 cos 33° / 2 sin 57°

1. a) 52° + 38° = 90°, ona görə sin 38° = cos 52°.
2. 7-ni mötərizə xaricinə çıxaraq: 7 (sin² 52° + cos² 52°) = 7 · 1 = 7. 7 sin² 52° + 7 sin² 38° = 7
3. b) 33° + 57° = 90°, ona görə sin 57° = cos 33°: 6 cos 33° / 2 cos 33° = 3. 6 cos 33° / 2 sin 57° = 3

Nümunə 5Tangens verilib — kəsri hesabla

∠A iti bucaqdır və tan ∠A = 7. sin ∠A − 2 cos ∠A / sin ∠A + cos ∠A ifadəsinin qiymətini tapın.

1. İti bucaqda cos ∠A ≠ 0, ona görə kəsrin surətini də, məxrəcini də cos ∠A-ya bölə bilərik — kəsrin qiyməti dəyişmir.
2. sin ∠A : cos ∠A − 2 / sin ∠A : cos ∠A + 1 = tan ∠A − 2 / tan ∠A + 1 — burada eynilik 2 işlədi.
3. 7 − 2 / 7 + 1 = 5 / 8. Qiymət: 5 / 8

6 · Diqqət

Üç tipik səhv

Yalnız funksiyanı dəyişmək

sin 66° = cos 66°

Kalkulyator: cos 66° ≈ 0,4067, amma sin 66° ≈ 0,9135.

Funksiya da, bucaq da

sin 66° = cos 24°

Sinus kosinusa çevrilir, bucaq isə tamamlayıcısı ilə əvəz olunur.

Kvadratları unutmaq

cos ∠A = 1 − 9 / 41 = 32 / 41

Yoxla: (32 / 41)² + (9 / 41)² = 1105 / 1681 — 1 alınmır.

Eynilik kvadratlar üçündür

cos ∠A = √(1 − sin² ∠A) = 40 / 41

Əvvəl kvadrat, sonra çıxma, sonda müsbət kök (Nümunə 2).

Kəsri çevirmək

tan ∠A = cos ∠A : sin ∠A

Laboratoriyada bu, 45 / 53 : 28 / 53 = 45 / 28 verərdi — bu ∠B-nin tangensidir.

Surətdə sinus

tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A = 28 / 45

Tangens «qarşı : bitişik»dir, sinus da qarşı katetlə başlayır.

7 · Həyatda

Nərdivan divara söykənib

6,5 m uzunluğunda nərdivan şaquli divara söykənib və divarda 5,6 m hündürlüyə çatır. Nərdivan, divar və döşəmə düzbucaqlı üçbucaq yaradır: A — nərdivanın ayağı, B — yuxarı ucu, C — divarın dibi, ∠C = 90°.

Divara söykənmiş nərdivan

Mavi qövs — nərdivanla döşəmə arasındakı ∠A, narıncı ikiqat qövs — nərdivanla divar arasındakı ∠B.

1. sin ∠A = BC : AB = 5,6 : 6,5 = 56 / 65.
2. cos ∠A = √(1 − 3136 / 4225) = √1089 / 4225 = 33 / 65, ona görə AC = 6,5 · 33 / 65 = 3,3 m.
3. tan ∠A = 56 / 65 : 33 / 65 = 56 / 33.
4. ∠B = 90° − ∠A, ona görə sin ∠B = cos ∠A = 33 / 65, cos ∠B = sin ∠A = 56 / 65. Ayaq divardan 3,3 m aralıdır

Təhlükəsizlik qaydası. Əməyin mühafizəsi qaydaları nərdivanın ayağını divardan nərdivanın uzunluğunun təxminən dörddə biri qədər aralı qoymağı məsləhət görür, yəni cos ∠A ≈ 1 / 4. Onda

sin ∠A = √(1 − 1 / 16) = √15 / 4 ≈ 0,97,kalkulyatorla ∠A ≈ 75,5°.

Bizim nərdivanda cos ∠A = 33 / 65 ≈ 0,51 — təxminən iki dəfə çox: nərdivan çox maili qoyulub (∠A ≈ 59,5°). 6,5 m-lik nərdivanın ayağı divardan ≈ 1,6 m aralı olmalıdır; onda yuxarı ucu ≈ 6,3 m hündürlüyə çatar.

8 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən. Hər sualda ∠A iti bucaqdır.

1. Asan cos 12°-ni sinusla ifadə et. Cavab variantları sin 12° sin 78° cos 78° Düzdür! Funksiya da, bucaq da dəyişdi. Yox. Həm kosinus sinusa çevrilir, həm də bucaq tamamlayıcısı ilə əvəz olunur. Həllə bax 90° − 12° = 78°, ona görə cos 12° = sin (90° − 12°) = sin 78°.
2. Asan sin ∠A = 16 / 65, cos ∠A = 63 / 65. tan ∠A neçədir? Cavab variantları 16 / 63 63 / 16 16 / 65 Əla! Sinusu kosinusa böldün. Yox. tan ∠A = sin ∠A : cos ∠A — surətdə sinus, və bölməni unutma. Həllə bax tan ∠A = 16 / 65 : 63 / 65 = 16 / 65 · 65 / 63 = 16 / 63.
3. Orta cos ∠A = 11 / 61. sin ∠A neçədir? Cavab variantları 50 / 61 11 / 60 60 / 61 Düzdür! sin² ∠A = 1 − cos² ∠A. Yox. Eynilik kvadratlar üçündür: sin² ∠A = 1 − cos² ∠A, sonra müsbət kök. Həllə bax sin² ∠A = 1 − 121 / 3721 = 3600 / 3721, sin ∠A = 60 / 61 (iti bucaq — müsbət kök).
4. Orta sin ∠A = 1 / 3. cos ∠A neçədir? Cavab variantları 2 / 3 2√2 / 3 8 / 9 Əla! Kökü də düzgün çıxardın. Yox. cos² ∠A = 1 − sin² ∠A tapılır, sonra kök alınır: 8 / 9 hələ kosinusun kvadratıdır. Həllə bax cos² ∠A = 1 − 1 / 9 = 8 / 9, cos ∠A = √8 / 3 = 2√2 / 3.
5. Çətin 4 − sin² 29° − sin² 61° ifadəsinin qiymətini tap. Cavab variantları 3 5 2 Düzdür! 61° = 90° − 29°. Yox. sin 61° = cos 29°, ona görə iki kvadratın cəmi 1-dir və o, 4-dən çıxılır. Həllə bax sin 61° = cos 29°: 4 − (sin² 29° + cos² 29°) = 4 − 1 = 3.
6. Çətin tan ∠A = 6. sin ∠A + cos ∠A / sin ∠A − 4 cos ∠A neçədir? Cavab variantları 7 / 5 2 / 7 7 / 2 Əla! Surəti və məxrəci cos ∠A-ya böldün. Yox. Hər iki hissəni cos ∠A-ya böl və 4 əmsalını saxla: (tan ∠A + 1) : (tan ∠A − 4). Həllə bax Surəti və məxrəci cos ∠A-ya bölək: tan ∠A + 1 / tan ∠A − 4 = 6 + 1 / 6 − 4 = 7 / 2.

Xülasə

Yadda qalanlar

• sin ∠A = cos (90° − ∠A)Tamamlayıcı bucaqda sinus kosinusa, kosinus sinusa çevrilir: sin ∠A = cos ∠B, cos ∠A = sin ∠B.
• tan ∠A = sin ∠A : cos ∠ATangensi sinus və kosinusdan alırıq; tangens verilmiş kəsrdə hər iki hissəni cos ∠A-ya bölürük.
• sin² ∠A + cos² ∠A = 1Pifaqor teoremindən gəlir; bir nisbətdən o birini müsbət kök ilə tapırıq.

Növbəti mövzu: 3.55 Parçanın orta nöqtəsinin koordinatları

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Triqonometrik eyniliklər», səh. 193–194; triqonometrik nisbətlərin tərifləri, səh. 187–189. Nərdivan qaydası: ABŞ əməyin mühafizəsi qaydaları (OSHA 1926.1053). Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.