Audio dərs · Müddət
16:47
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: erkən səhərdir, köhnə şəhər meydanı hələ sakitdir. Meydanın ortasında hündür bir saat qülləsi ucalır. Səkkizinci sinif şagirdi Aysu anası ilə birlikdə qüllənin dar taxta pilləkənləri ilə yuxarı qalxır. Aysunun anası saat ustasıdır, bu qüllənin saatına o baxır. Yuxarıda, nəhəng siferblatın arxasında, köhnə mexanizm ağır-ağır tıqqıldayır. Bu gün ana ilə qız əqrəbləri təmizləyib yoxlamalıdırlar. Anası siferblatın kiçik qapısını açır və deyir: «Bizim dəqiqə əqrəbimizin uzunluğu yüz iyirmi santimetrdir, yəni bir metr iyirmi santimetr.» Saat başını düz beş dəqiqə keçib, dəqiqə əqrəbi bir rəqəminin üstündədir. Anası əqrəbin ucundan şaqul asır, yəni ucuna kiçik ağır çəki bağlanmış ip. İp düz aşağı sallanır. Sonra o, ruletka ilə ipdən siferblatın ortasındakı şaquli xəttə qədər olan məsafəni ölçür. Bu xətt on iki rəqəmindən altı rəqəminə gedir. Ruletka düz altmış santimetr göstərir. Bu, əqrəbin düz yarısıdır. Aysu öz qol saatına baxır. Onun saatı da beş dəqiqə keçir. Böyüdücü şüşə ilə baxıb kiçik xətkeşlə ölçür. Qol saatının dəqiqə əqrəbi on iki millimetrdir. Əqrəbin ucu ortadakı şaquli xətdən altı millimetr aralıdır. Yenə düz yarısı! Anası gülümsəyir: «Dünyanın istənilən saatında, saat başını beş dəqiqə keçəndə, dəqiqə əqrəbinin ucu şaquli xətdən əqrəbin yarısı qədər aralı olur.» Aysu təəccüblənir. Niyə məhz yarısı? Nəhəng qüllə saatı ilə kiçik qol saatı niyə eyni cavabı verir? Bəs yeddi dəqiqə keçəndə bu aralıq əqrəbin hansı hissəsi olacaq? Bu suallara bu gün birlikdə cavab tapacağıq. Salam! Bu, düzbucaqlı üçbucaq və triqonometrik nisbətlər dərsidir. Birinci fəsildə saatın içində düzbucaqlı üçbucaq tapıb tərəflərinə ad verəcəyik. İkinci fəsildə üç məşhur nisbətlə tanış olacağıq: sinus, kosinus və tangens. Üçüncü fəsildə bu nisbətlərin niyə yalnız bucaqdan asılı olduğunu görəcəyik. Dördüncü fəsildə otuz, qırx beş və altmış dərəcəlik bucaqların sirrini açacağıq. Beşinci fəsildə kalkulyatorla tərəf və bucaq tapacağıq. Altıncı fəsildə isə tipik tələlərə baxacağıq. Birinci fəsil: saatın içindəki üçbucaq. Gəlin beş dəqiqə keçən anı yenidən təsəvvür edək. Siferblatın mərkəzini A hərfi ilə, dəqiqə əqrəbinin ucunu B hərfi ilə işarə edək. Əqrəbin ucundan ortadakı şaquli xəttə üfüqi bir parça çəkək. Ananın şaqulla ölçdüyü məsafə elə bu parçadır. Üfüqi parça şaquli xətlə düz bucaq əmələ gətirir. Beləcə üç tərəfli fiqur alınır: əqrəbin özü, üfüqi parça və şaquli xətt üzərində mərkəzdən yuxarı qalxan parça. Bu, düzbucaqlı üçbucaqdır. Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin xüsusi adları var. Düz bucağın qarşısındakı ən uzun tərəf hipotenuzdur. Bizim saatda hipotenuz dəqiqə əqrəbinin özüdür. Qalan iki tərəf katetlərdir: üfüqi katet və şaquli katet. Amma katetlərin daha dəqiq adları da var və bu adlar hansı bucağa baxdığımızdan asılıdır. Mərkəzdəki A bucağına baxaq. Üfüqi katet A bucağına toxunmur, onun qarşısında durur. Buna görə üfüqi katet A bucağının qarşı katetidir. Şaquli katet isə A bucağının bir tərəfidir, ona bitişikdir. Buna görə şaquli katet A bucağının bitişik katetidir. İndi əqrəbin ucundakı B bucağına keçək. Bu dəfə adlar yer dəyişir. Şaquli katet B bucağının qarşısındadır, deməli, B bucağının qarşı katetidir. Üfüqi katet isə B bucağına toxunur, deməli, B bucağının bitişik katetidir. Hipotenuz hər iki bucaq üçün eyni qalır. Qısa qayda belədir: əvvəlcə bucağı adlandırın, sonra soruşun, hansı katet bu bucağa toxunur. Toxunan katet bitişik katetdir, toxunmayan katet qarşı katetdir. İkinci fəsil: üç nisbət. Dərsliyimiz bu mövzunu maraqlı bir qeydlə açır: «triqonometriya» qədim yunan sözüdür. Triqonon üçbucaq, metron isə ölçmə deməkdir. Yəni triqonometriya üçbucağın ölçülməsi haqqında elmdir. Dərslik Nəsrəddin Tusini triqonometriyanın atası adlandırır. Dərsliyə görə, Tusi triqonometriyanın bir teoremini ilk dəfə isbat edib və onu astronomik hesablamalara tətbiq edib. Bu elmin əsasında isə sadə bir fikir durur: düzbucaqlı üçbucaqda iki tərəfin nisbəti. Bu nisbətlərə triqonometrik nisbətlər deyilir. Dərslikdə üç tərif var. Birincisi: iti bucağın sinusu bu bucağın qarşısındakı katetin hipotenuza nisbətidir. İkincisi: iti bucağın kosinusu bu bucağa bitişik katetin hipotenuza nisbətidir. Üçüncüsü: iti bucağın tangensi bu bucağın qarşısındakı katetin bitişik katetə nisbətidir. Kitabda bu adlar qısa yazılır, biz isə həmişə tam deyəcəyik: sinus, kosinus, tangens. Sinusda və kosinusda hipotenuz həmişə məxrəcdədir. Tangensdə isə hipotenuz iştirak etmir, orada yalnız iki katet var. İndi qüllə saatına qayıdaq. Beş dəqiqə keçəndə A bucağının sinusu nəyə bərabərdir? A bucağının qarşı kateti üfüqi katetdir, altmış santimetr. Hipotenuz əqrəbin özüdür: yüz iyirmi santimetr. Altmışı yüz iyirmiyə bölürük və ikidə bir alırıq. Deməli, ananın kəşfi riyaziyyat dilində belə səslənir: beş dəqiqə keçəndə A bucağının sinusu ikidə birdir. Aysunun qol saatında da altı millimetri on iki millimetrə bölürük və yenə ikidə bir alırıq. Kosinus və tangens üçün şaquli katet lazımdır. Onu Pifaqor teoremi ilə tapmaq olar, amma orada kvadrat kök çıxır, ona görə bu hesabı oxu dərsinə saxlayırıq. Üçüncü fəsil: niyə yalnız bucaq? Saat başını beş dəqiqə keçəndə dəqiqə əqrəbi on iki rəqəmindən bir rəqəminə qədər dönür. Bütün dairə üç yüz altmış dərəcədir, siferblatda isə altmış dəqiqə var. Deməli, hər dəqiqəyə altı dərəcə düşür, beş dəqiqəyə isə otuz dərəcə. Qüllədə də, qol saatında da A bucağı otuz dərəcədir. Hər iki üçbucaqda bir bucaq düz bucaqdır, bir bucaq isə otuz dərəcədir. İki bucağı uyğun olaraq bərabər olan üçbucaqlar oxşardır. Bunu oxşarlıq əlamətlərindən bilirik. Oxşar üçbucaqlarda bütün tərəflər eyni ədədə vurulur. Qüllə əqrəbinin uzunluğu yüz iyirmi santimetr, yəni min iki yüz millimetr. Bu, qol saatının on iki millimetrlik əqrəbindən düz yüz dəfə uzundur. Deməli, qüllə üçbucağının hər tərəfi qol saatı üçbucağının uyğun tərəfindən yüz dəfə uzundur. İki tərəfi eyni ədədə vuranda onların nisbəti dəyişmir. Altı millimetr yüz dəfə böyüyəndə altmış santimetr olur, nisbət isə yenə ikidə birdir. Buna görə sinus, kosinus və tangensdə üçbucağın ölçüsü rol oynamır. Nisbətlər yalnız bucaqdan asılıdır. Elə buna görə də üçbucağın adını çəkmədən sadəcə «otuz dərəcəlik bucağın sinusu» deyə bilirik. Buradan iki faydalı nəticə çıxır. Birincisi, hipotenuz həmişə ən uzun tərəfdir. Sinus da, kosinus da bir katetin hipotenuza nisbətidir. Buna görə iti bucağın sinusu və kosinusu həmişə birdən kiçikdir. Saatda bu çox aydındır: əqrəbin ucu şaquli xətdən həmişə əqrəbin öz uzunluğundan az aralıdır. İkincisi, tangens iki katetin nisbətidir. Tangens birdən kiçik də, birə bərabər də, birdən böyük də ola bilər. Beş dəqiqə keçəndə üfüqi katet şaquli katetdən qısadır, buna görə A bucağının tangensi birdən kiçikdir. Bir azdan başqa anlarda nə baş verdiyini eşidəcəyik. Dördüncü fəsil: otuz, qırx beş və altmış dərəcə. İndi ən maraqlı suala qayıdaq: niyə otuz dərəcədə məhz yarısı alınır? Kiçik bir hiylə edək. Eyni əqrəbi saat başına beş dəqiqə qalan anda da təsəvvür edin. O zaman əqrəb on bir rəqəminin üstündədir. İki vəziyyət şaquli xəttə görə güzgüdəki əks kimi simmetrikdir. İki əqrəb arasındakı bucaq otuz və otuz, cəmi altmış dərəcədir. İndi mərkəzi və iki əqrəbin uclarını birləşdirək. Alınan üçbucağın iki tərəfi əqrəbdir, deməli, bu iki tərəf bərabərdir. Bərabəryanlı üçbucağın oturacaq bucaqları bərabərdir. Bucaqların cəmi yüz səksən dərəcədir, buna görə qalan iki bucağın hər biri də altmış dərəcədir. Bu üçbucaq bərabərtərəflidir. Bərabərtərəfli üçbucaqda iki uc arasındakı məsafə də əqrəbin uzunluğuna bərabərdir. Şaquli xətt bu məsafəni düz ortadan bölür. Deməli, hər ucdan şaquli xəttə qədər məsafə əqrəbin düz yarısıdır. Budur ananın sirri: otuz dərəcəlik bucağın sinusu ikidə birdir. Bu, istənilən ölçülü saat üçün doğrudur. İndi həmin düzbucaqlı üçbucağa əqrəbin ucundakı B bucağından baxaq. Bu bucaq altmış dərəcədir və qısa üfüqi katet indi ona bitişikdir. Deməli, altmış dərəcəlik bucaq üçün kosinus da ikidə birə bərabərdir. Saatda bunu başqa cür də görmək olar. Saat başını on dəqiqə keçəndə A bucağı altmış dərəcədir. Bu anda A bucağının bitişik kateti, yəni şaquli katet, əqrəbin düz yarısıdır. A bucağının qarşı kateti, yəni üfüqi katet, ondan uzundur. Deməli, on dəqiqə keçəndə A bucağının tangensi birdən böyükdür. İndi bir az düşünün. Beş dəqiqədə tangens birdən kiçik idi, on dəqiqədə isə birdən böyükdür. Hansı anda iki katet bərabər olur? Cavab: saat başını yeddi dəqiqə yarım keçəndə. Bu anda A bucağı yeddi yarımın altı qatı, yəni qırx beş dərəcədir. Üçbucağın o biri iti bucağı da qırx beş dərəcədir. Deməli, iki katet bərabərdir və üçbucaq kvadratın yarısıdır. Buna görə qırx beş dərəcəlik bucağın tangensi birə bərabərdir. Sinusu ilə kosinusu da bərabərdir, hər biri onda yeddidən bir az çoxdur. Otuz, qırx beş və altmış dərəcənin qalan qiymətlərində kvadrat kök iştirak edir. Dərslikdə onları bu iki üçbucaqdan özünüz çıxarırsınız və cədvələ yığırsınız. Oxu dərsində həmin cədvəl sizi gözləyir. Beşinci fəsil: kalkulyator. Bəs başqa dəqiqələr? Aysu soruşur: «Saat başını yeddi dəqiqə keçəndə əqrəbin ucu şaquli xətdən nə qədər aralı olacaq?» Yeddi dəqiqə yeddi dəfə altı, yəni qırx iki dərəcədir. Bu bucaq üçün sadə üçbucaq yoxdur. Burada kalkulyator köməyə gəlir. Kalkulyatorda sinus düyməsini basırıq, sonra qırx iki ədədini daxil edirik. Ekrandakı ədədi dərslikdəki kimi yüzdəbirə qədər yuvarlaqlaşdırırıq: sıfır tam yüzdə altmış yeddi. Bu ədəd təxminən üçdə ikidir. A bucağının qarşı kateti hipotenuzun sinus qədər hissəsidir. Buna görə yüz iyirmi santimetrin üçdə ikisini götürürük. Yüz iyirmi santimetrin üçdə biri qırx santimetrdir, üçdə ikisi isə səksən santimetr. Deməli, yeddi dəqiqə keçəndə qüllə əqrəbinin ucu şaquli xətdən təxminən səksən santimetr aralıdır. Sualı tərsinə də vermək olar. Tutaq ki, ucun şaquli xətdən aralığı əqrəbin düz beşdə biridir. Qüllədə bu, iyirmi dörd santimetrdir. Bu halda A bucağının sinusu beşdə birdir, yəni sıfır tam onda iki. Bucağı tapmaq üçün kalkulyatorda tərs sinus düyməsi var. Onu basıb sıfır tam onda iki daxil edirik. Ekranda təxminən on bir tam onda beş dərəcə görünür. Bu, iki dəqiqədən bir az azdır. Yəni saat başını təxminən iki dəqiqə keçəndə uc şaquli xətdən əqrəbin beşdə biri qədər aralı olur. Altıncı fəsil: tələlər. Birinci tələ vurma ilə bölməni qarışdırmaqdır. Məktəb dəhlizindəki saatda, saat başını beş dəqiqə keçəndə, əqrəbin ucu şaquli xətdən on yeddi santimetr aralıdır. Əqrəbin uzunluğu nə qədərdir? Bilirik ki, beş dəqiqədə uc əqrəbin yarısı qədər aralı olur. Deməli, əqrəbin yarısı on yeddi santimetrdir, bütöv əqrəb isə otuz dörd santimetr. Tələyə düşən şagird on yeddini ikidə birə vurur və səkkiz yarım alır. Amma əqrəb hipotenuzdur, katetdən uzun olmalıdır. Qayda belədir: kateti tapmaq üçün hipotenuzu sinusa vururuq, hipotenuzu tapmaq üçün isə kateti sinusa bölürük. İkinci tələ qarşı kateti bitişik katetlə qarışdırmaqdır. Bu səhv sinusu kosinusa, kosinusu isə sinusa çevirir. Çarəsi sadədir: hər dəfə əvvəlcə bucağı adlandırın, sonra hansı katetin ona toxunduğunu soruşun. Üçüncü tələ tangensə hipotenuz qatmaqdır. Unutmayın, tangensdə yalnız iki katet var. Dördüncü tələ isə belə düşünməkdir: böyük üçbucağın sinusu da böyük olar. Qüllə ilə qol saatı bunun əksini göstərdi. Ölçülər yüz dəfə fərqlənir, sinus isə eynidir. Gəlin qülləyə qayıdaq. Anası əqrəbləri təmizləyib mexanizmi yenidən işə salır. Aysu artıq hər üç sualın cavabını bilir. Beş dəqiqədə dəqiqə əqrəbi otuz dərəcə dönür. Otuz dərəcəlik bucağın sinusu ikidə birdir, çünki iki simmetrik əqrəb bərabərtərəfli üçbucaq yaradır. Nəhəng qüllə saatı ilə kiçik qol saatı eyni cavabı verir, çünki eyni bucaqlı düzbucaqlı üçbucaqlar oxşardır, nisbətlər isə yalnız bucaqdan asılıdır. Yeddi dəqiqədə bucaq qırx iki dərəcədir. Onun sinusunu kalkulyator verir, təxminən üçdə iki. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın. Düzbucaqlı üçbucaqda iti bucağın sinusu qarşı katetin hipotenuza nisbətidir. Kosinusu bitişik katetin hipotenuza nisbətidir. Tangensi isə qarşı katetin bitişik katetə nisbətidir. Bu nisbətlər üçbucağın ölçüsündən yox, yalnız bucaqdan asılıdır. Buna görə bucağı bilib tərəfi, tərəfləri bilib bucağı tapa bilirik. Bu nisbətlərlə hündürlük və məsafə məsələləri növbəti dərsin mövzusudur. Oxu dərsində və videoda daha çox nümunə sizi gözləyir. Düşünmək üçün bir sual: saat başını iyirmi beş dəqiqə keçəndə dəqiqə əqrəbinin ucu şaquli xətdən nə qədər aralı olacaq? İpucu: əqrəblə altı rəqəmi arasındakı bucağa baxın. Növbəti dərsdə görüşənədək!