Düzbucaqlı üçbucaq və triqonometrik nisbətlər

• 3.52
• 8-ci sinif
• Həndəsə

Düzbucaqlı üçbucaq və triqonometrik nisbətlər

Düzbucaqlı vərəqi diaqonalı boyunca kəs — düzbucaqlı üçbucaq alınır. Onu qatlayıb iç-içə kiçik üçbucaqlar çəksən, ölçüləri fərqli olacaq, amma tərəflərin nisbəti dəyişməyəcək: 6 : 10 = 9 : 15 = 12 : 20. Bu sabit ədədlərin adı var — sinus, kosinus, tangens.

Bu dərsdə

• iti bucağa görə qarşı və bitişik katetləri, hipotenuzu tanıyıb sin, cos, tan nisbətlərini yazacaqsan;
• nisbətlərin yalnız bucaqdan asılı olduğunu izah edəcək, 30°, 45°, 60° üçün qiymətləri özün çıxaracaqsan;
• tərəflərdən nisbəti, bucaq və tərəfdən digər tərəfi, kalkulyatorla bucağı tapacaqsan.

Qatlanmış vərəqdə üç düzbucaqlı üçbucaq: ölçü fərqli, nisbət eyni

Başla Yenidən Yenidən

1. Kəşf et
2. Tərəflərin adları
3. Üç nisbət
4. Niyə yalnız bucaq
5. 30°, 45°, 60°
6. Hesabla
7. Kalkulyator
8. Diqqət
9. Həyatda
10. Özünü yoxla

1 · Kəşf et

Ölçü dəyişir, nisbət yox

Qatlanmış vərəqdəki üçbucaqları ayrıca götürək. Hər birində düz bucaq C təpəsindədir, A bucağı isə hamısında eynidir. Ölçünü seç və tərəflərin üç nisbətini müqayisə et: BC : AB, AC : AB və BC : AC. Uzunluqlar santimetrlədir.

Üçbucağı seç

kiçik orta böyük başqa bucaq

Düzbucaqlı üçbucaq ABC: seçilmiş ölçü

Kiçik: AC = 8, BC = 6, AB = 10. BC : AB = 6 : 10 = 0,6; AC : AB = 8 : 10 = 0,8; BC : AC = 6 : 8 = 0,75.

Orta: AC = 12, BC = 9, AB = 15. 9 : 15 = 0,6; 12 : 15 = 0,8; 9 : 12 = 0,75 — eyni üç ədəd.

Böyük: AC = 16, BC = 12, AB = 20. 12 : 20 = 0,6; 16 : 20 = 0,8; 12 : 16 = 0,75 — yenə eyni.

Başqa bucaq: AC = 12, BC = 16, AB = 20. 16 : 20 = 0,8; 12 : 20 = 0,6; 16 : 12 ≈ 1,33. Bucaq dəyişdi — nisbətlər də dəyişdi.

Qırıq şüa kiçik, orta və böyük üçbucağın ortaq A bucağıdır. «Başqa bucaq» seçiləndə hipotenuz şüadan ayrılır.

Nəticə: A bucağı eyni qaldıqca üç nisbət də eyni qalır, bucaq dəyişəndə isə dəyişir. Deməli, bu nisbətlər üçbucağın ölçüsünü yox, bucağı xarakterizə edir. İndi onlara ad verək.

2 · Tərəflərin adları

Qarşı katet, bitişik katet, hipotenuz

Düzbucaqlı üçbucaqda düz bucağın qarşısındakı tərəf hipotenuzdur — o, ən uzun tərəfdir. Düz bucağın tərəfləri katetlərdir. İti bucağa nəzərən katetlərin də adı var: bucağın qarşısındakı katet — qarşı katet, bucağın tərəfi olan katet — bitişik katet.

Hansı bucağa nəzərən?

∠A ∠B

Düzbucaqlı üçbucağın tərəflərinin adları

∠A üçün: BC — qarşı katet, AC — bitişik katet, AB — hipotenuz.

∠B üçün: AC — qarşı katet, BC — bitişik katet, AB — hipotenuz. Katetlərin adları yer dəyişdi, hipotenuz eyni qaldı.

Hər fiqurda eyni rənglər: qarşı katet narıncı, bitişik katet mavi, hipotenuz lime.

3 · Üç nisbət

Sinus, kosinus, tangens

Triqonometriya qədim yunan sözüdür: triqonon — üçbucaq, metron — ölçmə. Düzbucaqlı üçbucaqda iki tərəfin nisbətinə triqonometrik nisbət deyilir. Kəşfdəki üç nisbətin hər birinin adı və qısa yazılışı var: sinus — sin, kosinus — cos, tangens — tan.

Triqonometrik nisbətlər

• İti bucağın sinusu bu bucağın qarşısındakı katetin hipotenuza nisbətinə deyilir: sin ∠A = qarşı katethipotenuz / sin ∠A = BCAB /
• İti bucağın kosinusu bu bucağa bitişik katetin hipotenuza nisbətinə deyilir: cos ∠A = bitişik katethipotenuz / cos ∠A = ACAB /
• İti bucağın tangensi bu bucağın qarşısındakı katetin bitişik katetə nisbətinə deyilir: tan ∠A = qarşı katetbitişik katet / tan ∠A = BCAC /

Kəşfdəki ədədlər indi ad aldı: o üçbucaqlarda sin ∠A = 0,6, cos ∠A = 0,8, tan ∠A = 0,75. Bucağı dərəcə ilə yazanda bucaq işarəsi qoyulmur: sin 30°, cos 30°.

Yadda saxlamaq üçün: sinus da, kosinus da hipotenuza bölünür; tangensdə hipotenuz yoxdur.

4 · Niyə yalnız bucaq

Oxşar üçbucaqlar eyni nisbət verir

Kəşfdə gördüyümüzü isbat edək. ΔABC və ΔA₁B₁C₁ düzbucaqlı üçbucaqlardır və iti bucaqları bərabərdir.

1. ∠C = ∠C₁ = 90°, ∠A = ∠A₁.
2. İki bucaq bərabərdir, deməli üçbucaqlar oxşardır (BB əlaməti): ΔABC ∼ ΔA₁B₁C₁.
3. Uyğun tərəflər mütənasibdir: BC = k · B₁C₁, AB = k · A₁B₁.
4. sin ∠A = BCAB / = k · B₁C₁k · A₁B₁ / = B₁C₁A₁B₁ / = sin ∠A₁

Kosinus və tangens üçün də eyni: k ixtisar olunur. Ona görə nisbət yalnız bucaqdan asılıdır və «sin 30°» kimi yazmaq mənalıdır — hansı üçbucaqda ölçsən, eyni ədəddir.

İti bucağı bərabər olan iki düzbucaqlı üçbucaq oxşardır

Böyük üçbucağın hər tərəfi kiçiyin uyğun tərəfinin k mislidir, nisbətlər isə eynidir.

sin ∠A < 1

qarşıhipotenuz /

Hipotenuz ən uzun tərəfdir, ona görə surət məxrəcdən kiçikdir.

cos ∠A < 1

bitişikhipotenuz /

Eyni səbəb: katet hipotenuzdan qısadır.

tan ∠A — istənilən müsbət ədəd

0,75 · 1 · 1,33

Kəşfdə 0,75 (qarşı katet qısa) və ≈ 1,33 (qarşı katet uzun) aldıq; katetlər bərabər olanda tangens 1-dir.

5 · 30°, 45°, 60°

Üç bucağın nisbətlərini özümüz çıxaraq

Nisbət yalnız bucaqdan asılı olduğuna görə, onu ən rahat üçbucaqda hesablaya bilərik. Bunun üçün iki tanış fiqur kifayətdir.

Kvadratın diaqonalı 45°-li düzbucaqlı üçbucaq ayırır

45°. Tərəfi 1 olan kvadratın diaqonalı: √(1² + 1²) = √2.

Bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü 30° və 60°-li üçbucaq ayırır

Başla Yenidən Yenidən

30° və 60°. Tərəfi 2 olan bərabərtərəfli üçbucağın hündürlüyü həm median, həm bisektordur: oturacağı 1 və 1-ə, 60°-ni iki 30°-yə bölür. Hündürlük √(2² − 1²) = √3.

45°-də: sin 45° = 1√2 / = √22 / , cos 45° = √22 / , tan 45° = 11 / = 1. Kəsrin məxrəcindəki kökdən qurtarmaq üçün surəti və məxrəci √2-yə vurduq. Sağ yarıda 30°-nin qarşısında 1, 60°-nin qarşısında √3, hipotenuz 2-dir.

Xüsusi bucaqların nisbətləri

Təxmini qiymətlər: √2/2 ≈ 0,71, √3/2 ≈ 0,87, √3/3 ≈ 0,58, √3 ≈ 1,73. Cədvəli əzbərləmək əvəzinə iki üçbucağı xatırla — hər qiyməti oradan bir dəqiqəyə çıxarmaq olar.

6 · Hesabla

Tərəfdən nisbət, nisbətdən tərəf

Hər məsələdə eyni üç addım: hipotenuzu tap (düz bucağın qarşısındakı tərəf), bucağa görə katetlərin adını qoy, lazım olan nisbəti yaz.

Nümunə 1İki tərəfdən üç nisbət

ΔKLM-də ∠M = 90°, KL = 65 sm, KM = 56 sm. sin ∠K, cos ∠K, tan ∠K-nı və tan ∠L-i tapın.

ΔKLM: KL = 65 sm, KM = 56 sm, LM = ?

1. KL düz bucağın qarşısındadır — hipotenuz. Pifaqor teoremi ilə: LM² = 65² − 56² = 4225 − 3136 = 1089, LM = 33 sm.
2. ∠K üçün qarşı katet LM = 33, bitişik katet KM = 56: sin ∠K = 3365 / , cos ∠K = 5665 / , tan ∠K = 3356 / .
3. ∠L üçün katetlər yer dəyişir: qarşı katet KM = 56, bitişik LM = 33. tan ∠L = 5633 / — 1-dən böyükdür. sin ∠K = 33/65, cos ∠K = 56/65, tan ∠K = 33/56; tan ∠L = 56/33

Nümunə 2Bucaq və hipotenuzdan katetlər

ΔRST-də ∠S = 90°, ∠R = 45°, RT = 10 sm. Katetləri tapın.

ΔRST: ∠R = 45°, RT = 10 sm

1. RT hipotenuzdur; ∠R üçün RS bitişik, ST qarşı katetdir.
2. cos 45° = RSRT / , ona görə RS = 10 · √22 / = 5√2.
3. sin 45° = STRT / , ST = 10 · √22 / = 5√2. Yoxla: (5√2)² + (5√2)² = 50 + 50 = 100 = 10². RS = ST = 5√2 sm ≈ 7,1 sm

Nümunə 3Tərəflərdən bucaq

ΔXYZ-də ∠Z = 90°, XZ = 3 sm, YZ = 3√3 sm. ∠X-i tapın.

ΔXYZ: XZ = 3 sm, YZ = 3√3 sm, ∠X = ?

1. ∠X üçün YZ qarşı katet, XZ bitişik katetdir — hər iki katet verilib, ona görə tangens: tan ∠X = 3√33 / = √3.
2. Cədvəldə tangensi √3 olan iti bucaq 60°-dir.
3. Yoxla: XY = √(3² + (3√3)²) = √(9 + 27) = 6 — hipotenuz qısa katetin iki mislidir, 30°-60°-90° üçbucağında olduğu kimi. ∠X = 60°

7 · Kalkulyator

Başqa bucaqlar: kalkulyator və tərs düymələr

Bucaq 30°, 45° və ya 60° deyilsə, nisbəti kalkulyator verir. Bucağı nisbətdən tapmaq üçün tərs düymələr var: sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹. Kalkulyator dərəcə (DEG) rejimində olmalıdır. Nisbətləri adətən yüzdəbirə, bucaq və tərəfləri ondabirə qədər yuvarlaqlaşdırırıq.

Kalkulyatorda iki iş

Nümunə 4Vərəqdəki bucaq neçə dərəcədir?

Qatlanmış vərəqdəki üçbucaqlarda cos ∠A = 16/20. ∠A-nı ondabirə qədər tapın.

1. Nisbəti onluq kəsrə çeviririk: 1620 / = 45 / = 0,8.
2. Kosinus verilib — tərs düymə də kosinusunkudur: COS⁻¹ 0,8 = 36,8699… ∠A ≈ 36,9°

Nümunə 5Bucaq və hipotenuzdan katetlər

ΔABC-də ∠C = 90°, ∠A = 52°, AB = 12 sm. BC və AC-ni ondabirə qədər tapın.

ΔABC: ∠A = 52°, AB = 12 sm

1. BC ∠A-nın qarşısındadır: sin 52° = BC12 / , BC = 12 · sin 52° ≈ 12 · 0,7880 = 9,456.
2. AC bitişikdir: AC = 12 · cos 52° ≈ 12 · 0,6157 = 7,388.
3. Yoxla: 9,456² + 7,388² ≈ 144 = 12². BC ≈ 9,5 sm, AC ≈ 7,4 sm

Nümunə 6Katetdən hipotenuz: bölürük

ΔUVW-də ∠W = 90°, ∠U = 28°, VW = 6 sm. UV hipotenuzunu ondabirə qədər tapın.

ΔUVW: ∠U = 28°, VW = 6 sm, UV = ?

1. VW ∠U-nun qarşısındadır, UV hipotenuzdur: sin 28° = 6UV / .
2. Naməlum məxrəcdədir, ona görə bölürük: UV = 6 : sin 28° ≈ 6 : 0,4695 ≈ 12,78.
3. Ağlabatanmı? Hipotenuz katetdən uzun olmalıdır: 12,8 > 6. UV ≈ 12,8 sm

8 · Diqqət

Üç tez-tez səhv

Katetlər qarışıb

sin ∠K = 56/65

Nümunə 1-də 56 ∠K-ya bitişik katetdir — bu, kosinusdur.

Bucağın qarşısına bax

sin ∠K = 33/65

Sinusda surət həmişə bucağın qarşısındakı katetdir.

Bölmək əvəzinə vurmaq

UV = 6 · sin 28° ≈ 2,8

Hipotenuz 6 sm-lik katetdən qısa çıxdı — bu, mümkün deyil.

Hipotenuz üçün böl

UV = 6 : sin 28° ≈ 12,8

Cavabı həmişə yoxla: hipotenuz ən uzun tərəfdir.

Hipotenuz katetdən uzun olmalıdır

Eyni miqyasda: səhv cavab katetdən qısadır, düz cavab uzundur.

«Böyük üçbucaqda sinus da böyükdür»

12/20 > 6/10

Tərəflər böyüyür, amma nisbət eyni qalır.

Nisbət yalnız bucaqdan asılıdır

12/20 = 6/10 = 0,6

Bucaqları bərabər olan düzbucaqlı üçbucaqlar oxşardır.

9 · Həyatda

İki üçbucaqlı xətkeş

Çertyoj dəstindəki iki üçbucaqlı xətkeş məhz bu dərsin iki xüsusi üçbucağıdır: biri 45°-45°-90°, o biri 30°-60°-90°. Ölçüləri cədvəldən hesablamaq, sonra xətkeşlə yoxlamaq olar.

İki üçbucaqlı xətkeş: 45°-45°-90° və 30°-60°-90°

Ölçülər nisbətlərdən hesablanıb; öz xətkeşini ölçüb müqayisə et.

Xətkeşin tərəfləri

Öz 30°-60° xətkeşində qısa katetin hipotenuza nisbətini ölç: təxminən 0,5 alınmalıdır, çünki sin 30° = 12 / . Xətkeşin ölçüsü fərqli olsa da, nisbət eynidir — dərsin əsas fikri budur.

10 · Özünü yoxla

Bacarığını sına

Cavabı seç — düzgün olanda yaşıl, səhv olanda qırmızı işıqlanacaq. Həllinə də baxa bilərsən.

1. Asan ΔDEK-də ∠K = 90°. tan ∠E hansı nisbətdir? Cavab variantları DK/EK EK/DK DK/DE Düzdür! E-nin qarşısında DK, yanında EK durur. Tangens iki katetin nisbətidir: surətdə bucağın qarşısındakı katet. Həllə bax ∠E-nin qarşısındakı katet DK, bitişik katet EK-dır (hipotenuz DE). tan ∠E = qarşı / bitişik = DK/EK. EK/DK tərsinə yazılıb, DK/DE isə sinusdur.
2. Asan tan 45° neçəyə bərabərdir? Cavab variantları √2/2 1 √2 Bəli! 45°-li üçbucaqda katetlər bərabərdir. Kvadratın yarısına bax: katetlər 1 və 1, tangens onların nisbətidir. Həllə bax Katetləri 1 və 1 olan üçbucaqda tan 45° = 1/1 = 1. √2/2 — sin 45° (və cos 45°), √2 isə hipotenuzun katetə nisbətidir.
3. Orta ΔFGH-də ∠G = 90°, FG = 11 sm, GH = 60 sm. cos ∠H-ı tap. Cavab variantları 11/61 60/71 60/61 Əla! Əvvəl Pifaqorla FH = 61. Əvvəl hipotenuzu Pifaqorla tap, sonra ∠H-a bitişik kateti götür. Həllə bax FH² = 11² + 60² = 121 + 3600 = 3721, FH = 61 sm. ∠H-a bitişik katet GH = 60, deməli cos ∠H = 60/61. 11/61 — sin ∠H; 60/71-də hipotenuz katetlərin cəmi götürülüb.
4. Orta ΔABC-də ∠C = 90°, ∠A = 30°, BC = 11 sm. AB-ni tap. Cavab variantları 22 sm 5,5 sm 11√3 sm Düzdür! Hipotenuz 30°-nin qarşısındakı katetin iki mislidir. BC — ∠A-nın qarşı kateti, AB — hipotenuz: sin 30° = BC/AB. Həllə bax sin 30° = BC/AB, yəni 1/2 = 11/AB, AB = 11 : (1/2) = 22 sm. 5,5 sm — 11-i sin 30°-yə vurmaq olardı (hipotenuz katetdən qısa ola bilməz). 11√3 sm isə AC katetidir.
5. Çətin sin ∠A = 0,75. Kalkulyatorla ∠A-nı ondabirə qədər tap. Cavab variantları ≈ 41,4° ≈ 48,6° ≈ 36,9° Bəli! sin⁻¹ 0,75 ≈ 48,59°. Sinus verilib — tərs düymə də sinusunki olmalıdır: sin⁻¹. Həllə bax SIN⁻¹ 0,75 = → 48,59…, ondabirə qədər 48,6°. 41,4° cos⁻¹ 0,75, 36,9° isə tan⁻¹ 0,75 düyməsi ilə alınır — başqa nisbət.
6. Çətin ΔABC-də ∠C = 90°, AB = 73 sm, cos ∠A = 55/73. BC-ni tap. Cavab variantları 55 sm 18 sm 48 sm Əla! AC = 55, sonra Pifaqor. cos ∠A bitişik kateti (AC) verir; BC üçün Pifaqora ehtiyac var. Həllə bax cos ∠A = AC/AB = 55/73 və AB = 73, deməli AC = 55 sm. BC² = 73² − 55² = 5329 − 3025 = 2304, BC = 48 sm. 55 sm — AC-dir, 18 sm isə hipotenuzdan katetin sadəcə çıxılmasıdır.

Yekun

Yadda qalanlar

• sin = qarşı/hipotenuz, cos = bitişik/hipotenuz, tan = qarşı/bitişikKatetlərin adı bucağa görə verilir; hipotenuz düz bucağın qarşısındadır.
• Nisbət yalnız bucaqdan asılıdırBucağı bərabər düzbucaqlı üçbucaqlar oxşardır; sin və cos 1-dən kiçikdir, tan istənilən müsbət ədəd ola bilər.
• 30°, 45°, 60° və kalkulyatorXüsusi bucaqlar kvadratdan və bərabərtərəfli üçbucaqdan çıxır; başqa bucaqlar üçün SIN, COS, TAN və tərs düymələr.

Növbəti mövzu: 3.53 Triqonometrik nisbətlərin tətbiqi ilə məsələ həlli

Mənbə: «Riyaziyyat» — 8-ci sinif üçün dərslik, «Düzbucaqlı üçbucaq və triqonometrik nisbətlər», səh. 187–189 (Praktik məşğələ, «Triqonometrik nisbətlər» qutusu, öyrənmə tapşırıqları, kalkulyator cədvəli). Nümunələrdəki ədədlər bu dərs üçün seçilib.