Audio dərs · Müddət
12:41
Mətn (transkript)
Təsəvvür edin: gecə qatarı. Vaqon yavaş-yavaş yırğalanır, təkərlər ritmlə taqqıldayır, pəncərədən uzaq kəndlərin işıqları ötüb keçir. Kupedə iki nəfər oturub: səkkizinci sinifdə oxuyan Səbinə və onun əmisi oğlu, tələbə Kənan. Qarşılarında armudu stəkanlarda çay, bir də bir neçə kağız salfet var. Səbinə deyir: «Gəl bir oyun oynayaq. Mən iki ədəd fikirləşib bu salfetə yazıram. Sənə yalnız onların cəmini və hasilini deyəcəyəm. Ədədləri tapsan, qalib sənsən.» Ədədləri yazır, salfeti qatlayıb kənara qoyur. Sonra elan edir: «Ədədlərimin cəmi mənfi qırx birdir. Hasili isə yüz on dörddür.» Kənan bir an belə fikirləşmədən deyir: «Onların ikisi də mənfidir.» Səbinə təəccüblənir. Kənan ədədləri hələ tapmayıb, bəs işarələrini haradan bilir? Kənan başqa bir salfetə bir sətir yazır və gülümsəyir: «Sənin ədədlərin bu tənliyin kökləridir.» Bir dəqiqə sonra isə deyir: «Mənfi üç və mənfi otuz səkkiz.» Səbinə salfetini açır. Kənan düz tapıb. Bəs bunu necə etdi? Ədədləri görmədən onların işarəsini necə bildi? Və ən maraqlısı: iki ədədin sirri bir kvadrat tənliyin içində necə gizlənə bilər? Cavablar bu günkü dərsimizdədir. Salam, əziz dinləyici! Bu gün səkkizinci sinif riyaziyyatının ən gözəl fikirlərindən biri ilə tanış olacağıq: Viyet teoremi və onun tərsi. Siz kvadrat tənliyi, diskriminantı və kök düsturunu artıq bilirsiniz. Bu gün görəcəyik ki, tənliyin əmsalları, tənliyi həll etmədən də, köklər haqqında çox şey danışır. Əvvəlcə tanış bir adı xatırlayaq. İks kvadratın qarşısında heç bir ədəd yazılmayan, yəni birinci əmsalı bir olan kvadrat tənliyə çevrilmiş kvadrat tənlik deyilir. Belə tənlikdə iksin qarşısındakı ədədə ikinci əmsal, iksi olmayan tək ədədə isə sərbəst hədd deyirik. İndi bir çevrilmiş tənliyə baxaq. Onun ikinci əmsalı mənfi iki, sərbəst həddi isə mənfi altmış üçdür. Kök düsturu ilə həll etsək, iki kök alarıq: mənfi yeddi və doqquz. Bu kökləri toplayaq: mənfi yeddi ilə doqquzun cəmi ikidir. İndi onları vuraq: hasil mənfi altmış üçdür. Diqqət edin. Hasil sərbəst həddin özüdür: mənfi altmış üç. Cəm isə ikinci əmsala bənzəyir, amma işarəsi tərsdir: əmsal mənfi iki idi, cəm isə müsbət iki oldu. Bu, təsadüfdürmü? Xeyr, bu heç də təsadüf deyil. Bu, Viyet teoremidir. Dərslik onu belə deyir: çevrilmiş kvadrat tənliyin köklərinin cəmi əks işarə ilə ikinci əmsala, köklərinin hasili isə sərbəst həddə bərabərdir. Bir də yavaş deyək: cəm ikinci əmsalın əks işarəlisidir, hasil isə sərbəst həddin özüdür. Ən çox edilən səhv cəmdə işarəni unutmaqdır. Bəs niyə belədir? Kök düsturunu xatırlayın. O, iki kökü eyni bir mərkəzdən hesablayır: bir kök mərkəzdən müəyyən məsafə qədər bir tərəfə, digəri eyni məsafə qədər o biri tərəfə düşür. Bu mərkəz ikinci əmsalın əks işarəlisinin yarısıdır. Kökləri toplayanda o iki bərabər məsafə bir-birini yox edir və mərkəzin iki misli qalır, yəni ikinci əmsalın əks işarəlisi. Hasilin hesabı bir az uzundur, amma o da eyni yolla düz sərbəst həddə gəlir. Teorem kök düsturundan doğduğu üçün yalnız tənliyin kökləri olanda işləyir. İki kök bərabər olanda, yəni diskriminant sıfır olanda da, teorem öz qüvvəsində qalır. İndi qatara qayıdaq. Kənan salfetə nə yazdı? O, Viyet teoremini tərsinə işlətdi. Dərslik bunu Viyet teoreminin tərsi adlandırır: iki ədədin cəmi ikinci əmsalın əks işarəlisinə, hasili isə sərbəst həddə bərabərdirsə, bu ədədlər həmin çevrilmiş tənliyin kökləridir. Başqa sözlə, istənilən iki ədəd üçün tənlik qurmaq olar: ikinci əmsala onların cəmini əks işarə ilə, sərbəst həddə isə hasillərini yazırıq. Səbinənin ədədlərinin cəmi mənfi qırx bir idi. Əks işarə ilə bu, müsbət qırx birdir. Hasil isə yüz on dörd idi. Deməli, Kənanın salfetindəki tənlik belədir: iks kvadrat, üstəgəl qırx bir iks, üstəgəl yüz on dörd, bərabərdir sıfıra. Səbinənin hər iki ədədi bu tənliyin kökləridir. Kənan kökləri necə tapdı? Seçmə üsulu ilə. Hasili yüz on dörd, cəmi mənfi qırx bir olan iki ədəd axtarırıq. Hasil müsbət, cəm mənfidir, ona görə hər iki ədəd mənfidir. Yüz on dördü iki ədədin hasili kimi yazmağa başlayırıq. Bir və yüz on dörd: cəmləri yüz on beşdir, çox böyükdür. İki və əlli yeddi: cəmləri əlli doqquzdur, yenə çoxdur. Üç və otuz səkkiz: cəmləri qırx birdir. Tapdıq! İşarəni də əlavə edirik: mənfi üç və mənfi otuz səkkiz. İndi sıra sizdədir. Cəmi otuz səkkiz, hasili yüz otuz altı olan iki ədədi tapın. Hasili iki ədədin hasili kimi sırayla yazın və hər dəfə cəmə baxın. Bir az fikirləşin. Bir və yüz otuz altı: cəm çox böyükdür. İki və altmış səkkiz: yenə böyükdür. Dörd və otuz dörd: cəmləri otuz səkkizdir. Cavab: dörd və otuz dörd. Deməli, bu iki ədəd ikinci əmsalı mənfi otuz səkkiz, sərbəst həddi yüz otuz altı olan çevrilmiş tənliyin kökləridir. Viyet teoremi təkcə kökləri seçmək üçün deyil. Bəzən köklərdən biri məlum olur, digər kök və naməlum əmsal isə axtarılır. Məsələn, çevrilmiş tənliyin sərbəst həddi yüz iyirmidir, köklərindən biri isə ikidir. İkinci kök nədir və ikinci əmsal neçədir? Bir anlıq fikirləşin. Hasil sərbəst həddə bərabərdir. Deməli, ikinci kök yüz iyirminin ikiyə bölünməsidir, yəni altmışdır. İndi cəmi tapırıq: iki ilə altmışın cəmi altmış ikidir. İkinci əmsal cəmin əks işarəlisidir, yəni mənfi altmış iki. Diqqət: çoxları ikinci kökü tapıb orada dayanır, amma sual əmsalı da soruşur. Bəs birinci əmsal bir deyilsə? Onda əvvəlcə tənliyin hər iki tərəfini birinci əmsala bölürük. Alınan tənlik verilən tənliklə eynigüclüdür, yəni onların kökləri eynidir, və o artıq çevrilmiş tənlikdir. Nəticədə köklərin cəmi ikinci əmsalın birinci əmsala nisbətinin əks işarəlisinə, hasili isə sərbəst həddin birinci əmsala nisbətinə bərabər olur. Məsələn, birinci əmsalı beş, ikinci əmsalı mənfi iyirmi altı, sərbəst həddi mənfi yeddi olan tənliyi götürək. Köklərin hasili üçün mənfi yeddini beşə bölürük: mənfi bir tam onda dörd alınır. Köklərin cəmi üçün iyirmi altını beşə bölürük: beş tam onda iki alınır. Tipik səhv bölməni yalnız birində etməkdir. Bölmə həm cəmə, həm də hasilə aiddir. İndi Kənanın ən təəccüblü hiyləsinə gəlirik: ədədləri görmədən onların işarəsini demək. Burada da Viyet teoremi kömək edir, amma bir şərtlə: əvvəlcə əmin olmalıyıq ki, tənliyin həqiqi kökləri var, yəni diskriminant mənfi deyil. Sərbəst hədd, yəni köklərin hasili, mənfidirsə, köklər müxtəlif işarəlidir: biri müsbət, digəri mənfi. Bu halda kökün varlığı da zəmanətlidir. Diskriminant ikinci əmsalın kvadratından sərbəst həddin dörd mislini çıxmaqla alınır. Sərbəst hədd mənfidirsə, mənfi ədədi çıxırıq, yəni əslində toplayırıq, və diskriminant müsbət olur. Birinci nümunəmizi xatırlayın: hasil mənfi altmış üç idi və köklər, doğrudan da, mənfi yeddi və doqquz alındı. Hasil müsbətdirsə, köklərin işarəsi eynidir. Hansı işarə olduğunu cəm deyir: cəm müsbətdirsə, hər iki kök müsbətdir, cəm mənfidirsə, hər iki kök mənfidir. Səbinənin oyununda hasil müsbət, cəm mənfi idi. Kənan bir də yoxladı ki, diskriminant müsbətdir: qırx birin kvadratı yüz on dördün dörd mislindən xeyli böyükdür. Və cəsarətlə dedi: ikisi də mənfidir. Bəs diskriminantı yoxlamasaq, nə olar? İkinci əmsalı mənfi iki, sərbəst həddi müsbət iyirmi altı olan tənliyə baxaq. Teoremi düşünmədən tətbiq etsək, cəm müsbət iki, hasil müsbət iyirmi altı görünür. Tələsən adam deyər ki, hər iki kök müsbətdir. Amma diskriminantı hesablayaq: ikinci əmsalın kvadratı dörddür, sərbəst həddin dörd misli isə yüz dörd. Diskriminant mənfidir. Deməli, bu tənliyin heç bir həqiqi kökü yoxdur, və köklərin işarəsindən danışmaq mənasızdır. Son fəsildə Viyet teoreminin bəlkə də ən sehrli tətbiqinə baxaq: kökləri tapmadan onlardan düzəldilmiş ifadəni hesablamaq. Çevrilmiş tənliyin ikinci əmsalı mənfi bir, sərbəst həddi mənfi qırx yeddidir. Hasil mənfi olduğu üçün kökləri var, amma bu köklər irrasional, yazması çətin ədədlərdir. İndi soruşaq: köklərin kvadratlarının cəmi neçədir? Qısa vurma düsturunu xatırlayaq: iki ədədin cəminin kvadratı onların kvadratlarının cəmi ilə hasillərinin iki mislinin cəminə bərabərdir. Deməli, kvadratların cəmini tapmaq üçün cəmin kvadratından hasilin iki mislini çıxırıq. Bizim tənlikdə köklərin cəmi birdir, hasili isə mənfi qırx yeddi. Cəmin kvadratı birdir. Hasilin iki misli mənfi doxsan dörddür. Mənfi ədədi çıxmaq onu toplamaq deməkdir: bir ilə doxsan dördün cəmi doxsan beşdir. Köklər çətin idi, amma kvadratlarının cəmi sadəcə doxsan beşdir. Eyni yolla köklərin kublarının cəmini də hesablamaq olar. Gəlin qatara qayıdaq. Təkərlər hələ də taqqıldayır, çay isə soyumaq üzrədir. İndi Kənanın sirrini bilirik. O, ədədləri təxmin etmədi. Hasil müsbət olduğu üçün işarələrin eyni olduğunu, cəm mənfi olduğu üçün isə ikisinin də mənfi olduğunu bildi. Tərs teoremlə salfetə tənlik yazdı: ikinci əmsala cəmi əks işarə ilə, sərbəst həddə hasili. Sonra seçmə üsulu ilə üç və otuz səkkizi tapıb mənfi işarəsini əlavə etdi. İki ədədin sirri, doğrudan da, kvadrat tənliyin əmsallarında gizlənmişdi. Bu dərsdən bir fikri yadda saxlayın: çevrilmiş kvadrat tənlikdə köklərin cəmi ikinci əmsalın əks işarəlisidir, hasili isə sərbəst həddin özüdür; yalnız əvvəlcə köklərin olduğuna əmin olun. Addım-addım həlləri oxu dərsində və videoda tapa bilərsiniz. Növbəti dəfə bir dostunuzla Səbinənin oyununu oynayın, amma bu dəfə Kənan siz olun. Sağ olun, növbəti dərsdə görüşənədək!