Mətn (transkript)
Cavab vərəqində kökləri yeddi və on beş yazılıb. Həll etmədən bilirik: cavab səhvdir. Tənlik belədir: iks kvadrat mənfi iyirmi iki iks üstəgəl yüz on yeddi bərabərdir sıfır. Kökləri yoxlamaq üçün onları tənlikdə yerinə qoymaq olar. Amma daha qısa yol var. Kvadrat tənliyin əmsalları köklər haqqında çox şey deyir. Bunu görmək üçün kökləri məlum olan başqa tənliyə baxaq. İks kvadrat üstəgəl üç iks mənfi iyirmi səkkiz bərabərdir sıfır. Bu tənliyin kökləri dörd və mənfi yeddidir. Onların cəmi mənfi üçdür, ikinci əmsal isə üç. Eyni ədəd, amma əks işarə ilə. Köklərin hasili mənfi iyirmi səkkizdir. Bu, sərbəst həddin özüdür. Təsadüfdür, yoxsa qanun? Bu, qanundur və onun adı Viyet teoremidir. Çevrilmiş kvadrat tənlikdə, yəni iks kvadratın əmsalı bir olanda, köklərin cəmi mənfi pe-yə, hasili isə ku-ya bərabərdir. Səbəb kök düsturundadır. İki kök yalnız kök altında de-nin qarşısındakı işarə ilə fərqlənir. Kökləri toplayanda bu hissələr bir-birini silir və mənfi pe qalır. Vuranda kvadratlar fərqi alınır və nəticə düz ku olur. De sıfır olanda iki kök bərabərdir, teorem yenə doğrudur. Bəs birinci əmsal bir deyilsə? Onda tənliyi əvvəlcə birinci əmsala bölürük. Üç iks kvadrat mənfi on bir iks üstəgəl altı bərabərdir sıfır. Hər həddi üçə bölək. İndi köklərin cəmi on bir bölü üçdür, hasili isə altı bölü üç, yəni iki. Ümumi qayda belədir: cəm mənfi be bölü a, hasil ce bölü a. Bu tənliyin kökləri üç və iki bölü üçdür. Toplayın, vurun: hər ikisi tutur. Ən çox edilən səhv bölməyi unutmaqdır. Bəs köklərin işarəsi haqqında bu ədədlər nə deyir? Köklərin işarəsini də həll etmədən tapmaq olar. Amma əvvəlcə diskriminanta baxırıq. İks kvadrat üstəgəl beş iks üstəgəl doqquz tənliyində de mənfidir. Həqiqi kök yoxdur, deməli, işarədən danışmaq olmaz. İks kvadrat mənfi on iki iks mənfi iyirmi beş tənliyində hasil mənfidir. Mənfi hasil yalnız müxtəlif işarəli iki ədəddən alınır: bir kök müsbət, digəri mənfidir. Hasil mənfi olanda de həmişə müsbət olur. İks kvadrat üstəgəl on bir iks üstəgəl iyirmi doqquz tənliyində de müsbətdir, hasil də müsbətdir. Deməli, köklər eyni işarəlidir və işarəni cəm deyir. Cəm mənfi on birdir: hər iki kök mənfidir. Bəs kökləri bilsək, tənliyi qura bilərikmi? Bəli, Viyet teoreminin tərsi də doğrudur. İstənilən iki ədəd belə bir tənliyin kökləridir: iks kvadrat, mənfi onların cəmi vur iks, üstəgəl onların hasili. Mənfi üç və on altı götürək. Cəmi on üç, hasili mənfi qırx səkkiz. Tənlik alınır: iks kvadrat mənfi on üç iks mənfi qırx səkkiz bərabərdir sıfır. Diqqət edin: cəm tənliyə mənfi işarə ilə girir. İndi bu alətlə cavab vərəqinə qayıdaq. Yeddi ilə on beşin cəmi iyirmi ikidir. Tənlikdə də mənfi iyirmi iki iks var: cəm tutur. Amma yeddi vur on beş yüz beşdir, sərbəst hədd isə yüz on yeddi. Hasil tutmur. Tərs teoremə görə, yeddi və on beş başqa tənliyin kökləridir: iks kvadrat mənfi iyirmi iki iks üstəgəl yüz beş. Deməli, cavab səhvdir. Cəmin tutması kifayət deyil, hasil də tutmalıdır. Bəs düzgün köklər hansılardır? Cəmi iyirmi iki, hasili yüz on yeddi olan iki ədəd axtarırıq. İkisi də müsbətdir, çünki hasil də, cəm də müsbətdir. Yüz on yeddini iki vuruğa ayıraq. Bir və yüz on yeddi: cəmi yüz on səkkiz. Üç və otuz doqquz: cəmi qırx iki. Doqquz və on üç: cəmi iyirmi iki. Tapdıq: kökləri doqquz və on üçdür. Bu yola seçmə üsulu deyilir. Viyet teoremi köklərin özünü bilmədən də hesablamağa kömək edir. Məsələn, köklərin kvadratları cəmi. Tərəfi iyirmi iki olan kvadrata baxın, yəni köklərin cəminə. Onun sahəsi dörd yüz səksən dörddür. İçində iki kiçik kvadrat və iki düzbucaqlı var. Hər düzbucaqlının sahəsi köklərin hasilidir, yüz on yeddi. Onları çıxsaq, iki yüz əlli qalır. Doqquzun və on üçün kvadratları cəmi də iki yüz əllidir. Sadəcə cəmi kvadrata yüksəltmək isə səhvdir. Beləliklə, əmsallarda köklərin cəmi və hasili gizlənib. Cavab vərəqindəki yeddi və on beş cəm yoxlamasından keçdi, hasil yoxlamasından keçmədi. Ona görə həll etmədən bildik: cavab səhvdir. Kökləri tapanda iki yoxlama edin: cəm mənfi pe-yə, hasil isə ku-ya bərabər olmalıdır.